基于數(shù)學(xué)建模優(yōu) 化課堂練習(xí)設(shè)計(jì)

陳元章

康奈爾大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系名譽(yù)教授史蒂夫·斯托加茨在他的著作中寫道：“知道如何抓住問題的關(guān)鍵矛盾，而把次要的情況通過理想化的假設(shè)盡量簡化，這個(gè)過程叫作‘?dāng)?shù)學(xué)建模?！笔紫龋跀?shù)學(xué)建模，優(yōu)化課堂練習(xí)可以讓學(xué)生有更多的自主學(xué)習(xí)空間和時(shí)間，有助于獨(dú)立思考和獨(dú)立學(xué)習(xí)；其次，基于數(shù)學(xué)建模，優(yōu)化課堂練習(xí)有助于教師在有效的時(shí)間內(nèi)，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)重難點(diǎn)的突破過程和知識的應(yīng)用過程，提高教學(xué)效率；再者，基于數(shù)學(xué)建模，優(yōu)化課堂練習(xí)可以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，讓學(xué)生在練中悟，從而自主學(xué)習(xí)、合作討論、建立模型、辨析理解、自我反思。

目前，學(xué)生和教師對待課堂練習(xí)的方式值得商榷。一方面，學(xué)生對課堂練習(xí)的態(tài)度不積極，審題能力尚待提高，無法與相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型建立聯(lián)系。另一方面，教師忽視了對練習(xí)編排意圖的思考，練習(xí)的難易程度、橫縱對比、層次性不明顯，形式缺乏多樣化，且與學(xué)生的生活存在差異性，阻礙了學(xué)生建立模型的過程。如何基于數(shù)學(xué)建模，提高課堂練習(xí)的有效性？筆者將以人教版七年級數(shù)學(xué)《二元一次方程組（第一課時(shí)）》為例，淺析如何基于數(shù)學(xué)建模優(yōu)化課堂練習(xí)。

一、基于數(shù)學(xué)建模，精確學(xué)習(xí)目標(biāo)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)際問題、用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的重要思想。因此，在設(shè)計(jì)和編排課堂練習(xí)時(shí)，筆者以滲透“數(shù)學(xué)建?！睘榍疤?，精確學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，圍繞“數(shù)學(xué)建?！?，設(shè)計(jì)相應(yīng)課堂練習(xí)。

初一學(xué)生處于初小銜接過渡階段，學(xué)習(xí)需要被動學(xué)習(xí)過渡到主動學(xué)習(xí)。優(yōu)化練習(xí)設(shè)計(jì)，首先要引導(dǎo)學(xué)生有目標(biāo)地學(xué)習(xí)。為培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建模”思想，筆者在設(shè)置和編排《二元一次方程組（第一課時(shí)）》的學(xué)案時(shí)，在目標(biāo)中直接提出“數(shù)學(xué)建模”，讓學(xué)生明確除了掌握基礎(chǔ)知識和基本技能這一認(rèn)知目標(biāo)外，還需有意識地思考“什么是數(shù)學(xué)建?！薄皵?shù)學(xué)建模的方法是什么”“數(shù)學(xué)建模有什么用”等問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識并會判斷二元一次方程（組）的“模型”；2.能根據(jù)實(shí)際問題，建立方程（組）“模型”；3.經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言描述問題的過程，提高數(shù)學(xué)建模能力。

著名心理學(xué)家布魯姆把學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)和情感特征作為學(xué)習(xí)的前提條件，其中的情感特征，就是“學(xué)生學(xué)習(xí)新的學(xué)習(xí)任務(wù)的動機(jī)”。學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)不僅在于基礎(chǔ)知識和基本技能，更是在于基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的認(rèn)知目標(biāo)中始終具有情感的成分，而學(xué)習(xí)動機(jī)是學(xué)生情感成分中的重要成分之一，是推動學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力。在練習(xí)前，讓學(xué)生知悉整節(jié)課的練習(xí)目標(biāo)和每道題的設(shè)計(jì)意圖，喚醒學(xué)生對知識技能和數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)期待，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，引起學(xué)生的有意注意，間接地提升了每一道課堂練習(xí)的有效性。

二、基于數(shù)學(xué)建模，精煉知識儲備

卡爾·雅斯貝爾斯說過：“教育就是一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂。”課堂練習(xí)的教學(xué)也可以做到“喚醒”，喚醒學(xué)生曾有的知識儲備，喚醒學(xué)生曾經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生曾在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，經(jīng)歷過將實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過程，能用符號語言表達(dá)簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系。因此，筆者直接借助課本章頭語中的情境作為練習(xí)，先調(diào)取學(xué)生對于一元一次方程的知識儲備，再通過“一題多解”的方式，引入二元一次方程（組）的學(xué)習(xí)。

