數(shù)形結(jié)合 解答數(shù)學(xué)難題

張仁壽

摘 要： 在數(shù)學(xué)課程體系中，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間相互關(guān)聯(lián)，尤其是在初中階段，教學(xué)內(nèi)容同小學(xué)相比，無(wú)論是難度、還是深度均有所提升，相應(yīng)的試題難度也在一定程度上提升，學(xué)生極易遇到難題，教師可指導(dǎo)他們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解答這些難題，使其突破解題障礙.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);解答難題

中圖分類號(hào)： G632?????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A?????? 文章編號(hào)： 1008-0333（2021）35-0044-02

數(shù)學(xué)知識(shí)本身就具有典型的抽象性特征，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中離不開邏輯思維的輔助，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，面對(duì)如此眾多的難題，他們?nèi)菀紫萑氲嚼Ь持校绊懽孕判牡臉淞?面對(duì)這一現(xiàn)狀，初中數(shù)學(xué)教師可以教導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想處理難題，將幾何與代數(shù)的特點(diǎn)綜合在一起，有效降低解題的難度，將解題過(guò)程變得通俗易懂，讓他們順利解答難題.以下筆者就如何運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合解答初中數(shù)學(xué)難題進(jìn)行探究，并提出幾點(diǎn)有效的對(duì)策.

一、運(yùn)用以形助數(shù)思想，順利解答代數(shù)難題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多數(shù)量關(guān)系都比較抽象，學(xué)生難以準(zhǔn)確的把握，這時(shí)采用以形助數(shù)思想是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，就是借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，由此將部分思維具體呈現(xiàn)出來(lái)，在解題中起著重要作用.初中數(shù)學(xué)教師可指引學(xué)生運(yùn)用以形助數(shù)思想，把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)變成圖形問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)由抽象向直觀的轉(zhuǎn)變，讓他們順利解答代數(shù)難題.

例1? 已知0解析? 這是一道典型的不等式問(wèn)題，將講授到不等式知識(shí)時(shí)，教師可以設(shè)置這一難題，本題目的主要難點(diǎn)在于題設(shè)中給出的已知信息較少，只是簡(jiǎn)單的確定a和b的范圍，還是以不等式的形式來(lái)呈現(xiàn)，而所求證的式子相當(dāng)長(zhǎng)，還涉及到根式、平方式、不等式等相關(guān)知識(shí)，不僅比較復(fù)雜，難度也較大，學(xué)生讀完題目以后，很難找準(zhǔn)突破口，他們將會(huì)陷入到困難直送，不知道該如何解題.此時(shí)，教師可以引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)助形思想，將題目中抽象的數(shù)量關(guān)系以直觀的幾何圖形展示出來(lái)，使其形成清晰的解題思路，從而讓他們快速求證.具體證明過(guò)程如下：

證明：如圖1所示，作邊長(zhǎng)是1的正方形ABCD，在邊AB上取點(diǎn)E，設(shè)AE=a;在邊AD上取點(diǎn)G，使AG=b，過(guò)點(diǎn)E和G分別作EF//AD同邊CD相交于點(diǎn)F;作G//AB同邊BC相交于點(diǎn)，設(shè)EF和G相交于點(diǎn)O，把AO、BO、CO、DO、AC、BD分別連接起來(lái).學(xué)生根 據(jù)題目中的條件與要求畫出下面的圖形以后，能夠判斷出三角形AOG、三角形BOE、三角形COF和三角形DOG都直角是直角三角形，所以根據(jù)勾股定理能夠得出OA= a2+b2 ， OB= （1-a）2+b2 ，OC= （1-a）2+（1-b）2 ，OD= a2+（1-b）2 ，且AC=BD= 2 ，因?yàn)镺A+OC≥AC，OB+OD≥BD，所以能夠得出 a2+b2 + （1-a）2+b2 + a2+（1-b）2 + （1-a）2+（1-b）2 ≥2 2 ，但是當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 1 2 時(shí)等號(hào)才成立，即為此時(shí)該式子的值是2 2 .

對(duì)于這道初中數(shù)學(xué)難題，對(duì)于廣大初中生來(lái)說(shuō)一般都無(wú)法輕松求證，主要原因在于雖然從表面上看是一個(gè)不等式，但是實(shí)質(zhì)上涉及到知識(shí)點(diǎn)眾多，處理起來(lái)還比較復(fù)雜，不過(guò)教師可以指引學(xué)生在求證這類條件不等式題目時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件作出對(duì)應(yīng)的圖形，然后讓他們運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式，最終使結(jié)論獲得證明.

二、采用以數(shù)助形思想，有效解答幾何難題

就數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)，形具有顯著的優(yōu)勢(shì)，能形象、直觀的呈現(xiàn)信息，無(wú)論什么事物，均具有正反兩面性，形不足之處就是很難做到十分精準(zhǔn)，有些圖形較簡(jiǎn)單，通過(guò)直接觀察難以得出規(guī)律，這就要基于代數(shù)視角來(lái)分析和計(jì)算.初中數(shù)學(xué)教師可根據(jù)實(shí)際題目引導(dǎo)學(xué)生采用以數(shù)助形思想，使其借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，讓他們有效解答幾何難題.

