單擺小球在三維空間中運(yùn)動規(guī)律研究

姜付錦 李 都 劉 穎

(湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)，湖北 武漢 430300)

在高中階段,單擺小球在二維空間中的運(yùn)動形式主要有兩類:單擺運(yùn)動(簡諧運(yùn)動)和圓錐擺運(yùn)動(勻速圓周運(yùn)動)．小球開始做圓錐擺運(yùn)動,若小球的初速度有一個微擾,則小球會不會再次達(dá)到勻速圓周運(yùn)動?[1][2]小球會不會做橢圓擺運(yùn)動?[3]研究表明小球既不做勻速圓周運(yùn)動,也不做橢圓擺運(yùn)動,而是一種復(fù)雜的三維曲線運(yùn)動．

1 什么是橢圓擺運(yùn)動?

文獻(xiàn)[4-5]已明確指出: 如圖1所示,一個質(zhì)量為m1、半徑為R的半球形光滑凹槽放置在光滑水平上,再將一個質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)置于凹槽內(nèi)角度為θ處,質(zhì)點(diǎn)由靜止?fàn)顟B(tài)自由下滑,可以證明,質(zhì)點(diǎn)相對地面靜止參考系的運(yùn)動軌跡是橢圓線,故該系統(tǒng)是一種典型的橢圓擺系統(tǒng)．若半球形光滑凹槽固定,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡不可能是橢圓擺．

圖1 橢圓擺系統(tǒng)

2 為什么小球不能再次做勻速圓周運(yùn)動?

圖2

(1)

相對于豎直軸的角動量守恒

mαv0Lsinθ=mvmLsinθm.

(2)

聯(lián)立(1)(2)兩式可求得

(3)

通過研究可以發(fā)現(xiàn),若α=1,則小球做勻速圓周運(yùn)動;若α>1,則(3)式求的是小球運(yùn)動過程中最小速度;若α<1,則(3)式求的小球運(yùn)動過程中最大速度;當(dāng)α≠1時,則小球?qū)⒃诎霃綖長的球面上做復(fù)雜的周期性運(yùn)動,它不可能做勻速圓周運(yùn)動．

3 小球的動力學(xué)微分方程組

圖3 建立球坐標(biāo)系

通過小球的受力分析可知

由以上兩式求得

(4)

(5)

3.1 小球在經(jīng)線方向上微擾周期

小球?qū)ωQ直軸角動量守恒,則有

(6)

(6)式中L為小球的角動量,θ0為開始時繩子與Z軸的夾角,ω0為小球勻速圓周運(yùn)動的角速度, 聯(lián)立(4)、(6)兩式得

(7)

設(shè)θ=θ0+δ,δ→0,π/2<θ0<π,則有

(8)

聯(lián)立(7)、(8)兩式得

(9)

將(9)式整理后得

(10)

將sin-3(θ0+δ)展開為泰勒級數(shù)形式,并舍去二階及以上的小量得

(11)

將(6)、(11)兩式代入(10)式得

(12)

(13)

開始時小球做勻速圓周運(yùn)動,則

(14)

聯(lián)立(6)、(13)、(14)3式得

(15)

結(jié)合小球在經(jīng)向初始狀態(tài),求解(12)式得小球沿經(jīng)線微擾規(guī)律和周期分別為

(16)

3.2 小球在緯線方向上微擾周期

小球?qū)ωQ直軸角動量守恒,則聯(lián)立(6)(8)兩式整理得

(17)

將sin-2(θ0+δ)展開為泰勒級數(shù)形式,并舍去二階及以上的小量得

(18)

把(18)式代入(17)式得

(19)

將(14)式代入(19)式后得

(20)

再對(20)式求導(dǎo)得

(21)

聯(lián)立(12)、(13)、(16)、(21)4式得,小球在緯線方向圓周運(yùn)動微擾角加速度與時間是簡諧振動關(guān)系,且與小球在經(jīng)線方向微擾振動周期相等,所以小球在緯線方向微擾角加速度振動規(guī)律和周期分別為

(22)

