一類具有混合時(shí)滯的離散型遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析

邱賽兵, 束彥軍

一類具有混合時(shí)滯的離散型遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析

(1. 湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙, 410205; 2. 濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 濟(jì)南, 250022)

為了進(jìn)一步降低具有混合時(shí)滯離散型遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性, 建立了1個(gè)改進(jìn)的基于自由權(quán)矩陣的雙重求和不等式, 通過(guò)構(gòu)造1個(gè)新的含更多激勵(lì)函數(shù)信息的Lyapunov-Krasovskii泛函, 結(jié)合Jesen不等式和2個(gè)改進(jìn)的求和不等式估計(jì)所構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函前向差分的上界, 獲得了保守性更低的一類具有混合時(shí)滯的離散型遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定性判定條件, 并結(jié)合數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性和優(yōu)越性。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò); Lyapunov-Krasovskii泛函; 自由權(quán)矩陣不等式; 線性矩陣不等式

1892年, 俄國(guó)數(shù)學(xué)家A.M.Lyapunov基于系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法, 提出了直接判斷動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般理論。近年來(lái), 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展, 時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析與研究越來(lái)越受到廣大學(xué)者的重視, 并在動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域取得了許多穩(wěn)定性的結(jié)果[1]。對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性研究的主要目標(biāo)是尋找最大的允許時(shí)滯上界, 使所考慮的系統(tǒng)維持穩(wěn)定。并且, 可允許的時(shí)滯上界越大, 系統(tǒng)的保守性越低。因此, 如何得到一些易于檢驗(yàn)、保守性更低的穩(wěn)定性判定標(biāo)準(zhǔn), 已成為眾多學(xué)者的研究目標(biāo)。另外, 在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際應(yīng)用中, 通常需要將連續(xù)系統(tǒng)關(guān)于時(shí)間離散化, 即離散時(shí)間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2]。理想情況下, 離散時(shí)間模型應(yīng)繼承連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為, 并與連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)保持功能相似性。不幸的是, 即使在很小的采樣周期內(nèi), 離散化也不能始終保持連續(xù)時(shí)間類似的動(dòng)力特性[3]。因此研究離散型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是十分必要的。

文獻(xiàn)[9]提出了一個(gè)基于Wirtinger的離散不等式, 此不等式包含Jensen不等式作為一個(gè)特例。文獻(xiàn)[10]中還提出了一個(gè)新的基于自由矩陣的求和不等式, 它比基于Wirtinger的不等式具有更低的保守性。為了進(jìn)一步降低保守性, 在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上, 本文建立了一個(gè)新的廣義自由權(quán)矩陣雙重求和不等式, 推廣了文獻(xiàn)[10]中基于自由矩陣的求和不等式。進(jìn)一步, 將新的求和不等式應(yīng)用于一類具有混合時(shí)滯的離散型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析, 給出了一個(gè)保守性更低的穩(wěn)定性判據(jù)。

為下文表述方便, 約定R×m表示全體×階實(shí)矩陣, R表示維實(shí)歐幾里得空間;和0×m分別表示階單位矩陣和×階零矩陣, *表示對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱項(xiàng), Sym{} =+T。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有混合時(shí)滯的離散型遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

引理證明完畢。

2 主要結(jié)果

證明 考慮如下Lyapunov-Krasovskii泛函

由引理2及式(3)得

由式(8)、(9)得

利用引理3估計(jì)式(12)中的第2、4、5項(xiàng)得

由式(12)～(15)得

利用引理4, 可得

為了進(jìn)一步減少系統(tǒng)的保守性, 引入零方程

3 數(shù)值實(shí)例

下面用一個(gè)仿真數(shù)字實(shí)例來(lái)驗(yàn)證定理1給出結(jié)論的有效性和優(yōu)越性。

例1 考慮具有混合時(shí)滯的離散型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1), 具體參數(shù)如下:

