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    基于UDKF的非共面陀螺在軌自主標(biāo)定方法

    2021-05-21 09:21:18張曉文李驥
    關(guān)鍵詞:常值刻度陀螺

    張曉文,李驥

    1. 北京控制工程研究所,北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190

    陀螺是航天器重要的姿態(tài)測(cè)量敏感器,存在安裝誤差、常值漂移和刻度因子誤差等影響角速度測(cè)量精度的參數(shù)。這些陀螺參數(shù)雖然可以在地面精度標(biāo)定,但是在航天器入軌之后還會(huì)發(fā)生變化。因此對(duì)于定姿精度要求高的任務(wù),或是需要陀螺獨(dú)立外推一段時(shí)間姿態(tài)的任務(wù),有必要對(duì)陀螺參數(shù)進(jìn)行在軌標(biāo)定。常規(guī)航天器使用基于星敏和陀螺測(cè)量的6階濾波器同時(shí)估計(jì)本體姿態(tài)和陀螺常值漂移,忽略陀螺安裝誤差和刻度因子誤差。

    在NASA的卡西尼探測(cè)器上,設(shè)計(jì)有15階卡爾曼濾波,對(duì)3部正交安裝陀螺的常值漂移、安裝誤差和刻度因子共12個(gè)參數(shù)進(jìn)行在軌標(biāo)定[1-3]。每次標(biāo)定分別繞本體系三軸旋轉(zhuǎn)±180°,共持續(xù)4-5小時(shí)。從2002年到2016年,每年至少進(jìn)行一次標(biāo)定,其結(jié)果顯示,安裝誤差和刻度因子在被標(biāo)定更新之后保持了良好的穩(wěn)定性。在2013年,嫦娥三號(hào)著陸器成功飛行應(yīng)用了一種以星敏測(cè)量的姿態(tài)四元數(shù)和陀螺測(cè)量的角度增量作為輸入,結(jié)合姿態(tài)機(jī)動(dòng),利用UD分解卡爾曼濾波(UDKF)在軌標(biāo)定陀螺組件的常值漂移、安裝誤差和刻度因子誤差的方法[4]。以上兩例標(biāo)定方法的不足之處是要求陀螺組件標(biāo)稱為正交安裝,因此限制了其使用范圍。出于冗余備份考慮,很多陀螺組件采用3部正交安裝陀螺加1部?jī)A斜安裝陀螺的構(gòu)型。在2014年,月地高速再入返回器成功飛行應(yīng)用了一種基于最小二乘的可對(duì)非正交安裝陀螺參數(shù)在軌標(biāo)定的方法,通過一段時(shí)間的統(tǒng)計(jì)得到陀螺等效漂移的均值,實(shí)現(xiàn)計(jì)算的輕量化[5]。該方法的使用前提條件是星體角速度控制穩(wěn)定度較高,因此適于用動(dòng)量輪或控制力矩陀螺控制姿態(tài)的航天器,而不適于用噴氣控制姿態(tài)的航天器。2016-2017年,在NASA的GOES-16衛(wèi)星上測(cè)試驗(yàn)證了一種通過類似正弦抖動(dòng)激勵(lì)和傅里葉分析在軌標(biāo)定陀螺刻度因子的方法[6]。該方法優(yōu)點(diǎn)是不需要航天器做大角度機(jī)動(dòng),因此標(biāo)定期間星上載荷可以正常工作,缺點(diǎn)是未標(biāo)定陀螺安裝。Zhang[7]研究了非正交安裝陀螺常值漂移和刻度因子的在軌標(biāo)定方法,但是未考慮陀螺安裝誤差。

    有些航天器配置有由陀螺和加速度計(jì)組成的慣性測(cè)量單元。彭惠[8]、王易南[9]、Lu[10]等以星敏和衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)作為測(cè)量信息來源,將慣性測(cè)量單元中陀螺和加速度計(jì)的安裝誤差和刻度因子等參數(shù)共同作為狀態(tài)變量在一個(gè)濾波器中進(jìn)行估計(jì)。

