合數(shù)母數(shù)素?cái)?shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布圖和應(yīng)用

（內(nèi)蒙古包頭鐵路公安處 內(nèi)蒙古·包頭 014040）

0 引言

本文簡(jiǎn)要介紹了母數(shù)論的思想。并在論文1①的基礎(chǔ)上，再向讀者介紹一種用圖象法或說(shuō)網(wǎng)絡(luò)法，網(wǎng)盡勾股數(shù)的方法。同時(shí)告訴讀者幾種新的判定奇素?cái)?shù)和合數(shù)的方法。通過(guò)論文1讀者了解了母數(shù)的概念后，這篇論文3將在母數(shù)論的層面，描繪出素?cái)?shù)母數(shù)合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布圖（也叫勾股數(shù)網(wǎng)絡(luò)圖）。

這個(gè)圖反映了素?cái)?shù)母數(shù)合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律。只要首先掌握了合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律，對(duì)素?cái)?shù)母數(shù)的認(rèn)識(shí)就一目了然了，進(jìn)而求解素?cái)?shù)，合數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律也迎刃而解了。

列舉了網(wǎng)絡(luò)圖的3個(gè)應(yīng)用：（1）判定奇素?cái)?shù)和奇合數(shù)；（2）分解奇合數(shù)；（3）求網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)②…指出網(wǎng)絡(luò)圖象魔方一樣變化多樣，遠(yuǎn)不止這三個(gè)用途。有興趣的讀者自可根據(jù)母數(shù)論思路去挖掘?qū)ひ挕?/p>

1 母數(shù)的定義和用途

定義1：我們把n叫做奇數(shù)2n+1的母數(shù)（n∈N），顯然n和2n+1是一一對(duì)應(yīng)的。

定義2：有奇合數(shù)M=2d+1，母數(shù)d叫做合數(shù)母數(shù)。d∈D（D是所有合數(shù)母數(shù)d的集合）。

定義3：有奇素?cái)?shù)P=2p′+1，母數(shù)p叫做素?cái)?shù)母數(shù)。p∈E（E是所有素?cái)?shù)母數(shù)p的集合）。

由定義1、2、3有推論：d是合數(shù)母數(shù)，2d+1一定是奇合數(shù)。p是素?cái)?shù)母數(shù)，2p+1一定是奇素?cái)?shù)。

有了上面的定義，反過(guò)來(lái)，我們有時(shí)把奇數(shù)2n+1叫做其母數(shù)n的子數(shù)。顯然，子數(shù)等同于奇數(shù)。就是說(shuō)任何奇數(shù)或說(shuō)子數(shù)2n+1都有一個(gè)母數(shù)n（后面的論文中要用到子數(shù)的概念）。

這樣我們就會(huì)建立起子數(shù)（奇數(shù)2n+1）與其母數(shù)n，奇合數(shù)(2d+1)與其合數(shù)母數(shù)d，素?cái)?shù)（2p+1）與其素?cái)?shù)母數(shù)p′一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：

由此，我們可以按照合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中存在的特殊規(guī)律編織出一個(gè)能夠網(wǎng)盡合數(shù)母數(shù)留下素?cái)?shù)母數(shù)的網(wǎng)絡(luò)之篩。同時(shí)，這個(gè)嚴(yán)密的網(wǎng)絡(luò)之篩，同樣能網(wǎng)盡勾股數(shù)。

2 素?cái)?shù)母數(shù)合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布圖（也叫勾股數(shù)網(wǎng)絡(luò)圖）

我們討論母數(shù)方程：d=x+y+2xy （x，y∈N，d∈D）

這是一個(gè)關(guān)于合數(shù)母數(shù)d的二元二次不定方程。合數(shù)母數(shù)d是由x，y在正整數(shù)范圍內(nèi)取值多少來(lái)確定的。我們知道解方程求X，Y的正整數(shù)解較難，反過(guò)來(lái)x，y取正整數(shù)求d易。讀者在論文2③中已經(jīng)見到過(guò)這種合數(shù)母數(shù)方程。

