低軌Walker星座構(gòu)型偏置維持控制方法分析

李玖陽，胡敏，王許煜，李菲菲，徐家輝

航天工程大學(xué)，北京 101416

衛(wèi)星星座在運(yùn)行過程中，由于受到各種攝動(dòng)力影響，各衛(wèi)星之間相對(duì)位置會(huì)逐漸漂移，進(jìn)而逐漸偏離其標(biāo)稱軌道，使星座整體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。這種變化積累到一定程度，會(huì)使星座幾何構(gòu)型遭到破壞，致使星座性能大幅度下降[1]。

Walker星座以其重訪特性均勻和全球范圍內(nèi)緯度帶覆蓋性好而被廣泛應(yīng)用，典型的Walker導(dǎo)航星座有美國的GPS全球定位導(dǎo)航系統(tǒng)、歐洲Galileo導(dǎo)航系統(tǒng)、中國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)和俄羅斯Glonass導(dǎo)航系統(tǒng)等[2-4]。典型的低軌Walker星座有美國的Glboalstar等系統(tǒng)[5]。隨著衛(wèi)星發(fā)射成本的降低和衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，低軌星座的衛(wèi)星數(shù)目逐漸增多，小衛(wèi)星技術(shù)的發(fā)展和發(fā)射成本的降低使得低軌衛(wèi)星星座中衛(wèi)星數(shù)量劇增，OneWeb公司計(jì)劃發(fā)射由2 620顆衛(wèi)星組成的星座[6]、Samgsung公司計(jì)劃發(fā)射由4 600顆衛(wèi)星組成的星座[7]、Boeing計(jì)劃發(fā)射2 956顆衛(wèi)星組成的星座和Starlink最終計(jì)劃發(fā)射4.2萬顆衛(wèi)星組成星座，這些星座規(guī)模巨大，星座中衛(wèi)星分布密度很高，為了實(shí)現(xiàn)全球覆蓋和星座長期穩(wěn)定運(yùn)行，對(duì)星座構(gòu)型保持精度提出了很高的要求。目前國內(nèi)外對(duì)衛(wèi)星星座的構(gòu)型保持的研究主要集中在中高軌星座，文獻(xiàn)[1,8-10]針對(duì)中軌星座利用參數(shù)偏置法來維持星座構(gòu)型長期穩(wěn)定，對(duì)處于共振軌道和非共振軌道的星座均具有良好的效果；陳雨等[2]基于在軌實(shí)測數(shù)據(jù)，通過機(jī)動(dòng)累計(jì)相位差相對(duì)漂移較小的衛(wèi)星來控制相位角相對(duì)漂移，可以使一年內(nèi)的相位角相對(duì)漂移維持在±5°閾值內(nèi)，但該方法星座中衛(wèi)星數(shù)目較少且閾值偏大，無法滿足衛(wèi)星數(shù)目較多的Walker星座構(gòu)型維持要求。文獻(xiàn)[11]使用Lyapunov控制方法計(jì)算了星座絕對(duì)控制和相對(duì)控制所需的速度增量；文獻(xiàn)[12]利用線性二次控制器借助推力實(shí)現(xiàn)星座中星間相對(duì)位置保持；文獻(xiàn)[13-14]研究了保證2維點(diǎn)陣花狀星座在J2攝動(dòng)影響下星座構(gòu)型穩(wěn)定性的初始參數(shù)設(shè)置方法，但研究并不適用于Walker星座。

本文首先針對(duì)低軌Walker星座構(gòu)型演化進(jìn)行理論分析，得出影響星座構(gòu)型穩(wěn)定性的影響因素。而后，使用高精度軌道積分進(jìn)行仿真分析，采用兩次偏置策略對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移和沿跡角相對(duì)漂移進(jìn)行補(bǔ)償，對(duì)比仿真兩種不同規(guī)模的低軌Walker星座補(bǔ)償前后的相對(duì)漂移量。