    現(xiàn)有研究表明,為了保證陀螺在軌標(biāo)定算法系統(tǒng)可觀,需要航天器進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)。給定姿態(tài)機(jī)動(dòng)序列或軌跡,利用奇異值分解[11]、李導(dǎo)數(shù)[12]或是分段線性定常系統(tǒng)可觀性理論[13][14]等方法可以分析系統(tǒng)可觀性,但是分析計(jì)算過程不夠簡(jiǎn)潔。

    為解決非正交安裝陀螺組件在軌標(biāo)定問題,對(duì)現(xiàn)有的正交安裝陀螺組件在軌標(biāo)定方法[4]進(jìn)行改進(jìn)和完善,提出一種基于UDKF的非共面安裝陀螺組件在軌自主標(biāo)定方法。首先,建立非共面陀螺定姿誤差模型,并以此建立狀態(tài)方程;然后,通過正交變換建立測(cè)量噪聲解耦的測(cè)量方程;接著,給出從狀態(tài)變量求解安裝誤差和刻度因子誤差的精確公式;然后,通過公式推導(dǎo)證明原方法[4]是本方法在陀螺組件為正交安裝條件下的特例;之后,基于可觀性分析給出簡(jiǎn)潔的系統(tǒng)可觀的角速度組合條件;最后通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證本方法的有效性。

    1 陀螺參數(shù)標(biāo)定算法

    1.1 非共面陀螺定姿誤差模型

    圖1 陀螺安裝誤差示意Fig.1 Gyro misalignment diagram

    (1)

    (2)

    (3)

    記3個(gè)陀螺的刻度因子誤差為ΔKGi,常值漂移為bG,測(cè)量噪聲為nG,則陀螺組件測(cè)量的本體角速度的誤差為:

    (4)

    式中:ω為真實(shí)的本體角速度矢量。

    定義如下輔助變量:

    (5)

    則式(4)變?yōu)椋?/p>

    (6)

    由式(5)得:

    可知,輔助變量ΔG中各元素是陀螺刻度因子誤差和安裝誤差的非線性組合。

    在小角度假設(shè)下,陀螺定姿誤差θ的傳播方程為[15]:

    (8)

    (9)

    1.2 濾波器設(shè)計(jì)

    為了提高標(biāo)定算法的精度,濾波器實(shí)際估計(jì)的是陀螺常值漂移經(jīng)過常規(guī)方法估計(jì)后的殘差。這里為了簡(jiǎn)化表達(dá)仍然采用bG來表示。陀螺常值漂移不穩(wěn)定性建模為:

    (10)

    式中:ηG為隨機(jī)白噪聲。

    (11)

    將星敏測(cè)量的本體姿態(tài)與陀螺外推的姿態(tài)相比較,可得到陀螺定姿誤差的測(cè)量值,其與真值滿足如下關(guān)系:

    (12)

    (13)

    為保證標(biāo)定算法的穩(wěn)定性,濾波器具體實(shí)現(xiàn)采用UDKF[16]。UDKF為了序貫處理測(cè)量更新,要求測(cè)量噪聲方差陣為對(duì)角陣。為此,將式(13)兩邊左乘正交陣Csb,得到測(cè)量噪聲方差陣為對(duì)角陣的新的測(cè)量方程:

    (14)

    由狀態(tài)變量定義知,濾波器是直接估計(jì)陀螺常值漂移,間接估計(jì)陀螺刻度因子誤差和安裝誤差。這里采用間接估計(jì)的好處是狀態(tài)方程為線性。

    1.3 UDKF算法

    式中:

    j=n,n-1,…,2

    i=1,2,…,j-1

    初始化:

    α1=r+v1f1

    對(duì)于j=2,3,…,n,

    αj=αj-1+vjfj

    最后濾波增益為:

    得到濾波增益K后,采用與常規(guī)卡爾曼濾波相同公式求取狀態(tài)變量估計(jì)。

    1.4 安裝誤差和刻度因子誤差求解

    由于濾波器給出的是陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的間接估計(jì),即輔助變量ΔG的估計(jì),因此還需要進(jìn)一步求解。式(5)包含9個(gè)方程,而待求解的陀螺參數(shù)共有12個(gè),因此不能得出唯一解。如果要得出唯一解,需要增加約束條件。由式(5)得

    (15)

    ΔKGi=‖ei‖-1

    (16)

    (17)

    則陀螺安裝誤差矢量為:

    (18)

    1.5 正交安裝特例

    在工程應(yīng)用中,地面精確標(biāo)定后的陀螺安裝誤差角一般不會(huì)超過0.1°。以陀螺1為例,當(dāng)其安裝誤差角β1取0.1°時(shí),安裝誤差分量ΔG11約等于1.523×10-6。可見,ΔG11的數(shù)值非常小,因此可以忽略。同理ΔG22和ΔG33也可以忽略。此外,再忽略ΔKG1ΔG12等二階小量,則由式(7)可得陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的近似計(jì)算公式:

    (19)

    (20)

    至此,濾波器的狀態(tài)變量、狀態(tài)方程和測(cè)量方程與原標(biāo)定方法[4]相同,因此證明原標(biāo)定方法是本方法在陀螺組件為正交安裝條件下的特例,因此完全可由本方法代替。

    2 系統(tǒng)可觀性分析

    當(dāng)星體角速度ω為常值時(shí),陀螺測(cè)量角速度誤差中與安裝誤差和刻度因子誤差相關(guān)的項(xiàng)也為常值。它們可以認(rèn)為是等效的常值漂移,并且可由常規(guī)星敏定姿算法估計(jì)。以陀螺i為例,若令:

    (21)

    Axi=bi

    (22)

    式中:

    式(22)有唯一解的條件是:

    (23)

    顯然式(23)的成立要求n>3。當(dāng)n=4時(shí),推導(dǎo)可知式(22)有唯一解的角速度組合條件是:

    (24)

    滿足該條件意味著系統(tǒng)輸出能夠完全反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài),因此式(24)是系統(tǒng)可觀的角速度組合條件。不難驗(yàn)證當(dāng)ω1、ω2和ω3非共面,且ω4為零或-ωi(i=1,2,3)時(shí),式(24)成立。由此可見,航天器繞三個(gè)慣量主軸旋轉(zhuǎn),再加上一個(gè)靜止?fàn)顟B(tài)或是繞一個(gè)慣量主軸反向旋轉(zhuǎn),就可以保證全部狀態(tài)可觀。對(duì)于噴氣控制的航天器,繞慣量主軸旋轉(zhuǎn)可以提高姿態(tài)機(jī)動(dòng)的穩(wěn)定性。

    3 數(shù)學(xué)仿真結(jié)果

    表1 仿真工況列表

    工況1的仿真的結(jié)果見圖2~圖4。陀螺安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線見圖2,在前3個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段時(shí)標(biāo)定誤差較大,在進(jìn)入第4個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段時(shí)誤差迅速減小并收斂。陀螺常值漂移標(biāo)定結(jié)果曲線見圖3,在仿真前20 s標(biāo)定誤差變化幅度較大,然后迅速向零附近收斂。陀螺刻度因子標(biāo)定結(jié)果曲線見圖4,其變化特點(diǎn)類似安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線。陀螺安裝誤差和刻度因子的標(biāo)定誤差,在前3個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段,并不一定隨著姿態(tài)機(jī)動(dòng)段數(shù)的增加而減小,但是在進(jìn)入第4個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段后都會(huì)迅速向零收斂,這與可觀性分析結(jié)果一致。

    圖2 工況1的陀螺安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.2 Calibration error curves of gyro misalignment in case 1