這種情況下，我們可以把合數(shù)母數(shù)d的變化拓展為一個(gè)依賴于（x，y）的函數(shù)。

定義：Zh（x，y）=x+y+2xy x，y∈N）為合數(shù)母數(shù)函數(shù)，它是一個(gè)關(guān)于x，y的二次函數(shù)。

這個(gè)函數(shù)的定義域我們只限定在正整數(shù)范圍內(nèi)取值：有x，y∈N 所以，

值域：D=｛d（x，y）∣Zh（x，y）=x+y+2xy d（ x，y）∈D｝

或 D=｛d∣d=Zh（x，y） d∈D｝

在 d=x+y+2xy 中，∵ d=x+（2x+1）y （x，y∈N）

我們依次?。?/p>

｛y=1，x=1；｛y=1，x=2；｛y=1，x=3；……｛y=1，x=i

｛y=2，x=1；｛y=2，x=2；｛y=2，x=3；，……｛y=2，x=i

……

｛y=n，x=1，｛y=n，x=2；｛y=n，x=3；……，i｝

把每次得到的d=Zh（x，y）的合數(shù)母數(shù)值，分別標(biāo)在下面的直角坐標(biāo)系xOy中。d落在對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)交點(diǎn)d（x，y）上。定義這樣的正整數(shù)格子點(diǎn)叫合數(shù)母數(shù)點(diǎn)，用d或d（x，y）來(lái)表示。這樣我們就會(huì)得到圖1所示的《素?cái)?shù)母數(shù)合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布圖》也即是勾股數(shù)網(wǎng)絡(luò)圖。

圖1

3 素?cái)?shù)母數(shù)合數(shù)母數(shù)分布圖（勾股數(shù)網(wǎng)絡(luò)圖）的特點(diǎn)

圖1告訴我們：

（1）在x或y軸上的0和正整數(shù)點(diǎn)就是我們熟悉的自然數(shù)也就是我們現(xiàn)在介紹的母數(shù)！可見母數(shù)是披著自然數(shù)的外衣在顯示自己的存在?；蛘f(shuō)自然數(shù)既有正整數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)包容有母數(shù)的性質(zhì)。

在母數(shù)論層面，我們把X或Y軸叫作母數(shù)軸，母數(shù)披著自然數(shù)的外衣繼承了自然數(shù)的正整數(shù)性自然數(shù)的母數(shù)性。并使它們生來(lái)就有從骨子里糾纏在一起，同時(shí)和而不同地包容一體和諧相處④。例如在X軸上，任意取出一個(gè)數(shù)4。首先我們可以認(rèn)定正整數(shù)4是一個(gè)偶數(shù)，可作序數(shù)也可作為基數(shù)，是它正整數(shù)性的體現(xiàn)；同時(shí)，4也是一個(gè)合數(shù)母數(shù)，是奇數(shù)9的或說(shuō)是子數(shù)9的母數(shù)，而且是一個(gè)合數(shù)母數(shù)。這是它母數(shù)性的體現(xiàn)…自然數(shù)的正整數(shù)性或自然數(shù)的母數(shù)性，它們會(huì)在具體應(yīng)用中自然地一一區(qū)分開來(lái)。

（2）可以看到，根據(jù) Zh（x，y）=x+y+2xy 或 d=x+（2x+1）y（x，y∈N）取的合數(shù)母數(shù)點(diǎn)，只要x，y取得足夠多，≤一個(gè)充分大數(shù)的合數(shù)母數(shù)或說(shuō)表示合數(shù)母數(shù)的點(diǎn)，無(wú)一例外地落在Oxy平面Ⅰ象限內(nèi)部（有興趣的讀者不妨用反證法證明一下）。

就是說(shuō)，合數(shù)母數(shù)d組成的集合D，落在xOy象限內(nèi)部。同時(shí)要注意到，這些合數(shù)母數(shù)點(diǎn)完全包含在兩個(gè)邊界x，y軸上。無(wú)容置疑，這些合數(shù)母數(shù)確定的是自然數(shù)的一部分。例如圖I中X軸上圈出的數(shù)…

（3）大家都已熟悉等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是：

an=a1+（n1）d′或 an=（a1d′）+nd′（這里 d′是公差）

在圖1中，我們可以規(guī)定 y=0，1，2，3，，i…，依次作為第0組，第1組，第2組，第3組，…第i組等差數(shù)列的序數(shù)。在圖中i=a1d′，這樣x成了對(duì)應(yīng)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n或者說(shuō)是公差d′的個(gè)數(shù)。

