靈活選用二次函數(shù)表達式

劉丹

二次函數(shù)是中考的熱點內(nèi)容，其中用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式也是我們必須掌握的方法。我們在求二次函數(shù)的表達式時，應(yīng)根據(jù)題目給出的條件，靈活地選用不同的方法。

用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式的步驟：1.根據(jù)題目條件設(shè)出合適的函數(shù)表達式;2.把已知條件代入函數(shù)表達式;3.解方程（組）求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)表達式。下面舉例說明，希望對同學(xué)們有幫助。

（下文中提到的a、b、c、h、k、xl、x2均為常數(shù)，a≠0）

一、利用y=ax2求二次函數(shù)表達式

當(dāng)拋物線的頂點在原點時，通常選用y=ax2設(shè)表達式。

例1 已知拋物線的頂點在原點，且點A（2，8）在拋物線上，求該拋物線的函數(shù)表達式。

解：設(shè)函數(shù)表達式為y=ax2，把A（2，8）代入，解得a=2，所以拋物線的表達式為y=2x2。

【總結(jié)】因為拋物線的頂點在原點，所以設(shè)拋物線的表達式為y=ax2，然后將已知的點坐標(biāo)代入表達式即可求出a的值。

二、利用y=ax2+k求二次函數(shù)表達式

已知拋物線的頂點在y軸上或是以y軸為對稱軸時，可設(shè)函數(shù)表達式為y=ax2+k。

例2 已知：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為y軸，且過點A（0，-3）、B（2，0），求該拋物線的表達式。

解：由題可設(shè)拋物線的表達式為y=ax2-3，將B（2，0）代入表達式，得4a-3=0，可得a=3/4，則拋物線的表達式為y=3/4x2-3。

【總結(jié)】由于拋物線的對稱軸為y軸，且過點A（0，-3），所以拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，-3），于是設(shè)拋物線的表達式為y=ax2-3，然后將B（2，0）代入求解即可。

三、利用y=a（x-h）2求二次函數(shù)表達式

如果二次函數(shù)的圖像頂點在x軸上或最大（?。┲禐榱銜r，可設(shè)它的表達式為y=a （x-h）2，其頂點坐標(biāo)為（h，0）。

例3 如圖1，已知二次函數(shù)圖像頂點在x軸上，對稱軸為直線x=-2，且A（1，3）在函數(shù)圖像上，求它的表達式。

解：由題可設(shè)拋物線的表達式為y=a（x+2）2，將A（1，3）代入，得a（1+2）2=3，解得a=1/3，所以拋物線的表達式為y=1/3（x+2）2。

【總結(jié)】因為拋物線圖像頂點在x軸上，對稱軸為x=-2，所以頂點坐標(biāo)為（-2，0），由此可設(shè)拋物線的表達式為y=a（x+2）2，然后將點A（l，3）代入即可求出表達式。

四、利用y=a（x-h）2+k求二次函數(shù)表達式

已知拋物線圖像的頂點坐標(biāo)為（h，k），一般可設(shè)拋物線表達式為y=a （x-h，）2+k，然后根據(jù)其他條件確定a的值。已知拋物線的對稱軸，即頂點的橫坐標(biāo);或已知拋物線的最大（?。┲?，即拋物線的最高（低）點的縱坐標(biāo)，也可用此形式求二次函數(shù)的表達式。

例4 已知二次函數(shù)圖像對稱軸為直線x=-l，且最大值為-3，同時圖像與y軸的交點坐標(biāo)為（0，-5），求該函數(shù)的表達式。

解：由題可設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a（x+1）2—3，將（0，-5）代入得a=-2，從而得拋物線的表達式為y=-2（x+l）2-3，即y=-2x2-4x-5。

【總結(jié)】若已知條件是圖像的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大（?。┲?，可設(shè)拋物線表達式為y=a （x-h 2+k，再將已知條件代入，求出待定的系數(shù)。

五、利用y=a（x-x1） （X-X2）求二次函數(shù)表達式

已知拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)時，通常設(shè)表達式為交點式，即y=a （x-x1）（x-x2）。

例5 如圖2，在直角坐標(biāo)系中，點A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（一1，0）、（3，0）、（0，3）。

（1）求過A、B、C三點的拋物線表達式;

（2）求出拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)。

解：（1）設(shè)拋物線的表達式為y=a （x+l）（x-3），將（0，3）代入得3=a（0+1） （0-3），解得a=-l，∴拋物線的表達式為y=-（x+l）（x-3），即 y=-x2+2x+3。

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x一1）2+4，

...對稱軸為直線x=l，頂點坐標(biāo)為（1，4）。

【總結(jié)】當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，且知道圖像上的另一個坐標(biāo)時，通常設(shè)交點式y(tǒng)=a （x-x1）（x-x2）來求這個二次函數(shù)表達式。

六、利用y=ax2+bx+c求二次函數(shù)表達式

當(dāng)已知二次函數(shù)圖像上任意三點時，可設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=ax2+bx+c，然后將三點坐標(biāo)分別代入求出待定系數(shù)。一般來說，此方法計算比較繁瑣，只有當(dāng)三點坐標(biāo)不符合以上幾種情況時才使用。

例6 已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：

求此二次函數(shù)表達式。

解：設(shè)二次函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c，

∴二次函數(shù)表達式為y=x2-4x-5。

【總結(jié)】實際上根據(jù)表中的情況，我們還可以利用“頂點式”或“交點式”求解。有興趣的同學(xué)可以嘗試一下。

（作者單位：江蘇省泗陽經(jīng)濟開發(fā)區(qū)學(xué)校）