例2? 如圖2所示，在正三角形ABC中，AB、BC、CA三條邊上分別有點(diǎn)D、E、F，如果DE垂直于BC，EF垂直于AC，F(xiàn)D垂直于AB同時(shí)成立，求點(diǎn)D在邊AB上的位置.

具體解題方法如下：先假設(shè)題干中符合條件的點(diǎn)D、E、F均已經(jīng)作出，再結(jié)合給出的已知條件，尋求三角形中線段和角之間的數(shù)量關(guān)系，然后采用代數(shù)中的方程知識(shí)列出含有未知數(shù)的等式，以此求解.

解：設(shè)邊AB的長(zhǎng)度是1，AD的長(zhǎng)度是x，由于△ABC是一個(gè)正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，所以得到BD=2BE=8x-2，即得出方程x+（8x-2）=1，解之得x= 1 3 ，又因?yàn)锳D+BD=1，AF=2x，CE=1-2x，CD=2CF=2-4x，BE=1-CE=4x-1，由此說(shuō)明點(diǎn)D的位置是位于邊AB上的 1 3 分點(diǎn)處.

其實(shí)在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，通常存在著這樣一類問(wèn)題，即為幾何圖形中的某些點(diǎn)的位置或者線段的長(zhǎng)度或者角度的大小無(wú)法根據(jù)題意直觀明了的畫出來(lái)，只有根據(jù)已知條件求出某一些量時(shí)，圖形才能夠畫出，而求那些量的方法，教師可指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)列方程或者方程組進(jìn)行求解，就是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程計(jì)算，讓他們借助數(shù)學(xué)結(jié)合思想解答這類難題.

三、注重?cái)?shù)形相互轉(zhuǎn)化，高效解答數(shù)學(xué)難題

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本和最古老的兩個(gè)研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下能相互轉(zhuǎn)化.不少初中數(shù)學(xué)題目并非純粹的以數(shù)變形或以形變數(shù)，而是需將兩者相互轉(zhuǎn)換，這就要求學(xué)生不能只思考從直觀的形轉(zhuǎn)換成嚴(yán)密的數(shù)，也不能只從嚴(yán)密的數(shù)描述直觀的形，而是以題目中固有的條件與結(jié)論為著手點(diǎn)，科學(xué)分析與發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，高效解答數(shù)學(xué)難題.

例3? 在數(shù)學(xué)拓展活動(dòng)中，某興趣小組為求出 1 2 + 1 4 + 1 8 +……+ 1 2n 的值，先設(shè)計(jì)出邊長(zhǎng)是1的正方形紙，而且通過(guò)各種標(biāo)記把正方形面積的 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ……清楚地標(biāo)注出來(lái)，要求你結(jié)合已經(jīng)掌握的數(shù)形結(jié)合思想推理出假如n是正整數(shù)，求出 1 2 + 1 4 + 1 8 +……+ 1 2n 的最終結(jié)果，其中可以用n來(lái)表示.

具體來(lái)說(shuō)，解題流程如下：學(xué)生可以從這個(gè)角度展開理解，準(zhǔn)備一個(gè)邊長(zhǎng)是1是正方形，使用剪刀把該正方形紙片剪下來(lái)，第一次剪掉這張紙片的一半，那么剩余正方形的面積就是 1 2 ，第二次再將剩下正方形紙片的一半剪下來(lái)，得到的圖像面積就是原正方形紙片面積的 1 4 ，第三次把上次剩下的圖形繼續(xù)剪掉一半，得出的圖形即為原正方形紙片面積的 1 8 ，以此類推，也就是每次都把上次裁剪剩余圖形面積的一半剪掉，這樣在進(jìn)行第n次裁剪以后，獲取到的圖形的面積就是（ 1 2 ）n.之后，學(xué)生把所有裁剪下來(lái)的圖形的面積相加，能夠求出 1 2 + 1 4 + 1 8 +……+ 1 2n 的最終結(jié)果是1- 1 2n ，由此計(jì)算出該式子的答案.

如此，教師利用這樣一道典型的數(shù)學(xué)題目展開解題訓(xùn)練，學(xué)生在解題過(guò)程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，不僅要用到“以數(shù)解形”，還要用到“以形助數(shù)”，將 “數(shù)”與“形”信息進(jìn)行靈活自如的轉(zhuǎn)換，由此實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的巧妙應(yīng)用，同時(shí)訓(xùn)練他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，將復(fù)雜數(shù)學(xué)難題變得簡(jiǎn)單化，使其形成最優(yōu)解題思路，最終快速、準(zhǔn)確的計(jì)算出答案.

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[責(zé)任編輯：李 璟]