我們會(huì)看到合數(shù)母數(shù)完全包含在：

序數(shù)：x=0，1，2，3，4，…，ii=a1d′

公差：d′=1，3，5，7，9，…，2i+1

首項(xiàng)：a1=1，4，7，10，…，3i+1 或 A1=4，12，24，…，2n2+2n

末項(xiàng)：an≤N的i組等差數(shù)列內(nèi)。（若充分大的正整數(shù)N已知）

（4）需要重點(diǎn)指出的是所有等差數(shù)列的序數(shù)即首項(xiàng)i，公差2i+1，和第一項(xiàng)3i+1或中數(shù)2i2+2i都是相互一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，反過(guò)來(lái)也一樣。例如：i=3是第3組等差數(shù)列，第一項(xiàng)a1=3i+1=10，公差d′=2i+1=7…等等。

（5）在函數(shù)Zh（x，y）=x+y+2xy（x，y∈N）中，x，y互換位置函數(shù)值不變，是對(duì)稱函數(shù)。反映在圖1中，合數(shù)母數(shù)d關(guān)于x=y對(duì)稱。在應(yīng)用中，用第一項(xiàng)依次為4，7，10…，3i+1，第一項(xiàng)還是用4，12，24，…，2i2+2i的等差數(shù)列求解合數(shù)母數(shù)的個(gè)數(shù)其結(jié)果是一樣的。只不過(guò)用前者，把由于對(duì)稱而重復(fù)的合數(shù)母數(shù)，包含在i組等差數(shù)列內(nèi)，用后者已把重復(fù)對(duì)稱的合數(shù)母數(shù)預(yù)先篩去罷了。

（6）我們可以把落在x=y上的合數(shù)母數(shù)A定義作“中數(shù)”。當(dāng)x=y=n時(shí)，中數(shù)An=2n(n+1)，它的數(shù)學(xué)定義是一個(gè)奇數(shù)（即子數(shù)）的母數(shù)n和其繼數(shù)乘積的2倍叫做該奇數(shù)母數(shù)n的“中數(shù)”。如2n(n+1)是奇數(shù)（也叫子數(shù)）2n+1母數(shù)n的“中數(shù)”。簡(jiǎn)言之，每一個(gè)子數(shù)必定對(duì)應(yīng)一個(gè)母數(shù)；每一個(gè)母數(shù)必定對(duì)應(yīng)一個(gè)中數(shù)。前面也說(shuō)過(guò)它們都是相互一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

顯然，在 x=y=n 時(shí)，當(dāng)取 n=0，1，2，3 ，4，…n 時(shí)，對(duì)應(yīng)的中數(shù)分別是：

0，4，12 ，24，40…2n（n+1）….這個(gè)合數(shù)母數(shù)列我們把它叫作中數(shù)列需要指出的是，0雖也是母數(shù)，也是中數(shù)，但不是合數(shù)母數(shù)，后面的論文進(jìn)一步論述。在圖1中，為了醒目，把除了0以外的中數(shù)用粗黑體字標(biāo)出，并紅斜線貫穿。

通過(guò)對(duì)稱性，我們可以把圖1中，紅色對(duì)角線和Y軸相夾的與另一側(cè)和X軸相互對(duì)稱的合數(shù)母數(shù)全部篩去（圖中用＝號(hào)劃去的數(shù)）…

4 合數(shù)母數(shù)分布圖（勾股數(shù)網(wǎng)絡(luò)圖）的應(yīng)用

4.1 直觀地判定素?cái)?shù)和奇合數(shù)

（1）在母數(shù)論中，把圖1的橫坐標(biāo)X軸稱作母數(shù)軸。母數(shù)軸是由任意奇數(shù)2n+1的母數(shù) n組成的。我們可以任意找一個(gè)數(shù)n，如果n在合數(shù)母數(shù)分布圖1的象限以內(nèi)，2n+1就是奇合數(shù)。如果n不在分布圖內(nèi)，2n+1就是素?cái)?shù)。例如，15的母數(shù)是7，7顯然在合數(shù)母數(shù)分布圖中是合數(shù)母數(shù)，∴15就是合數(shù)。11的母數(shù)是5，5不在合數(shù)母數(shù)分布圖中是素?cái)?shù)母數(shù)，∴11就是素?cái)?shù)…顯然，我們是先把15，11視作正整數(shù)而且是一個(gè)奇數(shù)，然后根據(jù)定義找到它們的母數(shù)7和5，進(jìn)而在分布圖中進(jìn)行比較…同時(shí)直觀地顯示出了：在母數(shù)軸中，自然數(shù)的正整數(shù)性和自然數(shù)的母數(shù)性交融一體包容一身的二象性質(zhì)。

