高中立體幾何“存在型”探索性問(wèn)題求解策略

摘 要：“存在型”探索性問(wèn)題是指根據(jù)題干所給出一系列特定條件探索一些相對(duì)來(lái)說(shuō)不確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題通常存在“是否有”、“是否存在”等問(wèn)題，讓學(xué)生探討有待證明的結(jié)論.這類(lèi)問(wèn)題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的靈活應(yīng)用能力，即將數(shù)學(xué)理論知識(shí)靈活地應(yīng)用到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決和分析當(dāng)中.通過(guò)這樣的考察方式逐步提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和探索問(wèn)題的數(shù)學(xué)綜合能力，最終培養(yǎng)學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論思想.因此，本文主要從高考中存在的“存在型”探索性問(wèn)題的求解策略方面進(jìn)行分析.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);存在型;解題技巧

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0052-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：楊帆（1985.3-），男，江蘇省海門(mén)人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

一、直接求解

“存在型”探索性問(wèn)題雖然屬于形式多樣的復(fù)雜問(wèn)題，但其中有些問(wèn)題與我們所熟知的封閉性的問(wèn)題相似，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題在解答時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生直接從題目所給的已知條件出發(fā)，從結(jié)果出發(fā)推導(dǎo)原因，進(jìn)行相關(guān)的理論邏輯推理從而獲得結(jié)論.

例1 已知圖1，在梯形ABCD中，AD平行于BC，∠ABC=∠BAD=π2，AB=BC=2AD=4，在AB、CD上分別存在點(diǎn)E、F，并且線(xiàn)段BC平行于線(xiàn)段EF，BC的中點(diǎn)為點(diǎn)G，如圖2所示，先將梯形ABCD沿EF翻折，形成平面AEFD和平面EBCF垂直形式.

（1）若線(xiàn)段AE的長(zhǎng)度為2，那么異面直線(xiàn)BD與EG關(guān)系如何，是否垂直？證明你的結(jié)論.

（2）若線(xiàn)段AE的長(zhǎng)度為2，能否求解出二面角D-BF-C的余弦值.

解析 （1）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，垂點(diǎn)為H，將BH、GH分別連接，又因?yàn)橐阎矫鍭EFD和平面EBCF垂直，因此DH⊥平面EBCF，又因?yàn)镋G在平面EBCF中，因此可得線(xiàn)段EG垂直于DH.

因?yàn)榫€(xiàn)段AE的長(zhǎng)度為2，所以BE長(zhǎng)度為2，因此線(xiàn)段AE和BE長(zhǎng)度相等，因?yàn)椤螦BC=∠BAD=π2

所以四邊形BGHE為正方形，同時(shí)可知線(xiàn)段EG和BH互相垂直.

因?yàn)榫€(xiàn)段BH和線(xiàn)段DH相較交于H，因此線(xiàn)段EG和平面DBH相互垂直.

又因?yàn)锽D在平面DBH內(nèi)，所以線(xiàn)段EG和線(xiàn)段BD互相垂直.

（2）如圖3所示，過(guò)H點(diǎn)做HM⊥BF，同時(shí)連接線(xiàn)段DM.

根據(jù)三垂線(xiàn)定理能夠得到線(xiàn)段BF和DM互相垂直，因此∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角.又因?yàn)椤鱄MF和△EBF相似，因此HMBE=HFBF，而HF=1，BE=2，BF=BE2+EF2=13，又因?yàn)椤螪MH為銳角，所以cos∠DMH=1414.

二、假設(shè)一推證一定論

同時(shí)學(xué)生也可以采用假設(shè)—推證—定論的方式解決一部分存在型探索性的數(shù)學(xué)問(wèn)題.即：先提出一個(gè)與題干相矛盾的假設(shè)的存在，通過(guò)推理得出這個(gè)結(jié)論不正確最終得出所探索的問(wèn)題的正確性，或是從正面利用演繹推理的方法證明所探索的問(wèn)題的正確性.

例2 下圖為正方體棱長(zhǎng)為1，BB1、AB的中點(diǎn)分別是M、N，B1C的中點(diǎn)是O，過(guò)O作直線(xiàn)OQ，使得OQ交AM于P，交CN于點(diǎn)Q.

（1）能否求出圖中線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度;

（2） 無(wú)限延展平面A1B，T是平面A1B中的一個(gè)不規(guī)則動(dòng)點(diǎn)，T點(diǎn)距離直線(xiàn)DD1與距離P點(diǎn)的長(zhǎng)度平方差為1，能否在此情況下嘗試建立一個(gè)直角坐標(biāo)系最終求解出動(dòng)點(diǎn)T所構(gòu)成曲線(xiàn)的方程K.

解析 （1）如圖5所示，連接線(xiàn)段MO和CC1，兩條線(xiàn)段相較于點(diǎn)E，連接DE同時(shí)將線(xiàn)段DA延長(zhǎng)，此時(shí)與線(xiàn)段CN相交與點(diǎn)Q，連結(jié)線(xiàn)段OQ，使得OQ與線(xiàn)段AM相交于P，則PQ為所求的線(xiàn)，易得MPAP=MOAQ=12.

所以MP=56，在Rt△PMO中，可得到PO=MO2+PM2=146，

故PQ=143.

（2）過(guò)T作TE⊥DD，過(guò)T作TF⊥AA1，DD1⊥TE，DD1∥AA1，所以AA1⊥平面TEF，故AA1⊥EF，所以EF∥AD.在Rt△TFE中，TF2=TE2-EF2=TE2-1=PT2.由此可得點(diǎn)T的軌跡實(shí)際上是以AA1為準(zhǔn)線(xiàn)，以P為焦點(diǎn)的一條拋物線(xiàn).此時(shí)可以將以P點(diǎn)到AA1的垂線(xiàn)段的中點(diǎn)作為原點(diǎn)去建立一個(gè)直角坐標(biāo)系.由此可設(shè)拋物線(xiàn)的方程y2=2px（p>0）.

由于P點(diǎn)到AA1的距離為23，從而p=23

因此可以得到曲線(xiàn)K的方程為y2=43x.

三、先猜后證

對(duì)于一些特征較為明顯的存在性探索問(wèn)題學(xué)生往往可以采用先猜后證的方式進(jìn)行求解.

例3 如圖7，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為22a，若經(jīng)過(guò)AB1且與BC1平行的平面交上底于DB1.

試確定點(diǎn)D的位置，并證明你的結(jié)論;

解析 由圖中信息我們不難猜測(cè)D為AC的中點(diǎn)，此時(shí)可以連結(jié)A1B，使得且A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點(diǎn).

因?yàn)锽C1∥平面AB1D，DE為平面AB1D與平面A1BC的交線(xiàn)，所以BC1∥DE，由此就可以證明出點(diǎn)D確實(shí)是為AC的中點(diǎn).

總而言之，“存在型”探索性問(wèn)題并沒(méi)有學(xué)生想象的那么復(fù)雜，還有向量法等多種方法都可以應(yīng)用到立體幾何問(wèn)題求解的過(guò)程當(dāng)中，本文旨在希望能夠通過(guò)分析相關(guān)求解思路給廣大學(xué)子帶來(lái)解題建議.

參考文獻(xiàn)：

[1]陸鵬.高中數(shù)學(xué)立體幾何的類(lèi)型和結(jié)構(gòu)特征分析[J].東西南北（教育），2017：173.

[2]朱福文.重溫典型題型 智取高考數(shù)學(xué)[J].求學(xué)（文科版），2015：43.

[責(zé)任編輯：李 璟]