譜負(fù)Lévy過程關(guān)于末離時的聯(lián)合Laplace變換

傅鑫, 陳曄

譜負(fù)Lévy過程關(guān)于末離時的聯(lián)合Laplace變換

傅鑫1, 陳曄2

(1. 長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖南 長沙, 410114; 2. 湖南文理學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

譜負(fù)Lévy過程; 末離時; Laplace變換; 尺度函數(shù)

譜負(fù)Lévy過程是沒有正跳, 并且具有平穩(wěn)獨(dú)立增量的隨機(jī)過程[1–2]。有關(guān)譜負(fù)Lévy過程的研究被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險理論、數(shù)理金融以及分枝過程中[3–4]。末離時是隨機(jī)過程最后一次離開某個區(qū)間的時間, 在風(fēng)險模型中, 它可作為公司最后恢復(fù)正常即不再破產(chǎn)的時間或者最終破產(chǎn)的時間。近年來, 許多學(xué)者對末離時在隨機(jī)過程中有了一定的研究。Cerber[5]在經(jīng)典風(fēng)險理論模型中, 用鞅方法研究了某種水平的末離時的Laplace變換。Chiu等[6]利用首出時的密度與Lévy過程的邊際密度之間的恒等式, 研究在某種給定水平下末離時的分布以及末離時、首達(dá)時還有兩者之間的聯(lián)合分布的Laplace變換。Baurdoux[7]推廣了文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果, 根據(jù)強(qiáng)馬氏性這一性質(zhì)還有指數(shù)隨機(jī)變量的無記憶性, 發(fā)現(xiàn)獨(dú)立指數(shù)時間前的末離時影響著譜負(fù)Lévy過程的Laplace變換。Li等[8]采用泊松方法研究在退出時之前在區(qū)間(0,)和區(qū)間(,)的占位時, 得到譜負(fù)Lévy過程在這2個區(qū)間上的占位時的Laplace變換。Li等[9]通過利用泊松方法和擾動方法, 其目的是為了克服譜負(fù)Lévy過程的無限變差運(yùn)動的情形以及末離時不是停時的問題, 結(jié)論最后得到了譜負(fù)Lévy過程關(guān)于末離時的聯(lián)合Laplace變換。葉[10]運(yùn)用文獻(xiàn)[9]中的2種方法, 結(jié)合譜負(fù)Lévy過程的波動理論, 空間齊次性和強(qiáng)馬氏性, 計算了關(guān)于譜負(fù)Lévy過程負(fù)半軸末離時與占位時的聯(lián)合Laplace變換。

1 預(yù)備知識

對于0 <<和> 0, 有

另外, 對于> 0有

和

2 主要結(jié)論

綜上得到定理1的結(jié)論。

綜上定理2得證。

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Joint Laplace transforms about last exit time for spectrally negative Lévy processes

Fu Xin1, Chen Ye2

(1. College of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China; 2. College of Mathematics and Physics, Hunan University of Art and Science, Changde 415000, China)

spectrally negative Lévy process; last exit time; Laplace transform; scale function

O 211.6

A

1672–6146(2021)02–0001–04

10.3969/j.issn.1672–6146.2021.02.001

傅鑫, 894769100@qq.com。

2020–10–23

國家自然科學(xué)基金(11571052,11731012); 湖南省自然科學(xué)基金(2018JJ2417, 2019JJ50405); 湖南省教育廳優(yōu)秀青年項(xiàng)目(18B401); 湖南省工程數(shù)學(xué)建模與分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(2018MMAEZD02); 湖南文理學(xué)院博士科研項(xiàng)目。

(責(zé)任編校: 張紅)