在圖1中，還可以把母數(shù)軸上的母數(shù)和象限內(nèi)的母數(shù)比較著看。例如，4，7，17它們同時(shí)在母數(shù)軸上和象限內(nèi)都存在，∴它們是合數(shù)母數(shù)，由定義它們對(duì)應(yīng)的子數(shù)或說(shuō)奇數(shù)9，15，35 自然都是奇合數(shù)。而 1，2，3，…8，9…14…只在母數(shù)軸上存在，∴都是素?cái)?shù)母數(shù)，它們對(duì)應(yīng)的數(shù) 3，5，7，…17，19，…29…自然是素?cái)?shù)…

（2）圖1中取x=y右上方的合數(shù)母數(shù)點(diǎn)（含x=y上的點(diǎn)），即x=y和母數(shù)軸相夾的合數(shù)母數(shù)點(diǎn)（不含母數(shù)軸上的點(diǎn)）。如果，所取的合數(shù)母數(shù)是唯一的，即是所取圖中沒有重復(fù)出現(xiàn)的母數(shù)。那么，這樣的合數(shù)母數(shù)的坐標(biāo)點(diǎn)，就是素?cái)?shù)母數(shù) p′。

例如，4（1，1），7（1，2），17（2，3），…，d（x，y）等?！?對(duì)應(yīng)的x，y的坐標(biāo)點(diǎn)分別都是素?cái)?shù)母數(shù)p′，∴2p＇+1是素?cái)?shù)。如上2×1+1=3；2×2+1=5；2×3+1=7 ，…對(duì)應(yīng)都是素?cái)?shù)。

4.2 分解奇合數(shù)

在合數(shù)母數(shù)分布圖中任找一個(gè)合數(shù)母數(shù)d（x，y），橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的值，就是這個(gè)合數(shù)母數(shù)所對(duì)應(yīng)的奇合數(shù)的兩個(gè)奇數(shù)因子的母數(shù)。

例如，已知奇數(shù)15的母數(shù)是7，又知7的坐標(biāo)7(1，2)；∴15= （2×1+1）（2×2+1）=3×5 ；又如，有奇數(shù) 45，知母數(shù) 22（1，7），∴45=3×15；同時(shí)有22（2，4），∴45=5×9，其中 7（1，2）；4(1，1)∴對(duì)應(yīng)有 15=3×5；9=3×3；∴45=3×3×5…等等。

4.3 求勾股數(shù)

前面說(shuō)過(guò)用分布圖求勾股數(shù)時(shí)，把分布圖圖1叫作勾股數(shù)網(wǎng)絡(luò)圖。因?yàn)樗窬W(wǎng)絡(luò)一樣，能網(wǎng)盡我們想要的勾股數(shù)。正如圖1中，用紅線把落在圖中所示的直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的合數(shù)母數(shù)點(diǎn)連接起來(lái)。這樣在xOy平面內(nèi)的每一個(gè)合數(shù)母數(shù)點(diǎn)d（不含X，Y軸），都在不同的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。直角三角形兩個(gè)銳角頂點(diǎn)的合數(shù)母數(shù)分別是中數(shù)A1和A2。

因?yàn)楣垂蓴?shù)出自平面幾何的直角三角形，在圖1中我們示用的R t△A1-d-A2來(lái)演示，如何使用論文1的勾股基本定理，求出我們需要的勾股數(shù)。

4.3.1 求基本勾股數(shù)

最便捷的是，從母數(shù)軸X上取任意母數(shù)，每一個(gè)母數(shù)都可以確定一個(gè)子數(shù)。以這個(gè)子數(shù)為勾，就可以求出由它的母數(shù)確定的基本勾股數(shù)。

步驟如下：例如第一步，我們?nèi)Φ蘑堍邇蓚€(gè)合數(shù)母數(shù)，它們對(duì)應(yīng)的子數(shù)必然是奇合數(shù)9和15。分別以9和15為勾；第二步，順著以④⑦為首項(xiàng)為序數(shù)的兩個(gè)直列等差數(shù)列，在X=Y軸即中數(shù)軸上找到4和7的中數(shù)40和112；第三步，根據(jù)基本勾股定理的公式Z1弦分別為股+1即41和113。這就很直接直截了當(dāng)?shù)貙懗鏊蟮幕竟垂蓴?shù)分別為9，40，41和15，112，113。

