歐幾里得和他的《幾何原本》

王姍姍

歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家，幾何之父，一生著作很多，遺憾的是，除了《幾何原本》外，他只給世界留下了兩句話。

一句是在托勒密國王問歐幾里得有沒有學(xué)習(xí)幾何學(xué)的捷徑時(shí)，歐幾里得答道：“幾何無王者之道?！绷硪痪涫窃谝粋€(gè)學(xué)生才開始學(xué)習(xí)第一個(gè)命題時(shí)，就問學(xué)幾何有何用處，歐幾里得對(duì)身邊的侍從說：“給他三個(gè)錢幣，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲取實(shí)利?！边@兩句話和他的《幾何原本》一樣，影響深遠(yuǎn)。

《幾何原本》選取少量原始的概念作為定義、不需要證明的命題作為公設(shè)或公理，利用邏輯推理的方法推演出整個(gè)幾何體系。在第一卷中，首先給出了點(diǎn)、線、面、角、垂直、平行等定義，接著給出了5條公設(shè)和5條公理，公理后是一個(gè)接一個(gè)的命題及其證明。

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材中，把“同位角相等，兩直線平行”作為基本事實(shí)，推理得出“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”。而《幾何原本》在第1卷第27個(gè)命題中，用反證法證得了“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，隨后由命題27證得“同位角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，并作為第28個(gè)命題。

《幾何原本》中第27個(gè)命題證明如下：

已知：直線EF與直線AB、CD相交，其中∠AEF=∠EFD。

求證：AB∥CD。

證明：假設(shè)AB、CD不平行，那么它們一定相交，假設(shè)它們?cè)贐、D方向交于點(diǎn)G，那么在△GEF中，外角∠AEF=∠EFG。這與第一卷中已證明的命題16（三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與其不相鄰的內(nèi)角）矛盾。

所以假設(shè)不成立，即AB、CD在B、D方向不能相交。

同理AB、CD在A、C方向也不能相交。

所以AB∥CD。 （平行線的定義）

上述證明過程中用到了第一卷中已證明的命題16：三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與其不相鄰的內(nèi)角。這個(gè)命題在《幾何原本》中如何得到呢？

已知：△ABC為任意三角形，延長(zhǎng)BC至D。

求證：∠ACD大于∠CBA或∠BAC。

證明：在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=EC，連接BE，并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF=BE，延長(zhǎng)AC至G。

因?yàn)椤螦EB=∠FEC（已證的命題15：對(duì)頂角相等），AE=EC，BF=EF。

所以△ABE≌△CFE（已證明的命題4：如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其夾角相等，那么它們的第三邊也相等，這兩個(gè)三角形全等，其對(duì)應(yīng)角也相等）。

所以∠BAE=∠ECF。

又因?yàn)椤螮CD>∠ECF（公理5：整體大于部分），

所以∠ACD>∠BAE。

同理可以證明∠BCG>∠ABC。

因?yàn)椤螦CD=∠BCG（已證的命題15：對(duì)頂角相等），

所以∠ACD>∠ABC。

在這個(gè)命題中又應(yīng)用了第一卷中已經(jīng)證明的命題4和命題15。而命題4和命題15的證明又分別用到了公理和公設(shè)以及其他已證命題。

由此可見，歐幾里得在《幾何原本》中創(chuàng)造了一個(gè)完整的邏輯演繹體系，建立了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系，即用公理、公設(shè)和定義的推證方法;創(chuàng)造了幾何證明的方法，即分析法、綜合法和反證法?！稁缀卧尽肥侨祟悮v史上的一部偉大的科學(xué)巨作，其公理化思想后來被廣泛運(yùn)用到社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域。

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學(xué)）