1 軌道攝動(dòng)及星座構(gòu)型穩(wěn)定性影響因素分析

沃科于1971年提出了Walker-δ星座的概念[15]。Walker-δ星座由構(gòu)型碼N/P/F表示，分別代表星座中衛(wèi)星總數(shù)、星座軌道面數(shù)和相鄰軌道面衛(wèi)星的相位因子，星座中所有衛(wèi)星均勻?qū)ΨQ分布，各衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角為：

(1)

式中:pi,qi分別為軌道面編號(hào)和面內(nèi)衛(wèi)星編號(hào)；N，P，F(xiàn)分別為衛(wèi)星總數(shù)、軌道面數(shù)和相位因子；Ωi,λi為各衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角。

1.1 軌道攝動(dòng)分析

衛(wèi)星在軌運(yùn)行過程中，除了受到地球中心引力外，還會(huì)受到各種攝動(dòng)力的影響[16]，針對(duì)低軌衛(wèi)星，其所受的主要攝動(dòng)力攝動(dòng)加速度量級(jí)隨軌道高度變化如圖1所示。從圖1可以看出，軌道高度在1 000 km以下的低軌衛(wèi)星地球非球形J2項(xiàng)攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)為主要攝動(dòng)力，其他攝動(dòng)量為小量，可忽略不計(jì)。

圖1 攝動(dòng)加速度量級(jí)隨軌道高度變化Fig.1 Perturbation acceleration level changes with orbital altitude

在地球中心引力和非球形J2項(xiàng)攝動(dòng)的作用下，衛(wèi)星各軌道根數(shù)的長期變化率為[17]：

(2)

航天器所受大氣阻力的加速度為[18]：

(3)

大氣阻力攝動(dòng)主要影響衛(wèi)星的半長軸和偏心率，引起的半長軸和偏心率變化主要取決于衛(wèi)星面質(zhì)比和大氣密度，大氣密度隨著衛(wèi)星軌道高度的增大而降低，在軌道高度高于1 000 km時(shí)，大氣阻力攝動(dòng)可以忽略不計(jì)。

1.2 星座構(gòu)型穩(wěn)定性影響因素分析

Walker星座在軌運(yùn)行過程中，星座中各衛(wèi)星都會(huì)在攝動(dòng)力作用下逐漸偏離其標(biāo)稱軌道，而影響Walker星座長期穩(wěn)定運(yùn)行的兩個(gè)關(guān)鍵因素為升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角的相對(duì)漂移。星座中衛(wèi)星i的升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角的相對(duì)漂移量如下式所示，其中沿跡角相對(duì)漂移指衛(wèi)星i所在軌道面相對(duì)軌道面內(nèi)衛(wèi)星平均漂移量的偏差。

(4)

升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角的相對(duì)漂移在攝動(dòng)影響下隨時(shí)間變化滿足如下關(guān)系[19]：

(5)

(6)

衛(wèi)星在入軌過程中，會(huì)由于入軌偏差和大氣阻力衰減的影響產(chǎn)生衛(wèi)星間的初始偏差，設(shè)兩顆衛(wèi)星間的初始偏差為Δa1,Δe1,Δi1,ΔΩ1,Δλ1，對(duì)于近圓軌道衛(wèi)星，可忽略偏心率的影響，在J2攝動(dòng)的作用下，相對(duì)漂移的變化加速度可以忽略，結(jié)合式(5)和式(6)，可得出衛(wèi)星之間相對(duì)漂移量隨時(shí)間變化：

(7)

式(7)中，升交點(diǎn)赤經(jīng)的相對(duì)漂移和沿跡角的相對(duì)漂移主要受相對(duì)漂移的一階變化率的影響。在J2攝動(dòng)的作用下，相對(duì)漂移一階變化率主要受衛(wèi)星標(biāo)稱半長軸和初始偏差的影響。在傾角偏差為0°時(shí)，升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移量隨半長軸偏差和衛(wèi)星半長軸變化如圖2和圖3所示。從兩張圖中可以看出，低軌衛(wèi)星對(duì)半長軸偏差較為敏感，相對(duì)漂移量隨軌道高度的增加而下降。

