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    經(jīng)歷推理過程,促進(jìn)知識理解

    2021-05-27 14:54:05許葛倩
    關(guān)鍵詞:歸納推理乘法分配律演繹推理

    許葛倩

    摘要:培養(yǎng)推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),而通過推理過程也可以促進(jìn)知識理解?!俺朔ǚ峙渎伞钡慕虒W(xué),可以引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷推理過程,從而發(fā)展推理能力,并且促進(jìn)知識理解:舉例猜想驗(yàn)證,經(jīng)歷歸納推理;借助幾何直觀,經(jīng)歷類比推理;基于已有知識,經(jīng)歷演繹推理。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)推理;乘法分配律;歸納推理;類比推理;演繹推理

    推理是數(shù)學(xué)思維的基本方式,也是發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)數(shù)學(xué)知識的重要途徑。培養(yǎng)推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),而通過推理過程(建立知識聯(lián)系)也可以促進(jìn)知識理解(建構(gòu))。數(shù)學(xué)推理包括歸納、類比等以經(jīng)驗(yàn)和直覺為依據(jù)的合情推理,以及以邏輯的規(guī)則為依據(jù)的演繹推理。兩種推理協(xié)同發(fā)展,才能真正培養(yǎng)數(shù)學(xué)的探索發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)新)能力。

    曹培英教授指出:“與合情推理被張揚(yáng)并存的是,傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中,有很多尚待發(fā)掘的演繹推理?!?在“乘法分配律”的教學(xué)中,許多教師往往只引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較幾組等式,便歸納得出運(yùn)算律,而沒有讓學(xué)生通過其他推理方式檢驗(yàn)(說明)。實(shí)際上,這一內(nèi)容的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷推理過程,從而發(fā)展推理能力,并且促進(jìn)知識理解(建構(gòu))。

    一、舉例猜想驗(yàn)證,經(jīng)歷歸納推理

    歸納推理是從特殊例子推出一般規(guī)律或者從個別事實(shí)得到一般結(jié)論的過程。它是人們?nèi)粘I钪杏玫米疃嗟耐评矸绞?,很符合小學(xué)生的年齡和思維特征。在歸納推理中,教師特別要引導(dǎo)學(xué)生注意例子有沒有全面性和典型性,從而使得出的結(jié)論更科學(xué);關(guān)注有沒有出現(xiàn)反例,從而使得出的結(jié)論更可靠。

    在“乘法分配律”的教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過舉例猜想驗(yàn)證乘法分配律,從而經(jīng)歷歸納推理。筆者的教學(xué)過程如下:

    [教師出示蘇教版教材例題,引導(dǎo)學(xué)生采用兩種方法計算,得到等式(6+4)×24=6×24+4×24。]

    師該式子有什么特點(diǎn)?等號兩邊有什么聯(lián)系?

    生等號兩邊都有6、4、24,左邊先算6與4的和,再算它與24的積;右邊先分別算6與24、4與24的積,再算它們的和。

    師我們可以大致提煉出“三個數(shù)”“先加再乘”“先乘再加”的特點(diǎn)。你能猜想出什么結(jié)論?

    生兩個數(shù)相加再乘一個數(shù)等于這兩個數(shù)分別乘那一個數(shù)再相加。

    師好的。因?yàn)槲覀儗κ阶拥奶卣饔辛艘稽c(diǎn)感覺,所以可以先猜想一般的結(jié)論。而如果我們對式子的特征沒有感覺,則可以類似地再寫幾組這樣的算式,算一算兩邊是否相等,看看式子相等時具有什么特征。有了猜想,下面要做什么?

    生驗(yàn)證。

    師怎么驗(yàn)證?

    生舉例。

    師沒錯,還是舉例。不管是猜想還是驗(yàn)證,都需要舉例,需要舉出更多的例子。我們有四十幾位同學(xué),如果每人舉一個例子,就有四十幾個例子了。那就請大家根據(jù)剛才的猜想在作業(yè)紙上每人寫一個例子,再看看兩邊是不是相等。開始吧!

    (學(xué)生舉例。)

    師老師發(fā)現(xiàn)有同學(xué)寫出了三位數(shù)的例子,真好!當(dāng)然,舉例時除了考慮較大的數(shù),還要考慮一些特殊的數(shù),如0、1等。

    (學(xué)生舉出更多的例子。)

    師我們舉出了很多例子,還舉出了一些比較特殊的例子,使例子具有了全面性和典型性;同時,我們沒有發(fā)現(xiàn)反例。因此,可以初步說明猜想是正確的。其實(shí),這個猜想就是乘法分配律,用字母代替數(shù)字寫成算式是:(a+b)×c=a×c+b×c。

    二、借助幾何直觀,經(jīng)歷類比推理

    類比推理是根據(jù)兩個對象在某些屬性上相同或相似,通過比較推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的過程。在數(shù)學(xué)中,數(shù)與形有著密切的關(guān)系,是重要的類比對象??吹匠橄蟮臄?shù)或式,要類比聯(lián)想其幾何意義,借助幾何直觀推理結(jié)論,進(jìn)而理解意義。

    在“乘法分配律”的教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想兩數(shù)相乘的幾何意義,借助幾何直觀說明乘法分配律,從而經(jīng)歷類比推理。筆者的教學(xué)過程如下:

    師還有其他方法說明乘法分配律成立嗎?

