基于深度學(xué)習(xí)的“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（1課時）”教學(xué)設(shè)計

王蓉

摘要：回顧數(shù)系的擴(kuò)充的過程與方法，歸納數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”，實現(xiàn)從實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系。復(fù)數(shù)概念和分類，復(fù)數(shù)問題實數(shù)化。讓學(xué)生體會類比的數(shù)學(xué)思想，感受人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)概念;教學(xué)設(shè)計;教學(xué)反思

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-2177（2021）24-0102-03

1內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.1教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是新人教A版高中數(shù)學(xué)第二冊第七章第一節(jié)《復(fù)數(shù)的概念》的第一課時。通過復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個完整的認(rèn)識。復(fù)數(shù)的概念是整個復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式展開的，復(fù)數(shù)單位、實部、虛部的命名，復(fù)數(shù)相等的含義，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理解，都是在促進(jìn)對復(fù)數(shù)實質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）實質(zhì)上是有序?qū)崝?shù)對（a，b）。通過對復(fù)數(shù)實質(zhì)的揭示，為后續(xù)復(fù)數(shù)的結(jié)合意義、復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的三角表示的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備，對本章具有奠基性的作用。

1.2核心素養(yǎng)分析

本節(jié)課通過回顧數(shù)系的擴(kuò)充的過程與方法，歸納數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);通過實數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會類比的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng);學(xué)生能體悟豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，能辯證地看到“危”與“機(jī)”的關(guān)系，感受人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，領(lǐng)略其推動科學(xué)技術(shù)發(fā)展和社會進(jìn)步的所需創(chuàng)新精神。

2目標(biāo)和目標(biāo)解析

2.1教學(xué)目標(biāo)

了解引入復(fù)數(shù)的必要性;了解數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，了解從實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程，感受數(shù)系擴(kuò)充過程中人類理性思維的作用，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng);理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表達(dá)式，理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，理解復(fù)數(shù)相等的含義。

2.2目標(biāo)解析

能通過方程的解，感受引入復(fù)數(shù)的必要性，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用。

學(xué)生能夠從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實數(shù)系的過程中，歸納出數(shù)學(xué)擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，體會擴(kuò)充的合理性及人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。

學(xué)生能說明虛數(shù)的由來，能夠明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的基本結(jié)構(gòu)，會對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，會用Venn圖表示復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系;知道兩個復(fù)數(shù)相等的含義，能利用復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)相等的含義解決相關(guān)的簡單問題。

3教學(xué)問題診斷分析

3.1學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)時可能出現(xiàn)的障礙為：

（1）因為現(xiàn)實生活中沒有任何事物支持虛數(shù)，學(xué)生可能會懷疑引入復(fù)數(shù)的必要性，在教學(xué)中，如果單純地講解或介紹復(fù)數(shù)的概念會顯得枯燥無味，學(xué)生不易接受;

（2）由于知識儲備和認(rèn)知能力的限制，學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則并不熟悉，對虛數(shù)單位的引入，以及虛數(shù)單位和實數(shù)進(jìn)行形式化運算的理解會出現(xiàn)一定困難;

（3）學(xué)生以前學(xué)習(xí)過的數(shù)都是單純的一個數(shù)，而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是兩項和的形式，學(xué)生比較陌生，因此理解上會存在一定困難。

3.2重難點分析

重點：從實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程與方法，復(fù)數(shù)的概念。

難點：復(fù)數(shù)系擴(kuò)充過程的數(shù)學(xué)基本思想，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示。

突破難點的策略如下：

（1）適當(dāng)介紹數(shù)的發(fā)展簡史，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的生動性。

（2）通過解方程問題引導(dǎo)，借助已有的數(shù)系擴(kuò)充的經(jīng)驗，特別是從有理數(shù)系擴(kuò)充到實數(shù)系的經(jīng)驗，從特殊到一般，幫助學(xué)生梳理出數(shù)系擴(kuò)充過程中體現(xiàn)的“規(guī)則”，進(jìn)而在“規(guī)則”的引導(dǎo)下進(jìn)行從實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，感受引人復(fù)數(shù)的必要性和合理性。

（3）引導(dǎo)學(xué)生按照“規(guī)則”自主探究出復(fù)數(shù)集中可能存在的各種數(shù)，并歸納總結(jié)出復(fù)數(shù)的一般表示方法，經(jīng)歷復(fù)數(shù)形式化的過程。