我們也可以在圖標(biāo)的R t△4-7-12中：∵74=3，以3為勾；3的母數(shù)為1，找到1的中數(shù)是4，以4為股；4+1=5，以5為弦；∴3，4，5（中數(shù)+1），為所求勾股數(shù)；

同理：在R t△12-17-24 中：∵1712=5，∴5 的母數(shù)為 2，找到2的中數(shù)12為股，弦=中數(shù)+1=13，∴5，12，13為所求勾股數(shù)；

同理：在R t△A1-d-A2中，我們只要依中數(shù)從小到大的順序，取和中數(shù)差一位的合數(shù)母數(shù)d畫出R t△，∵dA1=d＇（公差），這個(gè)公差對(duì)應(yīng)的公式正是2n+1，∵d＇=2n+1，∴我們有論文1的勾股基本定理作保證：任意一個(gè)大于1的奇數(shù)（勾）的平方與該奇數(shù)母數(shù)對(duì)應(yīng)的“中數(shù)”（股）的平方和，等于此“中數(shù)”后繼數(shù)的平方。表示作：

來(lái)保證我們這樣做的正確性。這樣，在網(wǎng)絡(luò)圖中可以簡(jiǎn)單準(zhǔn)確地求出基本勾股數(shù)。

4.3.2 求基本勾股數(shù)的倍數(shù)勾股數(shù)

求這樣的勾股數(shù)，一般只要原勾股數(shù)各項(xiàng)，同時(shí)乘以一個(gè)整數(shù)倍數(shù)就可以了。但這里說(shuō)的是從圖1的網(wǎng)絡(luò)圖中，也可以求出它們：

例如，在Rt△4-10-24 中：∵104=6 ，6=2（倍數(shù)）×3（公差d′），3 的母數(shù)是 1，1 的中數(shù)是 4，∴ 由 3 為勾有 3，4，5.

∴3×2，4×2，（4+1）×2 即 6，8，10 為所求勾股數(shù)。

同理在R t△12-27-60 中：∵27 12=15 ，15=5×3 ∴5×3，12×3，（12+1）×3

又有 15=3×5 ∴4×5，5×5，（5+1）×3

即 15，36，39 和 15，20，25 都為所求勾股數(shù)…可見可以網(wǎng)盡倍數(shù)勾股數(shù)。

4.3.3 求網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)

用網(wǎng)絡(luò)圖除了能求出前兩種勾股數(shù)外，還能求出網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)。在網(wǎng)絡(luò)圖中取x=y右上方的任一個(gè)合數(shù)母數(shù)d，以合數(shù)母數(shù)d確定的奇合數(shù)2d+1為勾，以三角形兩頂點(diǎn)的兩個(gè)中數(shù)之差A(yù)2A1為股，那么，兩個(gè)中數(shù)之和的繼數(shù)即A1+A2+1一定是弦。利用這種方法在網(wǎng)絡(luò)圖中可以網(wǎng)盡第三種勾股數(shù)。

例如在Rt△4-7-12 中：勾為 2×7+1=15，股為 124=8，弦為4+12+1=17

∴15，8，17為所求網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)。

又如在R t△12-22-40 中：勾為 2×22+1=45，股為40 12=28，弦為 12+40+1=53

∴45，28，53為所求網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)。

在R t△4-22-112 中：勾為 2×22+1=45，股為 1124=108，弦為4+112+1=117

∴45，108，117為所求的倍數(shù)勾股數(shù)，各項(xiàng)除以9，得一組基本勾股數(shù) 5，12，13…

網(wǎng)絡(luò)圖所演示的求網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)的正確性，也是由論文1勾股基本定理系2。取任意兩組不相等的基本勾股數(shù)，a1，b1，c1和 a2，b2，c2可組成新的勾股數(shù)：a1a2，│b2b1│，b2+c1來(lái)保證的⑤，

∵c2=b2+1，a1a2=2n+1?！郻2+c1=b1+b2+1

實(shí)際上，用網(wǎng)絡(luò)圖求勾股數(shù)的原理是：運(yùn)用合數(shù)母數(shù)分布圖，把論文1的勾股基本定理重新更直觀的演示了一遍…

5 結(jié)束語(yǔ)

