抓住“三類角”　解題任逍遙

顏哲宇

學(xué)習(xí)了第七章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”之后，我覺得最主要的還是要抓住角與角之間的關(guān)系。怎樣抓住角與角之間的關(guān)系呢？讓我們一起來看兩道例題。

例1 如圖1，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD的度數(shù)。

【解析】從表面上看∠ABC、∠CDE、∠BCD這三個(gè)角很難有聯(lián)系，但是，已知條件中有平行，立刻聯(lián)想到“三類角”（同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角）?？墒菆D中沒有“三類角”，為了出現(xiàn)“三類角”，我們可以嘗試過點(diǎn)C作CF∥DE，如圖2。這樣，原來沒有聯(lián)系的三個(gè)角，就會(huì)分別構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，問題就迎刃而解了。過點(diǎn)C作CF∥DE，則∠EDC+∠DCF=180°，所以∠DCF=40°;由CF∥AB可得∠ABC=∠BCF=80°，∴∠BCD=40°。這里，要提醒同學(xué)們注意，思路理順后，就要用規(guī)范的表達(dá)有條理地書寫，別忘記根據(jù)CF∥DE、AB∥DE，說明CF∥AB。我在第一次碰到這種類型的題目時(shí)，就沒有注意。后來在老師的提醒下才明白所作的CF只是平行于DE，它與AB平行不是已知的，要進(jìn)行說明。當(dāng)然過點(diǎn)C往左作平行線、延長(zhǎng)ED等都可以解決問題，構(gòu)造平行線是通用方法。

【感悟】解決此題的關(guān)鍵是已知角和要求角之間的關(guān)系，平行的最大作用就是提供了“三類角”之間的關(guān)系。本題通過添加輔助線——平行線，提供了內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角之間的關(guān)系，建立了已知角和要求角之間的關(guān)系。

例2 如圖3，已知∠BFM=∠1+∠2，求證：AB∥CD。

【解析】已知條件提供了∠1、∠2、∠BFM之間的數(shù)量關(guān)系，圖形位置上卻看似毫無關(guān)系，怎樣和平行聯(lián)系上呢？老師告訴我們，平行的判定本質(zhì)上是“三類角”的數(shù)量關(guān)系決定兩條被截線的位置關(guān)系;平行的性質(zhì)本質(zhì)上是兩條被截線的位置關(guān)系決定“三類角”的數(shù)量關(guān)系。要證平行，就要找某類角。與已知條件中∠BFM構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的是∠FGN（也可以找其同位角∠DGM），而∠FGN恰好等于∠1+∠2。再結(jié)合已知條件，就可以得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角（同位角）相等，兩直線平行，得證。當(dāng)然，也可以找∠BFM的同旁內(nèi)角∠FGD，利用“三角形內(nèi)角和為180°”證明。

【感悟】“三類角”的數(shù)量關(guān)系與被截線的位置關(guān)系相互決定，“數(shù)”與“形”就這樣緊密地聯(lián)系在一起。就像老師所說：“數(shù)形結(jié)合既是本章的重要知識(shí)，也是本章的重要思想方法?！崩?通過添加輔助線構(gòu)造三類角，由平行得到三類角之間的關(guān)系;例2通過選擇恰當(dāng)?shù)娜惤?，結(jié)合已知條件推斷其數(shù)量關(guān)系，從而判定兩條直線的位置關(guān)系。

有的同學(xué)說本章難學(xué)，其實(shí)不然。靜下心來，細(xì)心觀察，把觀察到的特征與題目的條件結(jié)合起來，作為大腦聯(lián)想和思維運(yùn)行的線索，抓住“三類角”的數(shù)量關(guān)系與被截線的位置關(guān)系的根本聯(lián)系，靈活轉(zhuǎn)化，在解決本章問題時(shí)就能夠游刃有余、任意逍遙。同學(xué)們，你們學(xué)會(huì)了嗎？

教師點(diǎn)評(píng)

“數(shù)形結(jié)合既是本章的重要知識(shí)，也是本章的重要思想方法?！毙∽髡咴趯W(xué)習(xí)中深刻地領(lǐng)悟了這一內(nèi)容的精髓，形成了自己的獨(dú)到認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)到平行知識(shí)的本質(zhì)，洞察了數(shù)學(xué)不難的秘密，享受了解題順暢的愜意。他的這種學(xué)習(xí)，一方面深入到知識(shí)的本質(zhì)，另一方面悟到了學(xué)習(xí)的方法，值得同學(xué)們借鑒。

（指導(dǎo)教師：鐘 鳴）