用“圓心線的方法”解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

摘 要：帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是比較常見(jiàn)的考題.本文通過(guò)提出“圓心線”的概念，進(jìn)行了根據(jù)半徑相等、在圓心線上找圓心的嘗試，以便尋找一種便捷的、可操作性強(qiáng)的、通用的解題方法.

關(guān)鍵詞：帶電粒子;圓心線;圓心;臨界

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0090-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：李建海，男，河北省懷安人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題比較常見(jiàn)，是高考中的高頻考點(diǎn).該題型既能夠考察學(xué)生物理建模的能力、還能夠考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力.特別是與之結(jié)合的臨界問(wèn)題，難度往往較大.一些教參和文章中討論的方法可操作性不強(qiáng)，本文就該類問(wèn)題再做一些嘗試.

一、試題的命制

關(guān)于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的考題，可謂是常考常新，不管考題如何變化，大體可分為兩類：一類是速度方向與某一特定邊界夾角已知，即速度方向已知，但大小并不確定;一類是速度大小相等，方向分布在某一范圍內(nèi).當(dāng)然，從題目的命制來(lái)說(shuō)，這只是兩個(gè)大類，單純給定這樣的設(shè)定，其條件并不完備，常常需要再補(bǔ)充“粒子通過(guò)磁場(chǎng)中的某一點(diǎn)或與某一邊界相垂直或相切”等條件，如圖1，這樣的組合就構(gòu)成了形形色色的試題.

圖1

二、現(xiàn)行方法評(píng)價(jià)

大多數(shù)教學(xué)參考書(shū)給出的解題方法如下：第一大類中，如果要求過(guò)某個(gè)點(diǎn)，相當(dāng)于已知了弦，通過(guò)做弦中垂線和速度垂線交點(diǎn)，該交點(diǎn)即為圓心;如果軌跡與某一邊界相切，通過(guò)做該邊界與速度的角平分線，角平分線和速度垂線的交點(diǎn)即為圓心.不少文章還提出了“縮放圓”的方法.

對(duì)于第二大類，教學(xué)參考書(shū)中并沒(méi)有給出相應(yīng)的解題方法，不少文章提出了“動(dòng)態(tài)圓”的方法.

這些方法其實(shí)叫做資源包更準(zhǔn)確，看似能夠解決相應(yīng)的問(wèn)題，但是并沒(méi)有共性，一題一法，對(duì)于復(fù)習(xí)備考的學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是很大的負(fù)擔(dān).“縮放圓”和“動(dòng)態(tài)圓”在具體解題中的操作性并不強(qiáng)，做角平分線耗時(shí)較長(zhǎng)，與高考考場(chǎng)上快捷、可操作性強(qiáng)的需要相沖突.

三、該類問(wèn)題的突破點(diǎn)

該類問(wèn)題的突破點(diǎn)，歸根到底就一個(gè)，那就是快速確定軌跡圓的圓心.兩種題型，為了統(tǒng)一，可以提出“圓心線”的概念.圓心線即為一系列不確定圓的圓心的集合.第一大類中

速度垂線即為圓心線，如圖2;第二大類中以入射點(diǎn)為圓心，粒子軌跡半徑為半徑的圓即為圓心線，如圖3.如果速度分布在90°范圍內(nèi)，圓心線為1/4圓，如果速度分布在180°范圍內(nèi)，圓心線為半圓.

圖2圖3

有了圓心線的概念，這樣在解決具體問(wèn)題中只需根據(jù)半徑相等的特征在“圓心線”上找出大致的圓心即可.這樣做的效果是快捷、便于操作、通用性強(qiáng)，從而學(xué)生負(fù)擔(dān)小.

第一大類中，過(guò)確定點(diǎn)A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖4所示.找圓心時(shí)把握兩點(diǎn)，一是在圓心線上，二是半徑相等.若要求過(guò)某一確定點(diǎn)，可以通過(guò)肉眼找一個(gè)大致的圓心，也可以做弦的中垂線，其實(shí)即使是做弦的中垂線，實(shí)際操作中也并非是用尺規(guī)作圖，也是做了一個(gè)大致的中垂線，圖4（a） ;若要求與某一邊界相垂直，圓心為圓心線和該邊界的交點(diǎn)，圖4（b）;若要求與某一邊界相切，根據(jù)半徑相等這一特征，同時(shí)找切點(diǎn)和圓心，圖4（c）.

圖4

第二大類中，過(guò)確定點(diǎn)A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖5所示.方法與解決第一大類的方法一致.這樣一來(lái)，“在圓心線上找圓心”便成了通用的方法，便于掌握.

圖5

四、例題解析

如圖6所示，在0≤x≤3a區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.在t=0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xOy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向夾角分布在0～180°范圍內(nèi).已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上P（3a，a）點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng).求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷q/m;

（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍;

（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間.

解析 第1問(wèn)，屬于第一大類且要求過(guò)某一確定點(diǎn)P.先畫(huà)出圓心線，如圖7，在圓心線上找出大致的圓心O1，實(shí)際作圖時(shí)不必如此完美，畫(huà)出O到P的圓弧即可.構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列式 R2=a2 + （3a-R）2，解的半徑R=

233a，圓心角為120°.

圖6圖7

第2問(wèn)，屬于第二大類但附加條件并不明確，先做出圓心線.在給定速度大小的問(wèn)題中，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間除了可以由圓心角反映，還可以由弦長(zhǎng)反映.這樣一來(lái)，臨界條件可由與第1問(wèn)中等長(zhǎng)的弦OP確定，也就是以O(shè)為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，正好與磁場(chǎng)邊界交與M、N兩點(diǎn)，如圖8（a）.進(jìn)而該問(wèn)題演化成軌跡過(guò)M點(diǎn)或N.在圓心線上找出圓心即可，如圖8（b）、圖8（c）.

圖8

第3問(wèn)，看似找不出附加條件，這個(gè)時(shí)候需在圓心線上找?guī)讉€(gè)圓進(jìn)行嘗試，嘗試后發(fā)現(xiàn)與右側(cè)邊界相切的軌跡時(shí)間最長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)江勇，盧巧玲.利用動(dòng)態(tài)圓巧解帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2010（3）：32-34.

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