4教學(xué)過程設(shè)計

4.1創(chuàng)設(shè)情境，說明實數(shù)系擴(kuò)充的必要性

問題一：今天的數(shù)學(xué)課邀請大家和我一起來到16世紀(jì)文藝復(fù)興后的歐洲?？匆粋€當(dāng)時困擾了人類幾百年的數(shù)學(xué)問題：把10拆分成兩個數(shù)，使這兩數(shù)的積等于40，求這兩數(shù)？記載在數(shù)學(xué)家卡爾丹1545年的著作《大術(shù)》﹝Arsmagna，1545﹞。

師：在實數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？為什么？

生：這個一元二次方程的判別式小于0，所以無解。

師：是的，實數(shù)范圍內(nèi)無解，看來實數(shù)不夠用了！卡爾丹也沒有找到實數(shù)解，但是他寫下來這樣兩個解，自認(rèn)為是“違背良心寫下的怪物”。

師：盡管他違背著良心，但后續(xù)通過數(shù)學(xué)家們的不斷探究給出了合理解釋。

師：是否存在，等價于方程？

師：方程不具一般性，怎么辦？

生：

師：為什么？

生：整理得，即

設(shè)計意圖：轉(zhuǎn)化化歸的思想。

師：若想預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，一個方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀?，F(xiàn)在我們一起重溫數(shù)的發(fā)展歷程！

4.2類比從有理數(shù)系到實數(shù)系的擴(kuò)充，梳理數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”

師：猜一猜：四幅圖各代表了哪一類數(shù)？

生：自然數(shù)，負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，無理數(shù)。

師：我們把一個數(shù)集連同規(guī)定的運算以及滿足的運算律叫做一個數(shù)系。（自然數(shù)系，整數(shù)系，有理數(shù)系，實數(shù)系）

問題二：有理數(shù)系到實數(shù)系擴(kuò)充的“危機(jī)”？

師：為什么要擴(kuò)充？

生：邊長為1的正方形對角線是，開方開不盡，不在有理數(shù)集內(nèi)。而且方程在有理數(shù)內(nèi)是無解的。

師：是的，這不僅是人類生產(chǎn)生活的需要，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，讓擴(kuò)充前的數(shù)系中無解的一類方程在新數(shù)系中有解了。

師：數(shù)與數(shù)的聯(lián)系是依靠一些運算建立起來的。因此我們還要確保新數(shù)系中原來的運算和運算律可行。這里的運算和運算律指的是最基本的兩種運算加法、乘法及運算律（交換律、結(jié)合律和分配律）。

師：以引入為例，會產(chǎn)生哪些其他形式的數(shù)呢？

生：會產(chǎn)生形如

師：很好，這些數(shù)是無理數(shù)集的其他成員。顯然保證了加法乘法和運算律仍然適用。

師：數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則是什么？

生：形成數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則：（1）引入新成員，數(shù)系擴(kuò)大;（2）擴(kuò)充前數(shù)系不可行的某種運算在新數(shù)系中可行了;（3）擴(kuò)充后的數(shù)系適用原有數(shù)系的運算和運算律。

設(shè)計意圖：梳理數(shù)系擴(kuò)充過程和方法的一致性，總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，為后續(xù)實數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充提供方法，進(jìn)而突破難點。

4.3依據(jù)“規(guī)則”實數(shù)系擴(kuò)充至復(fù)數(shù)系，得到復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)形式

問題三：類比以上過程，你會怎樣實數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充？

生：將引入新成員。

師：如果是你，你打算如何設(shè)計這個新成員？

生：我會叫他虛數(shù)。

師：為什么？

生：因為實和虛是反義詞。

師：很有想法哦！這個新數(shù)需要具備怎樣的性質(zhì)？

生：

師：板書，i為虛數(shù)單位。虛數(shù)（imaginary）這個名稱是法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾給出的，寫在1637年出版的《幾何》中。100多年后，歐拉第一個使用符號i表示虛數(shù)，寫在1777年提交給圣彼得堡科學(xué)院的論文中，而該論文直到1794年才發(fā)表。

設(shè)計意圖：了解虛數(shù)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)史，體會數(shù)學(xué)家們的堅持不懈。

師：回到一開始，我們是否解決了卡爾丹一開始的困惑？如何改寫？

生：該方程的根為。

師：為了使加法、乘法和運算律在新數(shù)系中適用，除了新數(shù)i，新數(shù)系中還會有哪些形式的數(shù)？分小組討論，派代表展示你們組的成果。

學(xué)生回答：

師追問：有沒有一種形式可以把大家說的這些數(shù)都包含在內(nèi)？

學(xué)生回答：

（學(xué)生如果遺漏了實數(shù)）

師追問：老師這兒還有一些數(shù)，也能寫成型嗎？總結(jié)，a和b的范圍是什么？

生答：能，當(dāng)b=0時，令a=-1，，

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)與學(xué)生認(rèn)知特點相吻合的教學(xué)情境，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出問題，啟發(fā)學(xué)生以數(shù)系擴(kuò)充的基本思想為指導(dǎo)開展引入新數(shù)、擴(kuò)充數(shù)系。在獲得“四基”、提高“四能”的同時，學(xué)習(xí)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的方式方法。

