半變系數(shù)模型中參數(shù)的幾乎無偏Liu估計(jì)

（華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州450046）

一、引言

本文考慮如下半變系數(shù)模型[1]：

其中，（Yi，Xi1，Xi2，…，Xim，Ui）（i=1，2，…，n）是因變量 Y和自變量 X1，X2，…，Xm，U 的第 i個(gè)樣本觀測值，U為時(shí)間或空間變量，假設(shè)βj（U）為自變量U的一元光滑函數(shù)；βj為常值系數(shù)，ε為誤差項(xiàng)，且滿足E（εi|Ui，Xi1，Xi2，…，Xim）=0，Var（εi|Ui，Xi1，Xi2，…，Xim）=σ2（i=1，2，…，n）。半變系數(shù)模型是一類比較廣泛的模型，如果將常值系數(shù)βj看作函數(shù)，半變系數(shù)模型可以認(rèn)為是變系數(shù)模型的特殊情況；當(dāng)X1=1，q=1時(shí)，就轉(zhuǎn)化為部分線性模型。目前半變系數(shù)模型已經(jīng)獲得了廣泛的研究和應(yīng)用[2][3][4]。眾多學(xué)者得到該模型參數(shù)的估計(jì)方法，比如：兩步估計(jì)法、小波估計(jì)法、一般級數(shù)法等[5][6][7][8]；針對模型中常系數(shù)的估計(jì)問題，F(xiàn)an Jianqing和Huang Tao基于局部線性擬合方法提出常系數(shù)的輪廓最小二乘估計(jì)[9]，魏傳華和吳喜之在模型附加有線性約束條件時(shí)提出了約束輪廓最小二乘估計(jì)[10]，孫倩和韋杰在具有隨機(jī)約束時(shí)提出參數(shù)分量的輪廓混合估計(jì)[11]等。當(dāng)設(shè)計(jì)矩陣存在復(fù)共線性，劉超和韋杰等進(jìn)一步提出了參數(shù)分量的輪廓混合嶺估計(jì)[12]；Trenkler G，Toutenburg H提出幾乎無偏嶺估計(jì)[13]。作為對上述工作的深入，本文在輪廓最小二乘估計(jì)的基礎(chǔ)上提出半變系數(shù)模型中參數(shù)的Liu估計(jì)以及幾乎無偏Liu估計(jì)，并研究了相關(guān)性質(zhì)。

二、估計(jì)的提出

三、幾乎無偏Liu估計(jì)的優(yōu)良性

四、數(shù)值模擬

采用文獻(xiàn)[15]中的數(shù)值模擬方法，令

其中解釋變量x1與x2由

xij=（1-ρ2）1/2zij+zip，（0＜ρ＜1），i=1，2，…n，j=1，2，…p生成，ρ是給定的常數(shù)，ρ2表示兩個(gè)不同解釋變量之間的相關(guān)性，zij、εi、xi3分別是服從 N（0，1）、N（0，σ）2、均勻分布 U[-1，1]的隨機(jī)數(shù)。取n=50，150，200，ρ=0.80，0.90，0.95，0.99，σ2=0.1，根據(jù)交叉確認(rèn)法可得 h=0.1025，0.0851，0.1256， 記 PLSE、RE、AURE、LE、AULE為參數(shù)的輪廓最小二乘估計(jì)、嶺估計(jì)、幾乎無偏嶺估計(jì)、Liu估計(jì)、幾乎無偏Liu估計(jì)的均方誤差，得模擬結(jié)果如下：

表1 五種估計(jì)的均方誤差模擬結(jié)果（n=50，h=0.1025，ρ=0.80，k=1.2591）

表2 五種估計(jì)的均方誤差模擬結(jié)果（n=50，h=0.1025，ρ=0.90，k=1.2578）

表3 五種估計(jì)的均方誤差模擬結(jié)果（n=150，h=0.0851，ρ=0.90，k=1.2574）

表4 五種估計(jì)的均方誤差模擬結(jié)果（n=150，h=0.0851，ρ=0.95，k=1.3148）

表5 五種估計(jì)的均方誤差模擬結(jié)果（n=200，h=0.1256，ρ=0.95，k=1.3265）

表6 五種估計(jì)的均方誤差模擬結(jié)果（n=200，h=0.1256，ρ=0.99，k=1.3435）

附圖 模型中變系數(shù)β（u）=4cos（πu）的擬合圖

五、結(jié)語

針對半變系數(shù)模型中存在的復(fù)共線性問題，本文提出了半變系數(shù)模型中參數(shù)的Liu估計(jì)以及幾乎無偏Liu估計(jì)，并且提出了均方誤差準(zhǔn)則下幾乎無偏Liu估計(jì)優(yōu)于輪廓最小二乘估計(jì)、嶺估計(jì)、Liu估計(jì)的充分條件，在均方誤差陣準(zhǔn)則下幾乎無偏Liu估計(jì)優(yōu)于幾乎無偏嶺估計(jì)的充要條件，最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了相關(guān)理論結(jié)果。關(guān)于變系數(shù)Liu估計(jì)，幾乎無偏Liu估計(jì)的優(yōu)良性質(zhì)本文僅從數(shù)值模擬進(jìn)行了驗(yàn)證，其理論性質(zhì)將另文探討。