剖析錯(cuò)解　揭秘錯(cuò)因

章薇薇

初中數(shù)學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”部分由數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)三部分組成。而函數(shù)作為重要的組成部分，總會(huì)出現(xiàn)在各類考題中。有的題明明會(huì)做，可還是錯(cuò)了;有的題看著挺眼熟，就是不知如何下手;有的題看了好多遍都不知所云……同學(xué)們，如果你也有這樣的困惑，請(qǐng)跟著老師，一起來揭秘這些函數(shù)易錯(cuò)題背后的錯(cuò)因。

例1 （2020·江蘇南京）下列關(guān)于二次函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1（m為常數(shù)）的結(jié)論：①該函數(shù)的圖像與函數(shù)y=-x2的圖像形狀相同;②該函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)（0，1）;③當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小;④該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x2+1的圖像上。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是。

【錯(cuò)因剖析】

典型錯(cuò)誤1：對(duì)二次函數(shù)的三種表達(dá)式?jīng)]有真正掌握，不能正確解讀二次函數(shù)頂點(diǎn)式。

剖析點(diǎn)評(píng)：從二次函數(shù)頂點(diǎn)式中，我們可以得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+1），對(duì)稱軸為直線x=m，結(jié)合a=-1，其開口方向向下，得到它有最大值。

典型錯(cuò)誤2：不喜歡畫圖，對(duì)于二次函數(shù)的性質(zhì)掌握不到位。

剖析點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)類問題，要會(huì)畫草圖，并借助圖形進(jìn)行增減性分析。本題圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線x=m，則對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小。

【正確解答】①兩個(gè)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)都為-1，則兩個(gè)函數(shù)圖像形狀相同;②把（0，1）代入函數(shù)表達(dá)式即可;③函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為-1，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=m，畫出草圖即可;④根據(jù)表達(dá)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+1），代入y=x2+1驗(yàn)證即可。故答案為①②④。

例2 （2020·江蘇蘇州）如圖1，平行四邊形OABC頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D（3，2）在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過C、D兩點(diǎn)。已知平行四邊形OABC的面積是[152]，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）。

A.（4，[83]）B.（[92]，3）

C.（5，[103]）D.（[245]，[165]）

【錯(cuò)因剖析】

典型錯(cuò)誤1：對(duì)反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式等知識(shí)與技能掌握不到位。

剖析點(diǎn)評(píng)：做題前，我們先要理解概念，掌握知識(shí)要點(diǎn)，知道兩點(diǎn)在同一個(gè)反比例函數(shù)圖像上的意義;能將一個(gè)點(diǎn)在某條直線上轉(zhuǎn)化成點(diǎn)坐標(biāo)滿足的一次函數(shù)表達(dá)式。

典型錯(cuò)誤2：圖中除了已知點(diǎn)D的坐標(biāo)外，其他點(diǎn)的坐標(biāo)都未知，有些同學(xué)不會(huì)結(jié)合條件對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行設(shè)元。

剖析點(diǎn)評(píng)：用含字母的表達(dá)式來表示點(diǎn)的坐標(biāo)是必備技能。首先，利用點(diǎn)D既在反比例函數(shù)圖像上，也在對(duì)角線OB上，可求出反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的表達(dá)式;然后，利用BC∥OA，得到點(diǎn)B、點(diǎn)C縱坐標(biāo)相等，把點(diǎn)B縱坐標(biāo)代入直線OB的表達(dá)式，得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出BC的長(zhǎng)度;最后，結(jié)合平行四邊形OABC的面積是[152]，列出方程求解。

典型錯(cuò)誤3：在解答過程中，需要進(jìn)行運(yùn)算。求兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;設(shè)點(diǎn)C或點(diǎn)B坐標(biāo)后，再表示另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);利用面積求出a，在某個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。

剖析點(diǎn)評(píng)：（1）在直線OB表達(dá)式的求解過程中，有的同學(xué)會(huì)得到y(tǒng)=[32x];（2）設(shè)C為（a，[6a]），則B坐標(biāo)為（x，[6a]），代入OB的表達(dá)式y(tǒng)=[23x]，得到[6a]=[23x]后，有的同學(xué)不知道是用a表示x，還是用x表示a;（3）有的同學(xué)將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成S△OBC=[154]，但在計(jì)算過程中，忘記了三角形面積公式要除以2。

【正確解答】根據(jù)點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，2），易得反比例函數(shù)為y=[6x]。設(shè)OB的表達(dá)式為y=mx，由OB經(jīng)過點(diǎn)D（3，2），得出OB的表達(dá)式為y=[23x]。設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，[6a]），且a>0，由平行四邊形的性質(zhì)，得BC∥OA，點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等。

（方法一）由S平行四邊形OABC=[152]，得BC=[54a]，即B（[94a]，[6a]），代入OB表達(dá)式，可得a的值，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)表達(dá)式即可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（[92]，3）。

（方法二）由點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，且點(diǎn)B又在直線OB上，得點(diǎn)B（[9a]，[6a]），所以BC=[9a]-a。再根據(jù)平行四邊形面積公式即可得出結(jié)果。

（方法三）延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)G，由反比例函數(shù)的幾何意義，得S△OGC=3，則S△OGB=3+[154]=[274]，即點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)積的一半等于[274]，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)繼續(xù)計(jì)算即可。

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學(xué)）