關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

陳康沛

【摘要】《新課標(biāo)》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑、主動(dòng)和富有個(gè)性的過(guò)程……學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).” 在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的現(xiàn)代教育理念下，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累已然是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師為追求所謂的“高效”，簡(jiǎn)化了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程的探索活動(dòng)，還有部分教師為“省事”，用師生對(duì)話和做題替代了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合實(shí)踐活動(dòng).筆者結(jié)合兩年以來(lái)圍繞“度量”主題所進(jìn)行的行動(dòng)研究，談?wù)勗陉P(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的幾點(diǎn)做法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);幾何度量;行動(dòng)研究

近兩年圍繞“度量”專(zhuān)題進(jìn)行研究時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)在教材中與度量相關(guān)的內(nèi)容廣泛，涉及計(jì)算、計(jì)算單位、幾何測(cè)量等，在教學(xué)安排上比較分散.而在“幾何與圖形”模塊中，則有著較系統(tǒng)的架構(gòu).因此，筆者沿“線—面—體”這一主線，從一維到二維再到三維的研究順序，應(yīng)用凱米斯的行動(dòng)研究模式對(duì)一些典型課例進(jìn)行了計(jì)劃、行動(dòng)、考察和反思，并結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)了一系列有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，以積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受實(shí)際測(cè)量在生活中的實(shí)際意義.研究結(jié)果表明，豐富多樣的操作活動(dòng)能更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.現(xiàn)具體談?wù)剮c(diǎn)做法：

一、巧妙借助導(dǎo)學(xué)與游戲，充分感受知識(shí)形成過(guò)程

瑞士?jī)和睦韺W(xué)家皮亞杰等人研究認(rèn)為，空間表象是通過(guò)兒童主動(dòng)地將內(nèi)化行為逐步組織而構(gòu)建起來(lái)的.因此，空間表象不是兒童感性地讀出空間環(huán)境，而是來(lái)自操作活動(dòng)的積累.

在二年級(jí)“鉛筆有多長(zhǎng)”一課中，探究幾個(gè)常用的長(zhǎng)度單位之間的關(guān)系是本課的教學(xué)重點(diǎn)，教師通常的做法是讓學(xué)生在米尺上數(shù)一數(shù)有多少個(gè)1分米.在課堂觀察中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此興趣不大，直到用同樣的方法在直尺上數(shù)一數(shù)“1分米里面有多少個(gè)1厘米”時(shí)，大多數(shù)學(xué)生已失去了興致.課后與對(duì)此環(huán)節(jié)表現(xiàn)得最無(wú)趣的12名學(xué)生聊天，他們中大部分表示對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)早就聽(tīng)過(guò)，少部分表示只要記住進(jìn)率就可以換算了.再進(jìn)一步問(wèn)他們，你能用手較準(zhǔn)確地比畫(huà)出一米有多長(zhǎng)嗎？再比畫(huà)1米里面有多少個(gè)1分米呢？孩子們露出了困惑，且在后續(xù)“應(yīng)用適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度單位填空”時(shí)錯(cuò)誤率達(dá)到50%以上.可想而知，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解止步于進(jìn)率，其空間觀念并未得到發(fā)展.

低年級(jí)兒童的空間觀念尚處于具體形象認(rèn)知階段，對(duì)直觀的依賴(lài)性強(qiáng)，他們往往利用日常生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)思考或描述.新課標(biāo)的基本理念也提到“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上”，即無(wú)論從心理學(xué)角度，還是課標(biāo)要求，均要求教師要根據(jù)具體情況，重視兒童的操作經(jīng)驗(yàn)，幫助他們進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)意義的思考和對(duì)知識(shí)的重構(gòu).也只有“以學(xué)定教”，才能使學(xué)生體驗(yàn)到提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程.因此，為了讓低年級(jí)學(xué)生體會(huì)米與分米之間的聯(lián)系，經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，教學(xué)團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了接龍游戲：分小組進(jìn)行活動(dòng)，每名學(xué)生拿一支1分米長(zhǎng)的綠色鉛筆，在米尺上接龍.仔細(xì)觀察：首尾相連的情況下一共可以擺多少支？比畫(huà)一下，再認(rèn)真思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？在游戲的過(guò)程中，可視具體情況邀請(qǐng)其他小組一起合作完成接龍游戲.