學(xué)生自主閱讀課本概念并完成練習(xí)1：我們把形如（）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集。這樣，方程在復(fù)數(shù)集C中就有解了。復(fù)數(shù)常用z表示，即（）以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)都有，其中a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實部與虛部。

師板書概念。

4.4通過對復(fù)數(shù)的分類，相等復(fù)數(shù)條件的探究，強化、精致復(fù)數(shù)概念

師：研究一個概念，了解了他的來龍，還得清晰他的去脈。

剛才大家寫了很多復(fù)數(shù)，我們一起來研究

（1）說出這些復(fù)數(shù)的實部和虛部。

（2）1+2i，2+i這兩個復(fù)數(shù)相等嗎？為什么？你能歸納出兩個復(fù)數(shù)相等的條件嗎？

（3）觀察這些數(shù)，復(fù)數(shù)集C與實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？使用數(shù)學(xué)符號表示

（4）說說復(fù)數(shù)有哪些特殊形式？結(jié)合一些圖標(biāo)題名式給復(fù)數(shù)分分類吧。

或者

（5）說說哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，為什么？

設(shè)計意圖：指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，思考并回答問題，明確復(fù)數(shù)的基本概念，培養(yǎng)閱讀教科書的習(xí)慣和閱讀理解能力。通過對具體數(shù)的觀察，抽象出復(fù)數(shù)集中的實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等概念。通過畫思維導(dǎo)圖細(xì)化復(fù)數(shù)集內(nèi)部關(guān)系，強化復(fù)數(shù)概念。

例1：當(dāng)實數(shù)取什么值時，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？

（1）實數(shù);（2）虛數(shù);（3）純虛數(shù)。

設(shè)計意圖：在變化中認(rèn)識復(fù)數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu)，正確判斷復(fù)數(shù)的實部和虛部。

師：如何確定一個復(fù)數(shù)？回憶一下，復(fù)數(shù)的這個特征與你以往遇到過的什么數(shù)學(xué)對象類似？

設(shè)計意圖：向?qū)W生明確，不僅給出了判斷兩復(fù)數(shù)相等的依據(jù)，也給出了求某些實數(shù)值的依據(jù)，即利用復(fù)數(shù)相等的含義，得到關(guān)于a，b的方程組，通過解方程組，得到a，b的值。把復(fù)數(shù)看成有序?qū)崝?shù)對，為幾何意義奠定基礎(chǔ)。

4.5反思總結(jié)，提煉收獲

師：通過本節(jié)課，談?wù)勀銓W(xué)到了哪些知識？通過什么方法得到的？這個知識的發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造對你有什么啟示？

生：學(xué)到了為了解開負(fù)數(shù)有平方根的難題，幾百年來數(shù)學(xué)家們鍥而不舍的堅持探索，他們的理性思維戰(zhàn)勝了阻攔在數(shù)學(xué)發(fā)展面前的重重困惑。這個數(shù)系的擴(kuò)充給今后復(fù)數(shù)遇到不夠用的時候，就派上用處了。

師結(jié)束語：因為這個虛無縹緲的數(shù)的引入，多項式的理論成了完美的理論。物理學(xué)家和工程學(xué)家發(fā)現(xiàn)虛數(shù)是用來解釋所有波動現(xiàn)象最佳的方法。這包括音樂、流體和量子力學(xué)里面的波動力學(xué)的種種現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，柯西和黎曼開始了復(fù)變函數(shù)的研究，將數(shù)學(xué)的眼界由一維推廣到二維，改變了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。復(fù)數(shù)的引入充滿了數(shù)學(xué)家們的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓、精益求精的精神，充分體現(xiàn)了理性思維的力量！

4.6布置作業(yè)