    圖3 工況1的陀螺常值漂移標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.3 Calibration error curves of gyro constant bias in case 1

    圖4 工況1的陀螺刻度因子誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.4 Calibration error curves of gyro scale factor in case 1

    工況2的仿真結(jié)果見圖5~圖7。從圖5和圖7可知陀螺安裝誤差和刻度因子的標(biāo)定誤差,在進(jìn)入第4個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段后迅速向零收斂。從圖6可知陀螺常值漂移的標(biāo)定誤差,在進(jìn)入第2個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段后迅速向零收斂,這比工況1要晚。工況2中所有標(biāo)定誤差都能收斂再次驗(yàn)證了可觀性分析結(jié)果。

    圖5 工況2的陀螺安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.5 Calibration error curves of gyro misalignment in case 2

    圖6 工況2的陀螺常值漂移標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.6 Calibration error curves of gyro constant bias in case 2

    圖7 工況2的陀螺刻度因子誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.7 Calibration error curves of gyro scale factor in case 2

    工況3的陀螺參數(shù)最大標(biāo)定誤差見表2。陀螺安裝誤差最大標(biāo)定誤差為0.002 14°,是初始誤差的2.14%。陀螺常值漂移最大標(biāo)定誤差為0.00966°/h,是初始誤差的9.66%。陀螺刻度因子誤差最大標(biāo)定誤差為0.00462%,是初始誤差的4.62%。以上數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明本方法有效。

    表2 工況3的陀螺參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

    工況4的陀螺參數(shù)最大標(biāo)定誤差見表3。陀螺安裝誤差最大標(biāo)定誤差為0.001 64°,是初始誤差的1.64%。陀螺常值漂移最大標(biāo)定誤差為0.00736°/h,是初始誤差的7.36%。陀螺刻度因子誤差最大標(biāo)定誤差為0.00292%,是初始誤差的2.92%。表3結(jié)果優(yōu)于表2結(jié)果,說明姿態(tài)機(jī)動(dòng)方式2的標(biāo)定精度高于姿態(tài)機(jī)動(dòng)方式1。

    表3 工況4的陀螺參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

    工況5的陀螺參數(shù)最大標(biāo)定誤差見表4。

    表4 工況5的陀螺參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

    陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的最大標(biāo)定誤差相對(duì)表2增大一個(gè)量級(jí),但是與表2工況的初始誤差相比,減小了一個(gè)量級(jí)。陀螺常值漂移最大標(biāo)定誤差與表2相當(dāng)。該結(jié)果說明陀螺初始安裝誤差增大,則陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的標(biāo)定誤差會(huì)增大,而陀螺常值漂移標(biāo)定誤差無顯著變化。此外,如果再進(jìn)行一輪迭代標(biāo)定,可將標(biāo)定精度提高到優(yōu)于表2結(jié)果的水平。

    4 結(jié)束語

    對(duì)現(xiàn)有的正交安裝陀螺組件在軌標(biāo)定方法進(jìn)行改進(jìn),提出應(yīng)用范圍更為廣泛的非共面安裝陀螺組件的安裝誤差、常值漂移和刻度因子誤差在軌自主標(biāo)定方法。該方法不要求陀螺為正交安裝,不要求標(biāo)定姿態(tài)機(jī)動(dòng)高穩(wěn)定度。公式推導(dǎo)證明,原方法是本方法在陀螺組件為正交安裝條件下的特例,因此完全可由本方法代替。給出的系統(tǒng)可觀的角速度組合條件可指導(dǎo)姿態(tài)機(jī)動(dòng)序列的設(shè)計(jì)工作。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明本方法有效,陀螺安裝誤差、常值漂移和刻度因子誤差標(biāo)定精度分別優(yōu)于0.01°、0.01(°)/h和0.01%。本方法對(duì)于有慣性導(dǎo)航需求的航天器設(shè)計(jì)具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

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