3.3 數(shù)值模擬

3.3.1 小球微擾運(yùn)動軌規(guī)律

當(dāng)小球微擾角速度為0.9792ω0時,小球的運(yùn)動軌跡是閉合周期解,運(yùn)動軌跡在水平面上的投影近似一個較粗的圓環(huán),最外側(cè)與最內(nèi)側(cè)相距很近;兩幅側(cè)視圖完全相同,都是軸對稱圖形,證明了小球運(yùn)動軌跡具有閉合周期性特征;小球在3個方向上都做簡諧振動,在X軸與Y軸方向上的振動周期相等,且TX∶TY∶TZ=4∶4∶3,所以圖5和圖6是尼薩如圖形．

圖4 X-Y關(guān)系

圖5 Z-Y關(guān)系

圖6 Z-X關(guān)系

圖7 X-t關(guān)系

圖8 Y-t關(guān)系

圖9 Z-t關(guān)系

3.3.2 小球微擾時在經(jīng)線方向與在緯線方向上振動規(guī)律

小球微擾角速度為0.9792ω0,由圖10、圖12可以看出在經(jīng)線方向和在緯線方向兩個角速度的振動周期相同,這與(16)、(22)兩式分析結(jié)果吻合;因?yàn)榻?jīng)線方向小球角速度與角度的振動相位差是π/2,所以在經(jīng)線方向角速度與經(jīng)角的相圖是一個橢圓;因?yàn)榻?jīng)線方向小球角加速度與緯向角加速度的振動相位差是π/2,經(jīng)向角加速度與緯向角加度相圖也是一個橢圓．

圖10 經(jīng)向角速度與時間關(guān)系

圖11 經(jīng)向角速度與經(jīng)角相圖

圖12 緯向角加速度與時間關(guān)系

圖13 緯向角加速度與經(jīng)向角加速度相圖

3.3.3 一般運(yùn)動情況下閉合周期軌跡的三視圖

當(dāng)小球初角速度為1.09 r/s時,其運(yùn)動軌跡也是一組閉合周期性解,其在水平面上的投影很像“水星近日點(diǎn)進(jìn)動”現(xiàn)象,[7]其中最外側(cè)與最內(nèi)側(cè)分別對應(yīng)小球運(yùn)動的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),數(shù)值模擬結(jié)果也與(3)式分析結(jié)果吻合;兩幅側(cè)視圖也完全相同,滿足軌跡閉合周期解的基本特征．若小球在緯線方向和在經(jīng)線方向上運(yùn)動周期之比恰好是有理數(shù),則小球在三維空間的運(yùn)動軌跡是閉合周期解[8]．

4 結(jié)語

若小球受到的合外力恰好可以提供勻速圓周運(yùn)動向心力,則小球做勻速圓周運(yùn)動;若小球在勻速圓周運(yùn)動時速度有微擾,則小球不會再次達(dá)到勻速圓周運(yùn)動狀態(tài)[9],而且小球在經(jīng)線方向與在緯線方向上兩個角速度振動周期相等,若微擾角速度滿足一定條件,則小球運(yùn)動軌跡的側(cè)視圖可能是尼薩如圖形;若小球開始時不做勻速圓周運(yùn)動,則小球的運(yùn)動軌跡將是一種復(fù)雜三維曲線(球面擺),其俯視圖不是橢圓,其水平投影被限制在兩個圓周之間所夾的“環(huán)狀”區(qū)域,軌跡形狀類似“水星近日點(diǎn)進(jìn)動”現(xiàn)象[7],在經(jīng)線方向和在緯線方向上都是周期性運(yùn)動;若小球在緯線方向和在經(jīng)線方向上兩個運(yùn)動周期之比恰好是有理數(shù),則小球在三維空間的運(yùn)動軌跡是閉合周期解[8],如圖14、圖15和圖16所示;參考文獻(xiàn)[3]中之所以會出現(xiàn)所謂的“橢圓”,其實(shí)并不是真正的“橢圓”,它只是圖14中某一小段時間內(nèi)的運(yùn)動軌跡水平投影,與橢圓類似而已;當(dāng)單擺的懸點(diǎn)是固定時,小球不可能做“橢圓擺”運(yùn)動．

圖14 Y-X圖

圖15 Z-X圖

圖16 Z-Y圖