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    二次函數(shù)在生活中的應用

    2020-03-10 08:54:11孫艷
    初中生世界·九年級 2020年12期
    關鍵詞:警戒水位船只表達式

    孫艷

    二次函數(shù)是初中階段數(shù)學中的一個重要組成部分,也是中考中的必考內(nèi)容,它的重要性顯而易見。而隸屬其中的在實際生活中的應用又是二次函數(shù)的一個難點,很多同學從心理上就怵它,學起來便顯得很吃力。在實際生活中,橋梁、隧道、噴泉、經(jīng)濟、球類運動軌跡等都融合了二次函數(shù)的相關知識點。下面我們從常見的二次函數(shù)與實際生活問題之間的關系中選擇橋梁和經(jīng)濟兩種類型來分析,希望能使同學們的學習達到事半功倍的效果。

    一、二次函數(shù)在橋梁中的應用

    例1 有一座拋物線形拱橋,在正常水位時,水面AB的寬為20米;在警戒水位時,水面寬12米。如果水位上升3米時,水面CD的寬為16米。

    (1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟠藪佄锞€表達式;

    (2)在正常水位時,有一艘寬8米、高3.5米的船只,能否通過此橋?

    (3)若正常水位時,水深4米,為了保證船只順利通過,水面寬度不得小于警戒水位,求水深超過多少時會影響船只通行?

    (4)現(xiàn)有一輛距橋440千米的貨車以36千米/小時的速度開向此橋,行使2小時后,接到通知,前方連降暴雨,造成水位以每小時0.5米的速度上漲,問如果貨車按原速行駛,能否安全過橋(橋長忽略不計,達到警戒水位時不能過橋)。若能,說明理由;若不能,要使貨車安全過橋,速度應不小于多少千米每小時?

    【分析】(1)求拋物線表達式是解決二次函數(shù)相關問題的基礎。求二次函數(shù)表達式的方法有:

    ①一般式:已知拋物線上三點坐標,可設y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù));

    ②交點式:已知拋物線與x軸的兩個交點,可設y=a(x-x1)(x一x2)(a≠0);

    ③頂點式:已知拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值,可設y=a(x-h)2+k(a≠0)。

    本題也可建立其他的平面直角坐標系,答案不唯一。

    (2)根據(jù)船只的寬度和拋物線表達式,當橫坐標是4時,求出此點到橋面的距離;再根據(jù)正常水位時的條件,求出水面到橋面的距離。這兩個距離之差與3.5比較,大于3.5時能通過,否則不能。

    (3)當水面寬度就是警戒水位時,求出此時水面到橋面的距離,再根據(jù)正常水位時水面到橋面的距離,可求不影響船只通行的水深的最大值。

    (4)本題實質(zhì)上是行程類問題,根據(jù)路程=速度×時間,算出到達警戒水位時的時間,求出貨車行駛的路程。若求出的路程大于等于440千米時,可順利通過橋,反之,不能。

    解:(1)如圖1所示建立平面直角坐標系,設拋物線的表達式為y=ax2(a≠0),OH=h。

    ∵AB=20,CD=16,OH=h,,EH=3,

    ∴BE=10,DH=8,OE=h+3,

    ∴B(10,-h,-3),D(8,-h).

    ∴船只能順利通過。

    答:水深超過28/3米時,影響船只通行。

    (4)設£小時后水位達到警戒水位,由題意,得0.5t= 25/3-3,解得t=32/3。

    ∴此時貨車行駛的路程=36×(2+32)=456(千米)。

    ∵456 >440,∴貨車能夠安全過橋。

    【點評】本題考查二次函數(shù)在橋梁中的應用,借助平面直角坐標系確定二次函數(shù)表達式及利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵。

    二、二次函數(shù)在銷售中的應用

    例2 在抗擊“新冠”疫情期間,某藥店以每個2元的進價購進一批某型口罩售賣。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若按定價每個3元銷售,每天可銷售500個。定價每增加1元,每天將少賣100個。按相關政策,該型口罩售價不能超過6元,同時假設定價不低于每個3元。設定價為每個x元,每天銷售量為y個。

    (1)請寫出y與x的函數(shù)表達式及自變量x的取值范圍:

    (2)設該藥店銷售這批口罩一天的利潤為W元,求W與x的函數(shù)表達式;

    (3)當藥店將口罩定價為每個多少元時,每天所獲利潤最大?最大利潤是多少元?

    (4)該藥店老板熱心公益事業(yè),決定從每天的銷售利潤中捐出100元給希望工程。為保證捐款后每天剩余利潤不低于700元,請寫出該口罩售價的范圍。

    【分析】(1)定價每個3元,可銷售500個,定價每增加1元,每天將少賣100個,即x比3大多少就少賣多少個100。

    (2)本問考查二次函數(shù)在銷售問題中的應用,理清成本、利潤之間的關系是解決問題的關鍵。總利潤=總銷售額一總成本,總銷售額=售價×銷量,總成本=進價×銷量。

    (3)二次函數(shù)最值的求法:配方法或頂點公式法。需注意自變量的取值范圍、對稱軸、函數(shù)圖像增減性等。

    (4)捐款后的利潤=銷售利潤-100,即W-100≥700。還可利用解方程或數(shù)形結(jié)合思想解決。

    解:(1)由題意,得y=500-100 (x-3)=800-lOOx( 3≤x≤6)。

    (2)由題意,得W=xy-2y= (x-2)y= (x-2)(800-lOOx)=-lOOx2+lOOOx-1600.

    (3)∵W=-100x2+lOOOx-1600=-100 (x-5)2+900,

    又∵-100<0,3≤x≤6,

    ∴當x=5時,W最大=900。

    答:當藥店將口罩定價為每個5元時,每天所獲利潤最大,最大利潤為900元。

    (4) W-100=-100x2+lOOOx-1600-100.

    ∵100x2+lOOOx-1600-100≥700.

    ∴x2-lOx+24≤0.

    ∴(x一4)(x-6)≤0。

    ∴x一4≥0,或x一4≤0,

    x-6≤0, x- 6≥0。

    ∴4≤x≤6。或如圖2所示:

    令y'=X2-10x+24,

    ∵x2-lOx+24≤0.

    ∴y≤0,由圖可得4≤x≤6。

    答:該口罩售價的范圍是4≤x≤6。

    【點評】本題考查了二次函數(shù)在銷售方面的應用及二次函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系。理清題中的數(shù)量關系并明確二次函數(shù)的表達式與相關性質(zhì)是解決問題的關鍵。

    利用二次函數(shù)建立數(shù)學模型來解決實際問題,用數(shù)學思維來分析實際問題,才是真正搭建了數(shù)學與生活的橋梁。

    (作者單位:江蘇省泗陽縣實驗初級中學)

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