游戲環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，符合低年級(jí)孩子的心理年齡需要.學(xué)生自然而然地先觀察米尺和1分米長(zhǎng)的鉛筆這兩個(gè)需要進(jìn)行比較的量，結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了估計(jì)（利用身體的小尺子），再進(jìn)行接龍游戲，最后歸納、交流自己的發(fā)現(xiàn).而一個(gè)小組的鉛筆數(shù)不夠，又激發(fā)了學(xué)生合作交流的意愿，進(jìn)一步促進(jìn)自主探索.在這個(gè)游戲中，學(xué)生主動(dòng)嘗試、主動(dòng)參與、主動(dòng)思考的行為表現(xiàn)非常明顯，充分經(jīng)歷了知識(shí)形成的過(guò)程，深刻感受到米與分米之間的聯(lián)系，為下一階段的學(xué)習(xí)積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

二、引導(dǎo)經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證，深刻感悟數(shù)學(xué)思想

面積，是常見(jiàn)的幾何度量的概念之一，但在學(xué)習(xí)和生活中往往發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生的空間觀念薄弱，尤其對(duì)公式推導(dǎo)的思想方法認(rèn)知膚淺.思其原因，筆者認(rèn)為是在相關(guān)的實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生缺乏探究推導(dǎo)面積公式的體驗(yàn)，即重結(jié)果而輕過(guò)程.《新課標(biāo)》基本理念明確了“教學(xué)內(nèi)容的組織要重視過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系……”.因此在五年級(jí)“平行四邊形的面積”教學(xué)中，對(duì)于公式的推導(dǎo)，筆者團(tuán)隊(duì)做了以下的活動(dòng)設(shè)計(jì)：

1.基于已有知識(shí)進(jìn)行猜想

在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了長(zhǎng)方形和正方形的面積公式，所以，在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想：平行四邊形的面積與什么有關(guān)？學(xué)生會(huì)認(rèn)為平行四邊形的面積與相鄰的兩邊長(zhǎng)有關(guān)，也有部分學(xué)生認(rèn)為平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)，這些都是重要的數(shù)學(xué)信息，并非“瞎想”，因此，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的想法，并肯定他們敢于猜測(cè)的數(shù)學(xué)習(xí)慣，告訴學(xué)生數(shù)學(xué)史上有很多著名的問(wèn)題都是被大膽猜想提出的，如哥德巴赫猜想等，讓學(xué)生感知到從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的猜想都有探究的價(jià)值和驗(yàn)證的必要.

2.基于已有技能進(jìn)行驗(yàn)證

猜想的意義在于激發(fā)驗(yàn)證，而驗(yàn)證的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生自主進(jìn)行.為了不落入“牽著學(xué)生鼻子走”的俗套，教學(xué)中團(tuán)隊(duì)準(zhǔn)備了方格紙、尺子、剪刀、膠水、平行四邊形紙板、與平行四邊形等面積的長(zhǎng)方形紙板等工具，活動(dòng)要求如下：1.選擇自己想要使用的工具，可獨(dú)立進(jìn)行、可合作進(jìn)行驗(yàn)證.2.討論、歸納你的發(fā)現(xiàn).這種開(kāi)放性的活動(dòng)設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，出現(xiàn)了五花八門(mén)的驗(yàn)證方式.如有的學(xué)生把圖形放在方格紙上面，用數(shù)格子的方式尋求平行四邊形的面積;也有的學(xué)生把平行四邊形剪成幾部分，試圖拼成一個(gè)學(xué)過(guò)的圖形;還有的學(xué)生在“剪壞”了一個(gè)圖形后，主動(dòng)湊到旁邊的小組把自己失敗的經(jīng)驗(yàn)告訴同伴，然后優(yōu)化了方法，剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形;還有個(gè)別學(xué)生把平行四邊形紙板剪拼成長(zhǎng)方形后，與學(xué)具中的長(zhǎng)方形紙板對(duì)比，發(fā)現(xiàn)它們面積相等;也有的學(xué)生使用直尺進(jìn)行測(cè)量，用數(shù)據(jù)對(duì)比說(shuō)明平行四邊形的底、高與所拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系……像這樣，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主性，學(xué)生在經(jīng)歷了觀察、剪拼、比較、分析、綜合后，形成了對(duì)平行四邊形面積的共性認(rèn)識(shí)，最后驗(yàn)證猜想，不僅積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更深刻地理解了平行四邊形面積公式的來(lái)龍去脈.

