蹦極者下落階段運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論

江俊勤 邱為鋼 姜付錦

(1. 廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系, 廣東 廣州 510303; 2. 湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江 湖州 313000; 3. 湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué),湖北 武漢 430300)

1 問題的提出

蹦極或落繩(落鏈)下落階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與自由落體相同,還是比自由落體更快,一直存在不同的觀點(diǎn),例如某些奧林匹克競(jìng)賽物理教程或題選[1,2]認(rèn)為落繩(落鏈)端點(diǎn)的加速度與自由落體加速度相同,a=g.

圖1 蹦極過程示意圖

第33屆(2016年)全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽的第四題給出了簡(jiǎn)單的解法和清晰的答案:蹦極者受繩子向下拉力作用,其加速度a>g.

復(fù)賽原考題:蹦極是年輕人喜愛的運(yùn)動(dòng)．為研究蹦極過程,現(xiàn)將一長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m、當(dāng)僅受到繩本身重力時(shí)幾乎不可伸長(zhǎng)的均勻彈性繩的一端系在橋沿b,繩的另一端系一質(zhì)量為M的小物塊(模擬蹦極者);假設(shè)M比m大很多,以至于均勻彈性繩受到繩本身重力和蹦極者的重力向下拉時(shí)會(huì)顯著伸長(zhǎng),但仍在彈性限度內(nèi)．在蹦極者從靜止下落直至蹦極者到達(dá)最下端、但未向下拉緊繩之前的下落過程中,不考慮水平運(yùn)動(dòng)和可能的能量損失.重力加速度大小為g.

(1) 求蹦極者從靜止下落距離y(y

(2) 求蹦極者從靜止下落距離y(y

試題問(1)的參考解答(有刪節(jié)并補(bǔ)充注解):

取橋面為重力勢(shì)能零點(diǎn),系統(tǒng)初始能量是繩的初始勢(shì)能(左半段勢(shì)能不改變,不計(jì)入,M的初始勢(shì)能為零),即

Ei=-mgL/4.

(1)

蹦極者下落距離y時(shí),系統(tǒng)的機(jī)械能為

(2)

按題意,不考慮可能的能量損失,Ei=Ef,有

(3)

將式(3)兩邊求導(dǎo)得

(4)

(5)

加速度的上限大小為

(6)

至此,考題的原解應(yīng)用機(jī)械能守恒定律巧妙地計(jì)算出了蹦極者加速度,但仔細(xì)考察以上的解答過程及其結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)有一些問題值得進(jìn)一步討論:

(a) 當(dāng)M=0(m≠0)時(shí),ay→L→+∞,這顯然是不符合實(shí)際的!問題出在哪?

(b) 當(dāng)M比m大很多(M/m?1)時(shí),a≈g, 蹦極者的運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)無(wú)明顯差異(差異幾乎可以忽略),這是合乎物理實(shí)際的;但是在這種情況下,繩子向下拉力(甩力)幾乎可以忽略,本模型及其結(jié)果式(5)和式(6)的實(shí)際意義也就不是很大了.

如果在(a)和(b)兩種極端情況之間的普通條件下,式(5)和式(6)仍然適用,那么該競(jìng)賽題的解法及其結(jié)果將具有更重要的意義,例如當(dāng)M與m同數(shù)量級(jí)時(shí)式(5)和式(6)還適用嗎?此時(shí)蹦極者的運(yùn)動(dòng)與自由落體明顯不同(如取M/m=1,則ay→L=1.625g), 這種情況下研究繩子對(duì)蹦極者運(yùn)動(dòng)的影響才具有實(shí)際意義. 為了研究式(5)和式(6)的適用范圍,下面我們考察在質(zhì)量比M/m取不同值時(shí),式(5)所描述的M(小物塊或繩子自由端)的速度v和加速度a以及下落距離y(y

2 加速度a、速度v和路程y與時(shí)間t的關(guān)系

為了詳細(xì)研究該競(jìng)賽題的解法及其結(jié)果式(5)和式(6)的適用范圍(即研究質(zhì)量比M/m在什么范圍內(nèi)式(5)和式(6)適用),可先求解體系動(dòng)力學(xué)微分方程, 將式(5)改為微分方程形式并寫出初始條件:

(7)

式(7)在給出L、M和m的值后是一個(gè)定解問題,借助Mathematica就可得到蹦極者下落階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 本文固定L=100 m,而M和m取多種不同的值.