【知識儲備】在學(xué)?；@球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場得2分，負(fù)1場得1分。某隊(duì)在10場比賽中得到16分，那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

解：設(shè)________。則__________（列式即可）。

上述含有未知數(shù)的等式叫______；方程中只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫______。關(guān)于x、y的方程：x+y=8是不是一元一次方程？

思考：上述問題還可以如何設(shè)未知數(shù)？

解：設(shè)________。則________。（列式即可）。像這樣的“模型”，叫做_____。

歸納：方程組中有___個(gè)未知數(shù)，還有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是___，并且一共有___個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組。

將教材例題作為練習(xí)，讓學(xué)生在練習(xí)中“溫故”，類比遷移，從而“知新”?；趯W(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，在知識增長點(diǎn)處設(shè)計(jì)練習(xí)，有助于學(xué)生充分調(diào)動大腦中的知識儲備，將“教”教材轉(zhuǎn)化為“用”教材，既保證了練習(xí)的科學(xué)性，又保證了學(xué)生作業(yè)的規(guī)范性。此外，通過變式可以將情境轉(zhuǎn)化為與學(xué)生更加貼近的生活問題，如小組積分問題、桌椅配套問題等。

學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)決定著新的知識的輸入、理解和接納，對學(xué)習(xí)結(jié)果及其以后學(xué)習(xí)都有重大的影響。所以，練習(xí)優(yōu)化時(shí)，筆者關(guān)注知識間的銜接，從現(xiàn)實(shí)生活情境出發(fā)，設(shè)置具體化問題，讓學(xué)生一邊完成練習(xí)，一邊經(jīng)歷“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)模型”的過程，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角分析問題，建立模型。

三、基于數(shù)學(xué)建模，精設(shè)分層練習(xí)

通過自主探究，學(xué)生認(rèn)識了基本模型后，還需要相應(yīng)的練習(xí)鞏固對模型的認(rèn)識。德國教育家赫爾巴特在他的著作《教育學(xué)講授綱要》中提出：“不能強(qiáng)迫學(xué)生接受太多的練習(xí)，練習(xí)量應(yīng)以學(xué)生能輕松完成為宜?！眻?jiān)持練習(xí)的精練性，要做到“以一當(dāng)十”“以少勝多”，學(xué)生能舉一反三，觸類旁通。筆者節(jié)選“二元一次方程”這一知識點(diǎn)的部分練習(xí)，圍繞“數(shù)學(xué)建?！?，設(shè)置分層練習(xí)。

【分層練習(xí)】把一根長18 m的繩子裁成2 m和3 m長兩種規(guī)格的繩子，怎樣截不造成浪費(fèi)？

（1）看到這個(gè)問題，你聯(lián)想到什么“模型”？

解：設(shè)_________。列式：_________。

（2）方程2x+3y=18的解（）

A援只有一個(gè)B.只有兩個(gè)

C.只有三個(gè)D.有無數(shù)個(gè)

（3）在實(shí)際意義下，繩子可以怎樣截不造成浪費(fèi)？請寫出所有裁剪方案。

在“裁剪繩子”的情境下，從實(shí)際問題抽象到數(shù)學(xué)模型，再通過練習(xí)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)模型中思考“該二元一次方程的解”是有限個(gè)還是無限個(gè)，難度逐步增大。最后再回歸實(shí)際意義，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考未知數(shù)的取值范圍，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴(yán)謹(jǐn)性。練習(xí)難度循序漸進(jìn)，學(xué)生在解決層層難題時(shí)，經(jīng)歷“建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果”的建模過程。

布魯姆提出“學(xué)生具備從事每一個(gè)新的學(xué)習(xí)任務(wù)所需的認(rèn)知條件越充分，他們對該學(xué)科的學(xué)習(xí)就越積極”。關(guān)注練習(xí)的層次性，特別是知識間的縱向練習(xí)，在同一情境或者同一條件下，問題層層鋪墊，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)，內(nèi)化相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，豐富了對本課學(xué)習(xí)任務(wù)所需的認(rèn)知條件，讓學(xué)生對本課的學(xué)習(xí)更具信心。

四、基于數(shù)學(xué)建模，精簡課堂檢測

建構(gòu)主義指導(dǎo)下的教學(xué)提出，每一學(xué)習(xí)任務(wù)結(jié)束時(shí)進(jìn)行形成性評價(jià)測驗(yàn)，目的在于了解學(xué)生已經(jīng)學(xué)到了些什么，哪些知識理解有誤，還需要學(xué)些什么內(nèi)容才能達(dá)到掌握水平，從而進(jìn)行矯正，為學(xué)生提供相關(guān)知識復(fù)習(xí)的建議。筆者設(shè)計(jì)的課堂練習(xí)中還包括課堂檢測練習(xí)，練習(xí)量根據(jù)課堂知識容量會有所調(diào)整，測試和講評的總時(shí)間控制在5耀8分鐘。通過本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本形成二元一次方程（組）的“模型”，因此可以設(shè)計(jì)具有代表性的練習(xí)進(jìn)行檢測。