圖2 升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移Fig.2 Relative drift of right ascension node

圖3 沿跡角相對(duì)漂移Fig.3 Relative drift of argument of latitude

圖4和圖5仿真了軌道高度800 km的兩顆衛(wèi)星升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移隨初始偏置量變化的變化情況。對(duì)于近圓軌道衛(wèi)星，半長軸和軌道傾角的初始偏置量均可對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角的相對(duì)漂移產(chǎn)生影響，但各偏差值對(duì)相對(duì)漂移的影響程度不同。由仿真結(jié)果可知，軌道傾角偏差在升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移中占主要影響，半長軸偏差在沿跡角相對(duì)漂移中占主要影響。

圖4 升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移Fig.4 Relative drift of right ascension node

圖5 沿跡角相對(duì)漂移Fig.5 Relative drift of argument of latitude

2 兩次偏置策略

2.1 兩次偏置策略補(bǔ)償原理

(8)

為了抑制星座中衛(wèi)星在一定時(shí)間內(nèi)的相對(duì)漂移，式(8)中相對(duì)漂移需要滿足如下關(guān)系：

(9)

式中：t0,tend為仿真開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間。由式(9)可得出一階變化率為：

(10)

在無偏置狀況下，可以通過二次多項(xiàng)式擬合得出式(10)中的一階變化率和變化加速度，進(jìn)而計(jì)算出偏置產(chǎn)生的一階變化率，聯(lián)立式(6)可求解出衛(wèi)星初始偏置量。

在高階攝動(dòng)項(xiàng)和二次多項(xiàng)式擬合誤差的影響下，第一次偏置后的相對(duì)漂移一階變化率和變化加速度還會(huì)存在一定的殘余項(xiàng)和高階項(xiàng)沒有消除，在1次偏置后的相對(duì)漂移量隨時(shí)間變化為：

(11)

因此，可以在第一次偏置的基礎(chǔ)上再對(duì)偏置后的相對(duì)漂移進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，并通過式(10)和式(6)計(jì)算出初始偏置量，該偏置量和第一次偏置量疊加，使殘余項(xiàng)和高階項(xiàng)進(jìn)一步減小，進(jìn)而使星座中各衛(wèi)星的相對(duì)漂移達(dá)到較低水平。

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)采用HPOP高精度軌道預(yù)報(bào)器對(duì)兩種不同規(guī)模的低軌Walker星座進(jìn)行了仿真分析，兩種星座所受攝動(dòng)力均為地球非球形J2攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)，大氣密度模型為Jacchia 70，大氣阻力系數(shù)為2.2，衛(wèi)星面質(zhì)比為0.003，仿真時(shí)長為10年。

(1)算例1

小規(guī)模低軌Walker星座構(gòu)型為24/3/1，軌道高度800 km，偏心率0.001，軌道傾角為60°，如圖6所示。

圖6 小規(guī)模星座示意Fig.6 Small scale constellation diagram

在未偏置時(shí)升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移和沿跡角(沿跡角)相對(duì)漂移如圖7所示，(圖7～圖9、圖11～圖13中各顏色分別代表星座中各衛(wèi)星相對(duì)漂移的變化規(guī)律)升交點(diǎn)赤經(jīng)最大相對(duì)漂移量達(dá)到了13.74°，沿跡角最大相對(duì)漂移量達(dá)到207.6°。第一次和第二次各衛(wèi)星偏置量如表1和表2所示，在1次偏置和2次偏置后，星座相對(duì)漂移如圖8和圖9所示，一次偏置后升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移量均大大降低，升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移量達(dá)到0.1°以下，沿跡角相對(duì)漂移量最大不超過0.4°，但兩者仍具有一定的發(fā)散趨勢，在二次偏置后，升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移量均降至0.1°以下，且呈現(xiàn)收斂趨勢。

