借力多維探究助跑高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

摘 要：“一題多解”教學(xué)對(duì)提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升解題能力起到促進(jìn)作用.“一題多解”教學(xué)是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，“一題多解”教學(xué)應(yīng)該通過發(fā)現(xiàn)、分析、啟發(fā)、探究等課堂活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的思維方法 ，從而達(dá)到培育核心素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);一題多解;深度學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2021）36-0016-02

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的功能.它引領(lǐng)著新課程改革以及教育教學(xué)方式改革.高三是學(xué)生最后沖刺備戰(zhàn)高考的重要階段.高三知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，題目變形紛繁復(fù)雜，解題方法千變?nèi)f化，對(duì)學(xué)生的思維要求很高.在高三的課堂教學(xué)中如何增效提質(zhì)，如何讓核心素養(yǎng)落地決定高考的成敗.筆者發(fā)現(xiàn)“一題多解”教學(xué)對(duì)提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升解題能力起到促進(jìn)作用.“一題多解”教學(xué)是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，“一題多解”教學(xué)應(yīng)該通過發(fā)現(xiàn)、分析、啟發(fā)、探究等課堂活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的思維方法 ，從而達(dá)到培育核心素養(yǎng)的目的.

本文以高三教學(xué)中的兩道適合我校生情的試題為例，談?wù)劇耙活}多解”教學(xué)的實(shí)踐與探析

一、例題分析

1.用“一題多解”梳理整合知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維

例1 在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知csinB+C2=asinC.

（1）求角A;（2）若b=4，△ABC面積為33，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，求AD.

本題主要考查正弦定理、角平分線性質(zhì)、三角形的面積公式和三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí).考察邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.有較大的研究空間和教學(xué)價(jià)值.第（1）小題：這是解三角形問題中常見的利用正弦定理邊化角問題.主要考查正弦定理，三角誘導(dǎo)公式，二倍角公式以及三角恒等變換.本題用三種方法解決問題，可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉邊角互化這個(gè)通法，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧三角恒等變形需要儲(chǔ)備的知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系，訓(xùn)練思維，培育素養(yǎng).解法1把B+C轉(zhuǎn)化為π-A，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的恒等變形.解法2中由sinB+C2=sinA引發(fā)的分類討論需要學(xué)生具有一定的邏輯推理能力，通過該題達(dá)到提升核心素養(yǎng)的效果.解法3思路基本和解法1一致，目標(biāo)都是轉(zhuǎn)化成同角進(jìn)行恒等變形，把角A轉(zhuǎn)化為B+C，通過求B+C間接求出角A.通過三種方法的解答實(shí)踐，優(yōu)化解題過程，梳理、整合知識(shí)，培育邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).第（2）小題：本題主要關(guān)注∠BAC的角平分線的使用策略：解法1將大三角形拆分成2個(gè)小三角形，利用角平分線定義，根據(jù)面積關(guān)系建立等量關(guān)系.解法2仍然利用角平分線定義，將角C放在不同的三角形中通過兩次余弦定理，建立等量關(guān)系.解法3利用坐標(biāo)法把點(diǎn)坐標(biāo)全部表示出來，根據(jù)B，C，D三點(diǎn)共線，利用斜率公式建立等量關(guān)系.解法4著眼于角平分線重要性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)線段成比例.進(jìn)而通過基底法，把AD用AB與AC表示出來.利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)（a=a2）求向量的模長(zhǎng).坐標(biāo)法中選用的是單位正交基底，運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)潔.基底法中基向量更具一般性，適用范圍更廣.

通過本題讓學(xué)生感受解題方法的多樣性.教師以知識(shí)間的相互聯(lián)系引領(lǐng)學(xué)生思考，通過層層設(shè)問，激發(fā)學(xué)生自主探究的興趣，使學(xué)生的學(xué)習(xí)由表層走向深度.這有助于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

2.用“一題多解”優(yōu)化解題過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

例2 a，b，c為單位向量，a·b=0，求（a-c）·（b-c）的最小值.

解法1直接利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算律中的分配律展開，根據(jù)展開式把（a-c）·（b-c）的最小值轉(zhuǎn)化為求c與a+b數(shù)量積的最小值，再根據(jù)平面數(shù)量積的定義進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求c與a+b夾角余弦的最小值，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得出當(dāng)夾角的余弦等于1時(shí)，所求最小.此法充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).坐標(biāo)法是平面向量中的一種重要方法，可以把向量運(yùn)算的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的問題.當(dāng)條件給出兩個(gè)垂直的單位向量時(shí)，那么建立平面直角坐標(biāo)系顯得合理科學(xué)，利用坐標(biāo)法解決問題有時(shí)候會(huì)快速有效.方法2、3、4都是在坐標(biāo)法的背景下將（a-c）·（b-c）轉(zhuǎn)化為含x，y二元變量的目標(biāo)函數(shù)1-（x+y）.方法2利用基本不等式求x+y的最小值，方法3利用三角換元，則目標(biāo)函數(shù)的最值問題就轉(zhuǎn)化為三角最值問題.方法4利用線性規(guī)劃，得到特殊位置相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最值.此法給代數(shù)賦予幾何直觀，通過數(shù)形結(jié)合的思想培育直觀想象的核心素養(yǎng).