2.1 M比m大得多(M?m)的情形

不妨以M=55 kg和m=5 kg為例,求解式(7)可得蹦極者(以后簡(jiǎn)稱M)到達(dá)最低點(diǎn)的時(shí)間為td=4.5009 s, 0～td時(shí)間內(nèi)M的下落高度y,速度v和加速度a隨時(shí)間t的關(guān)系如圖2～圖4的長(zhǎng)劃線所示. 在這種情況下蹦極者的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與自由落體十分接近,下落到最低點(diǎn)的時(shí)間也與自由落體下落100 m的時(shí)間(4.51754 s)差別很小,這是合乎物理實(shí)際的, 式(5)和式(6)當(dāng)然是適用的;但是蹦極者的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與自由落體幾乎無(wú)差異也反過來(lái)說(shuō)明在M?m條件下本模型的實(shí)際意義不大.

2.2 當(dāng)M與 m同數(shù)量級(jí)時(shí)

以M=m=55 kg為例,則M到達(dá)最低點(diǎn)的時(shí)間為td=4.37341 s,比自由落體快,繩的拉力(甩力)開始明顯起作用,0～td時(shí)間內(nèi)的M下落高度y,速度v和加速度a隨時(shí)間t的關(guān)系如圖2～圖4的點(diǎn)線所示(曲線形態(tài)平穩(wěn)).最低點(diǎn)的加速度a(t=td)=a(y=L)=1.625 g, 速度v=49.4975 m/s,大于自由落體的速度44.2719 m/s.

圖2 3種不同情況下蹦極者(繩子自由端)下落高度y與時(shí)間t的關(guān)系

圖3 3種不同情況下蹦極者(繩子自由端)下落速度v與時(shí)間t的關(guān)系

圖4 3種不同情況下蹦極者(繩子自由端)下落加速度a與時(shí)間t的關(guān)系

2.3 M比m小得多(M?m)的情形

這種情形最典型的例子就是沒有蹦極者,純粹的落繩,M=0,式(7)可進(jìn)一步化簡(jiǎn),它與m無(wú)關(guān),描寫的是繩子自由端處(為方便,下面仍稱之為M)的下落規(guī)律

(8)

數(shù)值求解方程式(8)可得:到達(dá)最低點(diǎn)的時(shí)間為td=3.82732 s,比自由落體快得多,M的下落高度y,速度v和加速度a隨時(shí)間t的關(guān)系如圖2～圖4的點(diǎn)劃線所示(曲線形態(tài)異常:末端變化率幾乎為無(wú)窮大).最低點(diǎn)的加速度a(y→L)→∞(a的極限值與L大小無(wú)關(guān)), 這顯然是違背物理規(guī)律的.

3 對(duì)考題答案適用范圍的初步判斷

對(duì)于M與m同數(shù)量級(jí)的情形,從圖2～圖4的點(diǎn)狀曲線看,式(7)即式(5)的計(jì)算結(jié)果是合理的(曲線形態(tài)正常),初步認(rèn)為考題的解法也適用這種情況.

為了檢驗(yàn)上述論斷,下面用有限元法對(duì)鏈繩的下落運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬.

4 N節(jié)鏈繩下落運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬

表1 取不同M/m時(shí),M到達(dá)最低點(diǎn)的高度和經(jīng)歷時(shí)間的模擬結(jié)果(L=2 m)

圖時(shí)蹦極者下落高度y與時(shí)間t的關(guān)系(從開始至到達(dá)最低點(diǎn)兩種結(jié)果的比較)

圖時(shí)蹦極者下落高度y與時(shí)間t的關(guān)系(從開始至到達(dá)最低點(diǎn)兩種結(jié)果的比較)

5 結(jié)論和討論

經(jīng)過對(duì)考題原解法及其結(jié)果的分析,并用數(shù)值模擬進(jìn)行了輔助檢驗(yàn),總結(jié)如下.

(2) 考題的解法及結(jié)果式(5)和式(6)可以用于M與m同數(shù)量級(jí)的情況,蹦極者首次下落到最低點(diǎn)需要的時(shí)間可以通過解微分方程式(7)得知,若M=m, 取L=100 m,則蹦極者下落到最低點(diǎn)的時(shí)間td=4.37341 s,略短于自由落體的時(shí)間4.51754 s.

當(dāng)然,由于考題的解法使用了簡(jiǎn)化模型,忽略了繩子的水平運(yùn)動(dòng),式(5)～式(7)與實(shí)際結(jié)果之間必然存在一些誤差; 有限元法的數(shù)值模擬可以研究蹦極者和落繩(落鏈)的真實(shí)運(yùn)動(dòng),但過程比較復(fù)雜、計(jì)算量大.