表1 半長軸偏置量

表2 軌道傾角偏置量

圖7 星座在未偏置時(shí)相對(duì)漂移量Fig.7 Constellation relative drifts without offseting

圖8 星座在1次偏置后的相對(duì)漂移量Fig.8 Relative drifts of constellation after first offset

圖9 星座在2次偏置后的相對(duì)漂移量Fig.9 Relative drifts of constellation after second offset

(2)算例2

構(gòu)型為80/4/1，軌道高度800 km，軌道傾角60°的大規(guī)模低軌星座，如圖10所示。

圖 10大規(guī)模星座示意Fig.10 Large scale constellation diagram

初始狀態(tài)下相對(duì)漂移如圖11所示，升交點(diǎn)赤經(jīng)最大相對(duì)漂移量達(dá)到了15.69°，沿跡角最大相對(duì)漂移量達(dá)到201.5°。在1次偏置和2次偏置后，偏置量分別如表3、表4和表5、表6所示。星座相對(duì)漂移如圖12和圖13所示。一次偏置后升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移量均大大降低，升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移量達(dá)到0.1°以下，沿跡角相對(duì)漂移量最大不超過0.6°，但兩者仍具有一定的發(fā)散趨勢。在二次偏置后，升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移量均降至0.1°以下，且呈現(xiàn)收斂趨勢。

表3 半長軸偏置量(第1次偏置)

表4 軌道傾角偏置量(第1次偏置)

表5 半長軸偏置量(第2次偏置)

表6 軌道傾角偏置量(第2次偏置)

圖11 星座在未偏置時(shí)相對(duì)漂移量Fig.11 Constellation relative drifts without offseting

圖12 星座在1次偏置后的相對(duì)漂移量Fig.12 Relative drifts of constellation after first offset

圖13 星座在2次偏置后的相對(duì)漂移量Fig.13 Relative drifts of constellation after second offset

根據(jù)兩種規(guī)模的星座仿真結(jié)果，在第一次偏置后升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移大大減小，但仍有一定的發(fā)散趨勢，而在第二次偏置后相對(duì)漂移成收斂趨勢，最大相對(duì)漂移保持在0.1°以下。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了兩次偏置策略能有效的降低相對(duì)漂移量，且不受星座規(guī)模限制，對(duì)小規(guī)模和大規(guī)模的低軌Walker星座均有良好的效果。本方法相較于現(xiàn)有方法具有操作簡單、僅在初始入軌時(shí)偏置、星座構(gòu)型維持精度高的特點(diǎn)，理論上不需要后續(xù)燃料消耗。但實(shí)際中衛(wèi)星入軌精度與理論存在一定偏差，后續(xù)需要進(jìn)行一定的修正，修正的頻次和燃料消耗與衛(wèi)星所處空間環(huán)境有關(guān)，可與衛(wèi)星軌道維持同步進(jìn)行。

3 結(jié)束語

本文首先分析了低軌Walker星座所受攝動(dòng)和影響星座構(gòu)型穩(wěn)定性的影響因素。結(jié)果表明：

1)低軌Walker星座升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角的相對(duì)漂移主要是由星座中各衛(wèi)星初始軌道參數(shù)偏差引起的。

2)半長軸偏差對(duì)沿跡角相對(duì)漂移影響較大，軌道傾角偏差對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)相對(duì)漂移影響較大。

因此，本文采取了兩次偏置策略，在第一次偏置的基礎(chǔ)上，根據(jù)第一次偏置后的相對(duì)漂移情況再次進(jìn)行偏置，補(bǔ)償由第一次偏置產(chǎn)生的殘余項(xiàng)誤差，使相對(duì)漂移量達(dá)到理想水平。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了兩次偏置策略的效果。

1)對(duì)于小規(guī)模和大規(guī)模低軌Walker星座，兩次偏置策略能有效地降低升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角的相對(duì)漂移量，達(dá)到十年漂移量低于0.1°的水平。

2)使升交點(diǎn)赤經(jīng)和沿跡角相對(duì)漂移發(fā)散的趨勢收斂，可以大大降低星座在運(yùn)行過程中構(gòu)型維持頻次，提高星座構(gòu)型穩(wěn)定性。