查找資料，完成課外閱讀。

（1）了解一元三次方程求根公式。

（2）了解復(fù)數(shù)在流體力學(xué)、信號分析、電磁場等學(xué)科中的應(yīng)用。

（3）了解有關(guān)超復(fù)數(shù)系的設(shè)想。

5課后反思

復(fù)數(shù)的引入是對數(shù)的認(rèn)識的又一次飛躍，新課標(biāo)明確要求學(xué)生認(rèn)識復(fù)數(shù)概念形成的重要發(fā)生發(fā)展過程，領(lǐng)會其中的理性思維、創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)文化。什么才是這節(jié)課的真正重要的主題概念呢？在準(zhǔn)備教學(xué)設(shè)計之前，筆者帶著這個疑惑翻閱了教材和教參。從歷史的角度看，數(shù)的概念的發(fā)展與數(shù)系擴(kuò)充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。數(shù)系擴(kuò)充的過程展現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造兩大特征，也是當(dāng)時的客觀需要。復(fù)數(shù)的引入體現(xiàn)實際需求與已有知識不能解決之矛盾，以及有關(guān)數(shù)系運算和性質(zhì)之變化。當(dāng)復(fù)數(shù)的幾何意義在解決實際問題中嶄露頭角，復(fù)數(shù)的概念才被世人所認(rèn)可并發(fā)展。從認(rèn)知的角度看，繼初中數(shù)學(xué)課堂將數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充至實數(shù)后，復(fù)數(shù)是中學(xué)階段的又一次擴(kuò)充。應(yīng)在教學(xué)中突出過程二字。因此筆者將本節(jié)課確定的重要主題概念側(cè)重于經(jīng)歷過程。需要學(xué)生歷經(jīng)，以及從這樣的經(jīng)歷中深刻體會到數(shù)集的每一次擴(kuò)充，既是客觀世界實際的需求，也是解決數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾，從而不斷發(fā)展之迫切。從數(shù)的運算，解方程等角度悟得“實數(shù)不夠用了”這一事實。理解引入虛數(shù)之水到渠成。體會人類的理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展長河中明燈般指引之力量。我們知道任何知識的獲取都遵循從未知區(qū)域轉(zhuǎn)化至最近發(fā)展區(qū)，再轉(zhuǎn)化至已知區(qū)域。本節(jié)課就需要教師搭建一個“引橋”。讓學(xué)生在已有的認(rèn)知經(jīng)驗上獲得“再創(chuàng)造”。這個“引橋”就是對實數(shù)系擴(kuò)充過程的回憶。在層層剝離，提出問題方程 后，讓學(xué)生觀察了四張有關(guān)數(shù)系發(fā)展歷程的圖片，并思考以下問題：以往學(xué)習(xí)中有沒有遇見過類似的問題？如果遇見過，解決了什么問題？怎樣解決的？解決的過程有什么規(guī)律（共同的特點）？這些規(guī)律對解決當(dāng)前的問題有什么借鑒作用？在這些問題的支撐下，老師帶領(lǐng)著學(xué)生從卡丹之迷惑到笛卡爾的自我否定下提出“虛數(shù)”稱呼，再到歐拉提出用符號i來表示虛數(shù)，之后的高斯對該符號系統(tǒng)的應(yīng)用。前前后后幾百年，支撐起數(shù)系擴(kuò)充之路的是人類對未知的渴望，是理性思維撥云見霧，揭開了虛數(shù)虛無縹緲之面紗。

當(dāng)然課后筆者也在思考，與其說是再創(chuàng)造，不如說是再經(jīng)歷。其實創(chuàng)造的成分并不濃厚，因為這個規(guī)則已經(jīng)擺在那里了。相比當(dāng)時數(shù)學(xué)家們思維火花的碰撞，研究復(fù)數(shù)的熱火朝天。遺憾于課堂上沒有達(dá)到預(yù)期的效果，只能接受這個“美麗凍人”的結(jié)果。如果在教學(xué)設(shè)計中出現(xiàn)一些預(yù)設(shè)的“意外”，讓學(xué)生經(jīng)歷頭腦風(fēng)暴。比如，使用類比方法創(chuàng)造新數(shù)，改為學(xué)生的自我探索新數(shù)集中的運算規(guī)律，讓學(xué)生設(shè)立探索方案。如可以從羅列自然數(shù)集開始的若干數(shù)集中的運算封閉、運算律、排序、比較大小等方面進(jìn)行研究。為什么數(shù)集運算需要封閉？新運算解決了，原來的運算規(guī)律卻破壞了行不行？為什么復(fù)數(shù)需要一個統(tǒng)一的代數(shù)形式？這些知識的生長點和爆發(fā)點不去觸動，可能復(fù)數(shù)還是飄在空中，最后淪為一個生硬的代數(shù)運算工具。如何通過我們老師的教學(xué)設(shè)計，快速通過這些階段，但卻不跳過這些階段，讓復(fù)數(shù)在學(xué)生心中落地生根。我們的類比，舉一反三，給了學(xué)生足夠的參照模板，但是這個“一”是否小看了學(xué)生的獨立思維？是否阻礙了課堂的深度思考呢？值得繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究。

（責(zé)編：楊梅）