在《平面向量》的學(xué)習(xí)中，靈活掌握向量的三種轉(zhuǎn)化方法（向量法，坐標(biāo)法，數(shù)形結(jié)合法）能起到事半功倍的作用.

二、感悟

1. “一題多解”是一個(gè)歸納總結(jié)，交流合作的過程數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的過程，本質(zhì)就是學(xué)生思維活動(dòng)的過程.在“一題多解”的課堂實(shí)踐中教師以知識(shí)為載體積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題展開分析，促進(jìn)激發(fā)小組交流合作，比較各個(gè)方法優(yōu)缺點(diǎn)，尋找最優(yōu)解的過程.對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，從多角度探究，一題多解，一題多變，從通性通法到特殊技巧，從大膽猜測(cè)到小心求證，從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评淼綆缀沃庇^，方法多樣不唯一，不僅能夠發(fā)散學(xué)生的思維，培育思維的開闊性，還能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)能力達(dá)到培育核心素養(yǎng)的目的.2. “一題多解”是一個(gè)追根溯源，自主探索的過程

在探究“一題多解”解決路徑的過程中，教學(xué)中一些重要的問題學(xué)生也漸漸明朗清晰起來：1）條件中關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)基本概念是什么;2）這類問題的基本解題策略，基本步驟是什么;3）有的方法可以直達(dá)，有的方法為什么堵死;4）如何根據(jù)自身學(xué)習(xí)特點(diǎn)找到最適合的思維方法;5）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想如何將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，陌生問題熟悉化.

三、反思

1.“一題多解”教學(xué)要關(guān)注學(xué)生的差異性.

教師在“一題多解”教學(xué)中密切關(guān)注學(xué)生的差異性，不要讓這堂課成為少數(shù)優(yōu)等生的課堂.讓每一個(gè)學(xué)生通過不同思維層次的問題都能夠積極參與到教學(xué)活動(dòng)，提高教學(xué)實(shí)效性.例如，案例1的第二小題解法1和解法2比較基礎(chǔ)，大部分同學(xué)可以領(lǐng)悟.解法3由于對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有一定的要求，不需要所有同學(xué)都掌握.解法4向量基底法作為有效工具，往往可以快速解題，還是要求優(yōu)等生、中等生掌握.這樣各個(gè)層次的學(xué)生都能各取所需.所以，“一題多解”教學(xué)要求老師要真正做到分層次教學(xué).

2.“一題多解”教學(xué)要讓出獨(dú)立運(yùn)算的體驗(yàn).

教師在“一題多解”教學(xué)中，每一個(gè)解法都要講清楚思路，但不止于此.如果學(xué)生沒有深入地將數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行下去，就沒有獲得感.數(shù)學(xué)運(yùn)算是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，好的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不是靠教師“講出來”，而是靠學(xué)生獨(dú)立地“算出來”.所以教師必須留給學(xué)生足夠的時(shí)間獨(dú)立運(yùn)算.當(dāng)學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤時(shí)，教師要耐心包容，鼓勵(lì)學(xué)生反復(fù)檢查，堅(jiān)持算出最后結(jié)果.教師在運(yùn)算技巧上也要給予一定的指導(dǎo)，這對(duì)于提升運(yùn)算效率有大的幫助.因此，學(xué)生獲得獨(dú)立運(yùn)算的體驗(yàn)，對(duì)自身的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)有很大的提升.

3.“一題多解”教學(xué)要讓出自我反思，感悟提升的機(jī)會(huì)

“一題多解”不是教師“滿堂灌”，不是教師一個(gè)人的狂歡.在“一題多解”課堂，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生思考探索的路徑和方向“這道題的題眼在哪里、解題策略是什么、怎么想到的、有沒有陷阱、處理哪類問題可以這么解決、會(huì)用到哪些數(shù)學(xué)思想方法”等，通過學(xué)生自我反思，會(huì)發(fā)現(xiàn)自己解題方法的局限性，進(jìn)而感悟提升，采用更優(yōu)解題方法，數(shù)學(xué)思維得到拓展升華.

總之，“一題多解”教學(xué)應(yīng)該貫穿整個(gè)高三教學(xué)始終.作為一線教師，在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中要善于觀察，勤于思考.多歸納，多總結(jié)，全面提高自己的業(yè)務(wù)能力，才能更好地開展“一題多解”教學(xué).在平時(shí)教學(xué)實(shí)踐中要站在“立德樹人”的高度，不遺余力地踐行以培育核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)理念，以達(dá)到更好地服務(wù)于學(xué)生終身發(fā)展地需要.

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[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2021-09-25

作者簡(jiǎn)介：王妍（1982.3-），女，福建省福州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.