    (學(xué)生思考。)

    師可以從幾何意義的角度考慮:兩個數(shù)相乘在幾何圖形中相當(dāng)于求什么?

    生求長方形的面積。

    師什么樣的長方形?

    生長和寬分別是這兩個數(shù)的長方形。

    師很好!我們先來看乘法分配律的一個特殊情況,如(4+5)×3=4×3+5×3,它的左邊相當(dāng)于求什么?右邊呢?畫出圖形,看看左右兩邊相等嗎?

    生(出示圖1)左邊的(4+5)×3算的是大長方形的面積;右邊的4×3、5×3分別算的是兩個小長方形的面積,合起來也是大長方形的面積。

    師說得真好!其他例子都能放到長方形中說明嗎?

    生能。

    師那一般情況(a+b)×c=a×c+b×c呢?(出示圖2)我們一起來結(jié)合長方形的面積說一說。

    (學(xué)生指圖說明。)

    三、基于已有知識,經(jīng)歷演繹推理

    由于合情推理得出的結(jié)論具有或然性(不可靠),所以,數(shù)學(xué)研究特別重視演繹推理,從而追求結(jié)論的必然性(可靠)。這也是數(shù)學(xué)研究理性精神最重要的體現(xiàn)。雖然小學(xué)生的思維以具體形象思維為主,但是在高年段,抽象邏輯思維已經(jīng)開始發(fā)展。因此,教師在教學(xué)中可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生開展演繹推理,即從已有知識(結(jié)論)出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推理,使學(xué)生走出主要依靠經(jīng)驗(yàn)和直覺的合情推理的局限,更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎紗栴}。

    在“乘法分配律”的教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生基于乘法的意義以及加法交換律和結(jié)合律,推導(dǎo)乘法分配律,從而經(jīng)歷演繹推理。筆者的教學(xué)過程如下:

    師我們能不能從已有的知識出發(fā),更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评淼玫匠朔ǚ峙渎桑?/p>

    (學(xué)生思考。)

    師根據(jù)所學(xué),乘法的意義是什么?

    生幾個相同加數(shù)的和。

    師沒錯。這樣,乘法就能變成加法。同時,我們還學(xué)過加法的兩個運(yùn)算律,是什么?

    生加法交換律、加法結(jié)合律。

    師我們能不能試著推理一下?還是先來看(4+5)×3=4×3+5×3這個特殊情況,它的左邊(4+5)×3用乘法的意義能變成什么?

    生3個(4+5)相加。

    師(出示圖3第一行)沒錯。繼續(xù)用加法交換律和結(jié)合律,把相同的加數(shù)放在一起,能變成什么?

    生3個4相加和3個5相加。

    師(出示圖3第二行)好的。下面還可以用什么變成什么?

    生反過來用乘法的意義,變成4×3+5×3。

    師(出示圖3第三行)非常好!這就變出了它的右邊4×3+5×3。(指著圖3)請你看圖再想一想這個過程。如果不能理解,可以借助其中標(biāo)注的圓點(diǎn)。

    (學(xué)生思考并理解。)

    師現(xiàn)在來看更一般的情況:如果這里的4和5用a和b來表示,那么可以怎么推理?

    (學(xué)生活動后,一位學(xué)生出示推理過程并解釋。)

    師很好?,F(xiàn)在可以看最一般的情況了:把這里的3也用c來表示。

    生我知道了?。ǔ鍪緢D4)(a+b)×c就等于c個(a+b)相加,繼續(xù)變隊(duì)形,c個a排成一隊(duì),c個b也排成一隊(duì)???!就是a×c+b×c。

    師非常好?。ㄖ钢鴪D4)另外,從乘法交換律的角度看,(a+b)×c除了表示c個(a+b)相加,還能表示什么?

    生(a+b)個c相加。

    師很好!那么乘法分配律還可以怎樣證明?

    (一位學(xué)生出示圖5并解釋。)

    (a+b)×c=c+c+…+c(a+b)個

    =(c+c+…+c)a個+(c+c+…+c)b個

    =a×c+b×c

    最后,需要指出的是,上述教學(xué)中對乘法分配律的推理是在整數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的,因?yàn)橐罁?jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的安排,此時(四年級下學(xué)期)學(xué)生尚未學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算,也未學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)。而在更大的范圍(有理數(shù)乃至實(shí)數(shù))內(nèi)推理(尤其是演繹推理)乘法分配律,有一定的難度,未必適合小學(xué)生。對此,教師可以做進(jìn)一步思考。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 曹培英.跨越斷層,走出誤區(qū):“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海:上海教育出版社,2017.

    [2] 張琴.在“過程”中推理[J].教育研究與評論(課堂觀察),2020(5).

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