【課堂檢測】已知長方形的周長為24cm?？吹竭@個(gè)問題，你聯(lián)想到什么“模型”？

解：設(shè)___________。列式：_______。

追問1：小明說：“8 cm和4 cm分別是長方形的長與寬”，小亮說：“14cm與10cm分別是長方形的長與寬”。誰的說法正確？

追問2：若長與寬相差3 cm，則可以得到方程組：_____________。

對于同一情境，問題設(shè)置多樣，考查了學(xué)生對二元一次方程、方程的解、二元一次方程組等基礎(chǔ)知識的掌握情況，以基礎(chǔ)為主，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)自信心，滲透了“檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型”的建模過程，為最終解決實(shí)際問題鋪墊。課堂檢測還可以通過“一題多解”或“多題一解”的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在對比辨析中，展示自我的數(shù)學(xué)知識、過程與方法的掌握程度。課堂檢測意在及時(shí)反饋學(xué)生對知識的掌握情況，因此課堂檢測的練習(xí)可以借助互聯(lián)網(wǎng)，以智慧教學(xué)平臺為載體，通過計(jì)算機(jī)后臺整理學(xué)生的答題情況，從而高效、有針對性地進(jìn)行講評。

五、基于數(shù)學(xué)建模，精選綜合拓展

在課堂練習(xí)的最后，筆者注意到課堂知識的延伸。基于二元一次方程（組）的“模型”，為學(xué)生精選了兩道綜合拓展題：“雞兔同籠”經(jīng)典問題，讓學(xué)生感悟二元一次方程組的文化價(jià)值；“配套問題”，讓學(xué)生認(rèn)識二元一次方程組在生活中的應(yīng)用。既滲透了數(shù)學(xué)文化，又涵蓋了數(shù)學(xué)在現(xiàn)代工業(yè)的運(yùn)用。

【綜合拓展】1.古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞兔各幾只？”這一經(jīng)典問題，讓你想到什么數(shù)學(xué)“模型”？試著建立模型，并解決問題。

2.某服裝廠生產(chǎn)一批秋衣，已知某匹布料，每2 m長的可以做3個(gè)衣身或5只衣袖?，F(xiàn)有132 m這種布料，應(yīng)如何分配布料，才能使做好的衣身和衣袖恰好配套？（不考慮布料的損耗）

在《x的奇幻之旅》一書中，史蒂夫教授提到“當(dāng)各個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)家把數(shù)學(xué)應(yīng)用到各種實(shí)際問題中的時(shí)候，他們都一定會完成這個(gè)‘?dāng)?shù)學(xué)建模的過程。”因此，結(jié)合生活實(shí)際問題、時(shí)事熱點(diǎn)、自然科學(xué)等學(xué)生感興趣的領(lǐng)域設(shè)計(jì)拓展練習(xí)，既重視了練習(xí)的綜合性———新舊知識的“疊加”運(yùn)用，將各個(gè)知識點(diǎn)“串成珠，結(jié)成網(wǎng)”，形成知識體系，又重視了練習(xí)的多樣性———“問法”多樣化，情境多樣化，文化多元化。與此同時(shí)，初步培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模的基本方法。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程?！被跀?shù)學(xué)建模，優(yōu)化課堂練習(xí)，學(xué)生可以通過練習(xí)的引導(dǎo)，有目標(biāo)、有方向地自學(xué)，在練習(xí)中經(jīng)歷“知其然，知其所以然，知其何以用”的過程。在課堂練習(xí)優(yōu)化的實(shí)施過程中，學(xué)生與教師都取得了收獲，對課堂練習(xí)也有一些更深入的思考。

在基本掌握建模思想后，對于課堂練習(xí)中的某一情境問題，能否加入更多的假設(shè)或非理想環(huán)境下的其他因素，讓學(xué)生作為數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐，經(jīng)歷“建立模型—確定參數(shù)—計(jì)算求解—檢驗(yàn)結(jié)果—改進(jìn)模型”的過程。讓初中生在課上和課余時(shí)間，盡可能經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過程，從而得到“最接近實(shí)際”的方案，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)。此外，能否借助日益發(fā)展的信息技術(shù)平臺，進(jìn)一步提高課堂中練習(xí)的反饋效率，如電子書包的錯(cuò)題收集、智慧平臺的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等。筆者將在今后的實(shí)踐中進(jìn)一步探索。

【本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題《基于提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的實(shí)踐研究》（立項(xiàng)批準(zhǔn)號：FJJKXB-19-461）研究成果】