最后，需要指出的是，我們依賴的合數(shù)母數(shù)函數(shù)Zh（x，y）=x+y+2xy，它是一個(gè)關(guān)于x、y的二次函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)x，y在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)，才有合數(shù)母數(shù)方程d=x+y+2xy。當(dāng)x，y的定義域擴(kuò)展到實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)的幾何意義是空間曲面。我們利用這一點(diǎn)，會(huì)演繹出：母數(shù)方程n=x+y+2xy無(wú)正整數(shù)解時(shí)n就是素?cái)?shù)母數(shù)。在網(wǎng)絡(luò)圖I中我們已經(jīng)清楚地看到了這一點(diǎn)。

所以，合數(shù)母數(shù)d應(yīng)該是空間曲面上的正整數(shù)點(diǎn)，在xOy平面上的投影。反映了合數(shù)母數(shù)d和變量x，y在空間曲面的結(jié)構(gòu)邏輯中的純數(shù)量關(guān)系。

而這些空間曲面結(jié)構(gòu)邏輯和數(shù)量關(guān)系的抽象，正是同時(shí)包含加法和乘法的最優(yōu)也是最簡(jiǎn)化的模式2n+1分解時(shí)的產(chǎn)物！它們是形成母數(shù)論抑或說(shuō)網(wǎng)絡(luò)數(shù)論的根據(jù)。至于網(wǎng)絡(luò)圖I中用紅線標(biāo)出的Rt△只是用來(lái)演示如何用母數(shù)理論求勾股數(shù)的。所以，那些圖標(biāo)邊長(zhǎng)與圖上R t△實(shí)際邊長(zhǎng)是相悖的，因?yàn)樗鼈儾辉谝粋€(gè)平面內(nèi)。但它卻能從母數(shù)的層面準(zhǔn)確地把握住了平面幾何中的勾股數(shù)。

在圖I內(nèi)，合數(shù)母數(shù)d（x，y）至少有兩個(gè)正整數(shù)解x和y，這恰恰同時(shí)是合數(shù)母數(shù) d對(duì)應(yīng)構(gòu)造的奇合數(shù)2d+1所分解的至少兩個(gè)奇因數(shù)的母數(shù)！在整個(gè)分解過(guò)程中，我們既看到了也感覺到了自然數(shù)的正整數(shù)性又同時(shí)看到了感覺到了自然數(shù)的母數(shù)性。隨著母數(shù)的推廣應(yīng)用，我們會(huì)逐步體會(huì)到母數(shù)的包容性，母數(shù)的糾纏性，母數(shù)的創(chuàng)造性…母數(shù)的性質(zhì)必然折射出更廣義的哲學(xué)思想。例如，包容就應(yīng)該升華為廣泛的哲學(xué)概念，這是后話。

為了區(qū)別以往用初等數(shù)論和平面幾何的方法求解合數(shù)、素?cái)?shù)、勾股數(shù)的方法，我們能否把用母數(shù)理論求解素?cái)?shù)合數(shù)及勾股數(shù)的方法叫作母數(shù)論或網(wǎng)絡(luò)數(shù)論。

另一方面，自然用這種方法求出的勾股數(shù)叫網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)。狹義上說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)是特指奇合數(shù)為勾，勾股弦互質(zhì)，弦—股>1的那些勾股數(shù)。

符號(hào)說(shuō)明：N為不含0的自然數(shù)也即正整數(shù)集n∈N；P為奇素?cái)?shù)奇素?cái)?shù)集 p∈N；p′為素?cái)?shù)母數(shù)元素，E為素?cái)?shù)母數(shù)集p′∈E；奇素?cái)?shù) P=2p′+1；d為合數(shù)母數(shù)元素，D為合數(shù)母數(shù)集 d∈D；合數(shù)（奇合數(shù)）M=2d+1。

注釋

①⑤論文1系參考文獻(xiàn)[1]所指的論文。

②網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)，中數(shù)，中數(shù)列等概念見參考文獻(xiàn)[1]的論文。

③論文2系參考文獻(xiàn)[2]所指的論文。

④關(guān)于自然數(shù)的正整數(shù)性母數(shù)性，以及下面提到的母數(shù)蘊(yùn)藏的哲學(xué)思考，在論文4《我對(duì)自然數(shù)的第三次認(rèn)識(shí)》中將深入闡述。母數(shù)的糾纏性包容性等概念見參考文獻(xiàn)[2]所的論文。