對(duì)于該例, 利用Matlab軟件中的LMI工具箱, 假設(shè)時(shí)滯下界1分別取值為2、4、10、20時(shí), 利用文獻(xiàn)[17]的結(jié)論得到變時(shí)滯()的最大允許時(shí)滯上界2分別為5、8、14、24。而利用本文定理1的穩(wěn)定性條件可求得最大允許時(shí)滯上界2分別為11、13、19、29。顯然, 本文定理1獲得的穩(wěn)定性條件比文獻(xiàn)[17]具有更低的保守性。圖1描繪了當(dāng)變時(shí)滯2≤()≤ 20, 初始值(0) = [0.1,-0.1]T,(()) = [0.3tanh(1()), 0.3tanh(2())]T,() = e-2i時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)()的響應(yīng)曲線。由圖1的仿真結(jié)果可知, 系統(tǒng)的狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的, 這說(shuō)明定理1得到的穩(wěn)定性條件是可行的。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的含有更多激勵(lì)函數(shù)信息的Lyapu- nov-Krasovskii泛函, 并利用2個(gè)改進(jìn)的自由權(quán)矩陣不等式分別估計(jì)在處理泛函的差分時(shí)出現(xiàn)的單重求和項(xiàng)和雙重求和項(xiàng), 獲得了一類具有混合時(shí)滯的離散型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性條件。該條件以線性矩陣不等式的形式給出, 易于通過(guò)Matlab 軟件中的LMI工具箱進(jìn)行檢驗(yàn)。最后的仿真數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性和優(yōu)越性。并且, 所獲得的穩(wěn)定性條件能進(jìn)一步擴(kuò)展應(yīng)用到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)、同步、無(wú)源性等動(dòng)力學(xué)行為分析中。

圖1 例1中x(k)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

[1] 張景發(fā). 不確定隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定[J]. 湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2017, 29(3): 13–19.

[2] 尚萬(wàn)振. 線性時(shí)滯差分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[D]. 哈爾濱: 黑龍江大學(xué), 2017.

[3] 陳健. 幾類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制[D]. 青島: 青島大學(xué), 2017.

[4] 毛凱, 楊樹(shù)杰, 劉丹. 一類離散時(shí)滯靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)滯相依全局漸近穩(wěn)定性分析[J]. 重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)), 2020, 34(3): 216–223.

[5] 夏合旦·哈力丁, 蔣海軍, 王金鈴. 基于無(wú)窮時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析:連續(xù)和離散模型[J]. 新疆大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2018, 35(3): 289–294.

[6] 耿立杰, 李彥路, 徐瑞. 具有l(wèi)eakage時(shí)滯與隨機(jī)干擾的離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漸近穩(wěn)定性分析[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 28(4): 649–655.

[7] 楊渺渺, 鐘守銘. 具有干擾和離散時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析[J]. 汕頭大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2015,30(1): 34–39.

[8] 吳敏, 何勇. 時(shí)滯系統(tǒng)魯棒控制自由權(quán)矩陣方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.

[9] Kang W, Zhong S, Cheng J. H∞ state estimation for discrete-time neural networks with time-varying and distributed delays [J]. Advances in Difference Equations, 2015, 263: 1–15.

[10] Qiu S B, Liu X G, Wang F X, et al. Stability and passivity analysis of discrete-time linear systems with time-varying delay [J]. System and Control Letter, 2019, 134: 1–8.

[11] 黃鶴. 時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)路的狀態(tài)估計(jì)理論與應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2014.

Stability analysis on discrete-time recurrent neural networks with mixed delays

Qiu Saibing1, Shu Yanjun2

(1. School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Finance and Economics, Changsha 410205, China; 2. School of Mathematics Sciences, University of Jinan, Jinan 250022, China)

In order to further reduce the conservatism of stability criteria for discrete-time recurrent neural networks with mixed delays, an improved double summation inequality based on free-weighting matrices is proposed., and a new Lyapunov-Krasovskii functional with more information on activation function is defined. When estimating the difference of the considered Lyapunov-Krasovskii functional, the Jensen inequality and two improved summation inequalities are introduced. Then a new asymptotic stability criterion with less conservative is obtained. Finally, one numerical example is presented to demonstrate the effectiveness and superiority of the result.

neural networks; Lyapunov-Krasovskii functional; free-weighting matrice inequality; linear matrix inequality

O 75.13

A

1672–6146(2021)02–0005–06

10.3969/j.issn.1672–6146.2021.02.002

邱賽兵, csuqsb@163.com。

2020–12–11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61907022); 湖南省教育廳基金項(xiàng)目(19C0316);山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR9BF015)。

(責(zé)任編校: 張紅)