基于雙線性基函數(shù)磁場積分方法的研究

萬心悅， 蔣年德， 劉耀成， 吳聰平

(1.東華理工大學(xué) 長江學(xué)院，江西 撫州 344000；2.東華理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

分析三維目標(biāo)的電磁散射問題，最常用的方法是通過應(yīng)用三角形離散散射面，即矩量法。通常用平面RWG基函數(shù)來定義平面三角形，描述公共邊上的電流，從而擴(kuò)大未知表面的電流密度。但RWG基函數(shù)只是零階完備的，并且具有低階收斂特性，即使減小剖分尺寸，增加未知量，對求解結(jié)果的精確度提高效果甚微(羅晨等，2019；董洪鵬，2017；王晶晶，2019)。

由于矩量法是通過使用三角形離散目標(biāo)表面，將目標(biāo)結(jié)構(gòu)的散射問題轉(zhuǎn)換成電場積分方程或磁場積分方程進(jìn)行計(jì)算。這兩組方程中的電流分布定義雖然是相同的，但是研究發(fā)現(xiàn)磁場積分方程計(jì)算所得結(jié)果的精度低于電場積分方程，尤其當(dāng)目標(biāo)物體的幾何形狀是曲面或尖銳的情況時(shí)，其精確性會(huì)更差(朱武兵等，2018；吳小川，2010；闕肖峰等，2008)。

為解決這一問題，筆者將雙線性基函數(shù)應(yīng)用于磁場積分方程，對曲面結(jié)構(gòu)和尖銳結(jié)構(gòu)的散射特性進(jìn)行分析和計(jì)算，以期獲得更高的精確度(趙慶廣等，2014；Levent et al., 2009)。

1 基于雙線性基函數(shù)的磁場積分方程

1.1 雙線性基函數(shù)

雙線性基函數(shù)是通過提供6個(gè)自由變量來描述在三角形線上線性變化的向量，其是一階完備的，因此在這一特性上優(yōu)于RWG基函數(shù)。如圖1所示，在公共邊上定義兩個(gè)不同的L-L基函數(shù)以擴(kuò)大電流密度，這比使用零階完備的RWG基函數(shù)精確度更好。在不改變剖分三角形的情況下，與RWG基函數(shù)相比，雙線性基函數(shù)只是花費(fèi)了基函數(shù)數(shù)目增加一倍的成本來實(shí)現(xiàn)高階完備性，從而改進(jìn)RWG的建模(羅春備，2019)。

圖1 第一類(a)和第二類(b)L-L基函數(shù)

第一類L-L基函數(shù)和第二類L-L基函數(shù)都定義在公共邊em上，箭頭顯示二者方向不同，陰影的深淺代表矢量大小的分布。淺色和深色部分分別代表數(shù)值小和數(shù)值大，白色代表數(shù)值為零。兩類L-L基函數(shù)的表達(dá)式分別為:

(1)

(2)

事實(shí)上，在一公共邊上的兩類L-L基函數(shù)之和就是常用的RWG基函數(shù)：

(3)

散度的表達(dá)式:

(4)

由式(4)可見，兩類L-L基函數(shù)的散度是相同的，并且完全等于RWG在基函數(shù)的一半。因此L-L基函數(shù)的實(shí)現(xiàn)可在原RWG基函數(shù)的代碼上做簡單的修改，例如近場作用奇異點(diǎn)提取和遠(yuǎn)場作用傅里葉變換，都可以在采用RWG基函數(shù)代碼的基礎(chǔ)上改編。另外，對于相同數(shù)量的未知數(shù)，與RWG基函數(shù)相比，L-L基函數(shù)在實(shí)現(xiàn)中不要求額外的計(jì)算量(He et al., 2014, 2016；Ding et al., 2014； Zhang et al., 2015)。

1.2 磁場積分方程阻抗元素的填充

理想導(dǎo)體磁場積分方程為

en×[Hs(r)+Hi(r)]=J(r),r∈S

(5)

其中en為導(dǎo)體外法向方向上的單位矢量；Hs為散射場；Hi為入射場。散射場與表面感應(yīng)電流的關(guān)系為

(6)

因此，方程可化為

=en×Hi(r),r∈S

(7)

未知的電流函數(shù)是一個(gè)矢量函數(shù)，因此用L-L基函數(shù)展開為：

(8)

將式(8)帶入(5)式，得：

(9)

應(yīng)用Galerkin方法測試積分方程式(9)，得到：

Zq·I=Vq

(10)

用矩陣方程表示，其中：

(11)

可見應(yīng)用L-L基函數(shù)所構(gòu)造的阻抗矩陣擴(kuò)展了RWG基函數(shù)的阻抗矩陣，由m×n變?yōu)?m×2n(陳廷蓉，2018)。

1.3 近奇異性的處理

RWG基函數(shù)的電場和磁場積分方程的兩種積分形式：

(12)

(13)

式(12)與式(13)中St表示三角形表面。假設(shè)一個(gè)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系，使三角形在x-y平面上，法向向量在z方向上。對于上式中積分?jǐn)?shù)值的計(jì)算，可以通過提取奇異值使積分形式變?yōu)椋?/p>