而后，“三角形的面積”的教學(xué)中，基于已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生在探究“三角形面積計(jì)算公式”時(shí)，能自發(fā)地通過(guò)剪拼活動(dòng)，將圖形轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知求面積方法的圖形，從而歸納出公式.在匯報(bào)時(shí)可見(jiàn)，學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化成了平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形等圖形，其創(chuàng)造性思考層出不窮，令人贊嘆不已.學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的充實(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，使面積公式的推導(dǎo)乃至體積公式的推導(dǎo)也愈來(lái)愈順理成章，水到渠成.

3.基于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)感悟思想

《新課標(biāo)（2011）》指出，教學(xué)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法不是教師“教”給學(xué)生的，而是學(xué)生在操作中體驗(yàn)、在體驗(yàn)中感悟、在感悟中發(fā)展起來(lái)的.結(jié)合以上兩個(gè)課例，學(xué)生在充分經(jīng)歷了推導(dǎo)平行四邊形、三角形面積公式的活動(dòng)后，體驗(yàn)到所用的驗(yàn)證方法，其本質(zhì)都是將探究的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形，再進(jìn)行觀察、試驗(yàn)和總結(jié)的過(guò)程.從而使蘊(yùn)含的“化歸”思想、“合情推理”思想得以在具體的活動(dòng)過(guò)程中體現(xiàn)，也使學(xué)生的“空間觀念”和“幾何直觀”等核心素養(yǎng)得到了進(jìn)一步發(fā)展.在“平行四邊形的面積”一課后，筆者還播放了一段“曹沖稱(chēng)象”的小視頻，加深了學(xué)生對(duì)等積轉(zhuǎn)化的理解，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)思想在生活中應(yīng)用的價(jià)值，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

三、合理設(shè)計(jì)綜合與實(shí)踐，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教材雖然將內(nèi)容分成了幾個(gè)獨(dú)立的模塊，但數(shù)學(xué)知識(shí)之間卻是一個(gè)有著密切聯(lián)系的龐大的結(jié)構(gòu)體.筆者認(rèn)為，要把這些盤(pán)根錯(cuò)節(jié)，螺旋上升的知識(shí)點(diǎn)和學(xué)生多元化的思考融合在一起，“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是一個(gè)良好的平臺(tái).“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是一類(lèi)以問(wèn)題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)，有別于學(xué)習(xí)具體知識(shí)的探索活動(dòng)，更有別于課堂上教師的直接講授，其教學(xué)目標(biāo)是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).只有當(dāng)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)和已有的生活經(jīng)驗(yàn)、周?chē)氖澜缏?lián)系起來(lái)時(shí)，才能真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值.

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者團(tuán)隊(duì)在“鉛筆有多長(zhǎng)”一課的教學(xué)中設(shè)計(jì)了綜合與實(shí)踐環(huán)節(jié)：小組合作，測(cè)量自己感興趣的物體長(zhǎng)度.在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系，如測(cè)量黑板的長(zhǎng)度，先抽象出所要測(cè)量的直直的邊，從頭開(kāi)始，進(jìn)行實(shí)物測(cè)量;注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系，如在測(cè)量空調(diào)的高、黑板的長(zhǎng)時(shí)，學(xué)生主動(dòng)選擇了卷尺;測(cè)量講臺(tái)的高時(shí)則選擇了米尺，這是生活經(jīng)驗(yàn)積累和運(yùn)用的體現(xiàn);還注重了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的綜合應(yīng)用，如在記錄好任務(wù)卡進(jìn)行匯報(bào)時(shí)，小組長(zhǎng)組織了較豐富的語(yǔ)言和運(yùn)用多樣的記錄方式來(lái)進(jìn)行表述綜合與實(shí)踐的過(guò)程與結(jié)果.這一綜合與實(shí)踐環(huán)節(jié)，在促進(jìn)學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和技能掌握的同時(shí)，更在選擇長(zhǎng)度單位、測(cè)量工具中進(jìn)一步深化空間觀念的培養(yǎng).