(14)

式中，R=|r-r′|。等式(14)右邊第二項(xiàng)可獲得解析解，因?yàn)橛校?/p>

(15)

對于式(13)中積分?jǐn)?shù)值的計(jì)算，可以通過提取奇異值使得積分形式變?yōu)椋?/p>

(16)

因?yàn)橛校?/p>

(17)

(18)

2 仿真及結(jié)果分析

算例一：導(dǎo)體球模型

此算例為自由空間中的導(dǎo)體模型，其表面為曲面，半徑為1 m，入射波的頻率為300 MHz，入射角為0°，極化方式為θθ極化，散射角為0°到180°。使用ansys軟件對導(dǎo)體球表面進(jìn)行離散，離散尺寸為0.1 m，剖分后得到三角形內(nèi)邊數(shù)共為3 852，則計(jì)算未知量為3 852，使用L-L基函數(shù)離散未知電流，未知量等于三角形內(nèi)邊數(shù)的兩倍，即7 704。

圖2為采用RWG基函數(shù)和L-L基函數(shù)的磁場積分方程分別計(jì)算出的自由空間中導(dǎo)體球的雙站RCS。與Mie級(jí)數(shù)的結(jié)果比較，二者與Mie級(jí)數(shù)吻合很好，準(zhǔn)確度很高，但在散射角度150°到180°的區(qū)域L-L基函數(shù)的結(jié)果精確度更高。

圖2 導(dǎo)體球模型的雙站RCS

為了更直觀地反映雙線性基函數(shù)的優(yōu)勢，圖3給出了散射角150°到180°計(jì)算結(jié)果的誤差對比。由此可見雙線性基函數(shù)有效提高了磁場積分方程的精確度。

圖3 兩種基函數(shù)在散射角150°到180°范圍下的計(jì)算誤差比較

算例二： 導(dǎo)體立方體模型

此算例為自由空間中導(dǎo)體模型，有八個(gè)尖銳結(jié)構(gòu)，其中立方體邊長為1 m。入射平面波的頻率為300 MHz，入射角為0°，極化方式為θθ極化，散射角為0°到180°。對導(dǎo)體表面進(jìn)行三角形網(wǎng)格離散，剖分尺寸為0.1 m，剖分后得到三角形內(nèi)邊數(shù)為1 998，使用RWG基函數(shù)離散未知電流，未知量等于三角形內(nèi)邊數(shù)1 998，而使用L-L基函數(shù)離散未知電流，未知量等于三角形內(nèi)邊數(shù)的兩倍，即3 996。圖4為分別使用RWG基函數(shù)與使用L-L基函數(shù)的磁場積分方程所計(jì)算出的導(dǎo)體立方體的雙站RCS，與FEKO仿真結(jié)果比較，使用L-L基函數(shù)計(jì)算所得結(jié)果的精確度更優(yōu)。

圖4 導(dǎo)體立方體的雙站RCS

雖然RWG和L-L基函數(shù)在對目標(biāo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行剖分時(shí)采用了相同的剖分尺寸，但L-L基函數(shù)所造成的未知量是RWG基函數(shù)的兩倍，為了不額外增加計(jì)算量，筆者分別對模型采用不同尺寸的剖分。

圖5為RWG基函數(shù)和L-L基函數(shù)在不同剖分尺寸下的計(jì)算結(jié)果。結(jié)果顯示，L-L基函數(shù)在與RWG基函數(shù)保持相似未知量的情況下，仍能得到更加精確的結(jié)果。

圖5 兩種基函數(shù)不同剖分尺寸與FEKO計(jì)算結(jié)果比較

為了進(jìn)一步更直觀地看出L-L基函數(shù)的優(yōu)勢所在，對RWG基函數(shù)和L-L基函數(shù)不同未知量求解結(jié)果的細(xì)節(jié)誤差進(jìn)行了對比(圖6)。在相同等級(jí)未知量的情況下，L-L基函數(shù)能夠獲得更加精確的結(jié)果。

圖6 不同散射角范圍下RWG基函數(shù)與L-L基函數(shù)的計(jì)算誤差比較

3 結(jié)論

針對在計(jì)算目標(biāo)電磁散射時(shí)使用RWG基函數(shù)填充所造成的磁場積分方程精度不高的現(xiàn)象，提出了使用L-L基函數(shù)對磁場積分方程進(jìn)行填充。該基函數(shù)通過在公共邊上定義一對不同的函數(shù)以擴(kuò)大電流密度，從而實(shí)現(xiàn)高階完備性，改進(jìn)RWG的建模。本研究推導(dǎo)了雙線性基函數(shù)填充磁場積分方程的矩陣阻抗元素并采用奇異值提取法進(jìn)行處理，進(jìn)而對目標(biāo)結(jié)構(gòu)的雙站RCS進(jìn)行計(jì)算和分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，L-L基函數(shù)能夠在保證計(jì)算量不增加的情況下，有效提高磁場積分方程計(jì)算曲面及尖銳目標(biāo)散射結(jié)果的精確度。