隨著學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不斷累積，秉持“以生為本”的理念，筆者在五年級(jí)“長(zhǎng)方體的表面積”一課的教學(xué)中也設(shè)計(jì)了五分鐘的綜合與實(shí)踐活動(dòng)：測(cè)量教室.設(shè)計(jì)問(wèn)題如下：學(xué)校打算重新粉刷教室的四周和天花板，請(qǐng)同學(xué)幫忙進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，完成任務(wù)單，以便知道要購(gòu)進(jìn)多少油漆.學(xué)生在掌握和理解了本課知識(shí)后，通過(guò)簡(jiǎn)單的交流便明確了只需要三個(gè)數(shù)據(jù)（即教室的長(zhǎng)、寬、高）就可以求出要粉刷的面積.在操作過(guò)程中，高年級(jí)學(xué)生的合作能力、動(dòng)手操作能力得到了充分彰顯.學(xué)生熟練地使用適當(dāng)?shù)墓ぞ哌M(jìn)行測(cè)量，對(duì)度量方法、度量單位、度量數(shù)據(jù)及結(jié)果等進(jìn)行了回顧與應(yīng)用.由于教室的高很難測(cè)量，所以只能進(jìn)行估測(cè).而估測(cè)的過(guò)程是學(xué)生借助以往活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累所建立起來(lái)的長(zhǎng)度表象進(jìn)行的.在匯報(bào)時(shí)，學(xué)生還在交流中不斷調(diào)整之前估測(cè)的結(jié)果，使估計(jì)的數(shù)據(jù)愈發(fā)接近精準(zhǔn)值，呈現(xiàn)了真實(shí)的思考應(yīng)用過(guò)程.在整個(gè)綜合與實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程中，工具的使用、思考的方式都具有一定的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)性，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)到了估測(cè)習(xí)慣的養(yǎng)成、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累在生活應(yīng)用中有著極其重要的作用，體會(huì)到度量的意義，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值.

智力是一種思維結(jié)構(gòu)的連續(xù)形成和改組的過(guò)程.像這樣的綜合與實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，被筆者內(nèi)化成上課時(shí)的常態(tài)行動(dòng)，讓學(xué)生有著充分的時(shí)間和空間進(jìn)行思考、操作、積累和創(chuàng)造，即是一種思維結(jié)構(gòu)重組和創(chuàng)新的過(guò)程，促進(jìn)智力的發(fā)展.

培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)是21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展的重要議題.通過(guò)對(duì)不同國(guó)際組織、國(guó)家和地區(qū)核心素養(yǎng)指標(biāo)的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，雖然基于各自的社會(huì)現(xiàn)實(shí)采用了不同的研究思路，但國(guó)際視野下的核心素養(yǎng)無(wú)一不包括了“問(wèn)題解決”這一核心能力的培養(yǎng).我國(guó)的核心素養(yǎng)體系“學(xué)習(xí)與發(fā)展”領(lǐng)域中也明確了“問(wèn)題解決與實(shí)踐”的內(nèi)涵：培養(yǎng)學(xué)生探究精神和實(shí)踐能力.筆者在“幾何度量”專(zhuān)題研究中對(duì)此略有所思、略有所得，更深感數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須將已掌握的知識(shí)與技能用于實(shí)踐，而非紙上談兵.因此，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為培養(yǎng)問(wèn)題解決與實(shí)踐能力這一核心素養(yǎng)的重要途徑，筆者將繼續(xù)在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究與實(shí)踐方面做進(jìn)一步的行動(dòng)研究.

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