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    探“以學(xué)習(xí)者為中心”教學(xué)

    2021-05-07 07:45楊和奎
    關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué)

    楊和奎

    【摘要】“以學(xué)習(xí)者為中心”教學(xué)模式,主張教學(xué)思想、教學(xué)方法、教學(xué)設(shè)計(jì)等方面均以學(xué)習(xí)者為主,教師的作用是引發(fā)學(xué)習(xí)者思考,然后為學(xué)習(xí)者留出深入探究的空間,讓學(xué)習(xí)者成為學(xué)習(xí)真正意義上的主人.

    【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)者為中心;初中數(shù)學(xué);三角形面積

    一、“以學(xué)習(xí)者為中心”理念的內(nèi)涵

    “以學(xué)習(xí)者為中心”就是把重點(diǎn)放在個(gè)體學(xué)習(xí)者身上,探究學(xué)習(xí)如何發(fā)生,以及如何激發(fā)學(xué)習(xí)者的積極性,在此基礎(chǔ)上探索最有效的教學(xué)途徑.“以學(xué)習(xí)者為中心”的教學(xué)是以人本主義和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)的.“以學(xué)習(xí)者為中心”的教學(xué)理念,要求教師改變多年來的傳統(tǒng)教學(xué)思想,在課堂教學(xué)中真正做到以學(xué)生為中心.

    二、案例分析與研究

    (一)教學(xué)內(nèi)容

    求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的面積,例題為人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第七章平面直角坐標(biāo)系習(xí)題7.2第9題.原題:△AOB中,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,4),(6,2),求△AOB的面積.(提示:△AOB的面積可以看作一個(gè)長方形的面積減去幾個(gè)小三角形的面積.)

    (二)教學(xué)思想

    思考:本題雖然給出了提示,但是在計(jì)算的過程中涉及求一個(gè)長方形以及三個(gè)三角形的面積,計(jì)算量較大,學(xué)習(xí)者在計(jì)算時(shí)稍不留意就容易出錯(cuò).此外,隨著△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生改變,有的學(xué)習(xí)者不能很清晰地構(gòu)造出△AOB的面積是哪一個(gè)長方形的面積減去哪些小三角形的面積.因此,尋找新的解題方法顯得尤其重要.若能根據(jù)三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo),直接用公式求出它的面積,那么學(xué)習(xí)者更易接受,更能徹底掌握.

    (三)教學(xué)方法

    教師課前準(zhǔn)備好幾何畫板課件,在課件的制作中,設(shè)置參數(shù)(a,b)、(c,d),分別為所要求的△AOB的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo).教學(xué)中,教師先通過軟件度量出△AOB的面積,讓學(xué)習(xí)者感受到運(yùn)用軟件帶來的方便,激起他們探究新知的強(qiáng)烈興趣;改變各參數(shù)的大小,改變△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo),引導(dǎo)學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積的大小的關(guān)系;通過計(jì)算多組數(shù)據(jù),學(xué)習(xí)者猜測、總結(jié)出公式;再鼓勵(lì)小組合作證明所得的公式;最后通過平移變換,求出任意三角形的面積,完成教學(xué)目標(biāo).

    (四)教學(xué)片段

    環(huán)節(jié)1.談一談

    師:在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中,我們通過補(bǔ)形法求出了三角形的面積.在計(jì)算三角形面積的過程中你有什么想法,請談?wù)勀愕母惺?

    生1:要計(jì)算的面積較多,容易出錯(cuò).

    生2:當(dāng)圖中沒有方格時(shí),不會計(jì)算.

    師:用補(bǔ)形法求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的面積過程比較煩瑣,不少同學(xué)在解題過程中遇到了困難.那么我們能不能利用公式直接計(jì)算平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的面積呢?

    生3:通過網(wǎng)絡(luò)搜索,我發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)都是整數(shù),那么可以利用pick定理計(jì)算.

    pick定理:如果一個(gè)簡單多邊形(以下稱為“多邊形”)的每個(gè)頂點(diǎn)都是直角坐標(biāo)平面上的格點(diǎn),那么稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.若一個(gè)面積為S的格點(diǎn)多邊形,其邊界上有a個(gè)格點(diǎn),內(nèi)部有b個(gè)格點(diǎn),則S=12a+b-1.

    如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)A(-1,2),點(diǎn)B(3,3),點(diǎn)C(2,1) .邊界上有3個(gè)格點(diǎn),所以a為3,三角形內(nèi)部也有3個(gè)格點(diǎn),所以b 為3,可得S△ABC = 12×3+3-1=3.5.

    生4:利用pick定理計(jì)算習(xí)題7.2第9題,觀察下圖中的△AOB,發(fā)現(xiàn)其邊界上有6個(gè)點(diǎn),邊界內(nèi)部有8個(gè)點(diǎn),所以S△AOB= 12×6+8-1=10.

    師:利用pick定理我們能夠快速有效地計(jì)算格點(diǎn)三角形的面積,但只要三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)中有一個(gè)頂點(diǎn)不為整數(shù)時(shí),就無法利用此定理進(jìn)行計(jì)算.那么有沒有什么公式適用于計(jì)算平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意三角形的面積呢?

    環(huán)節(jié)2.觀一觀

    師:本節(jié)課我們先利用幾何畫板來探討有一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)的三角形的面積.請同學(xué)們仔細(xì)觀察下面的操作.

    教師打開事先準(zhǔn)備好的幾何畫板課件,選擇“度量”菜單下的“面積”,度量出畫好的三角形的面積,并多次改變?nèi)切蔚捻旤c(diǎn)坐標(biāo),反復(fù)“度量”——“面積”.

    師:請同學(xué)說出你想度量出的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo),并度量其面積,全體同學(xué)記下頂點(diǎn)坐標(biāo)及對應(yīng)的面積.

    生5:△AOB的頂點(diǎn)分別為A(3,4),B(5,2),面積為7; △AOB的頂點(diǎn)分別為A(2,5),B(3,3),面積為4.5……

    生6:△AOB的頂點(diǎn)分別為A(4,1),B(1,3),面積為5.5; △AOB的頂點(diǎn)分別為A(2,4),B(-2,1),面積為5……

    環(huán)節(jié)3.算一算

    師:設(shè)△AOB的頂點(diǎn)為A(xa,ya),B(xb,yb),請大家用你剛記錄下來的數(shù)據(jù)計(jì)算xa yb 與xbya的差.例如:△AOB的頂點(diǎn)為A(3,4),B(5,2),3×2-4×5=-14.

    生7:△AOB的頂點(diǎn)為A(2,5),B(3,3),2×3-5×3=-9.

    生8:△AOB的頂點(diǎn)為A(4,1),B(1,3),4×3-1×1=11.

    生9:△AOB的頂點(diǎn)為A(2,4),B(-2,1),2×1-4×(-2)=10.

    環(huán)節(jié)4.猜一猜

    師:同學(xué)們根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,對照前面我們度量出的三角形的面積,能猜一猜有一頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)的三角形的面積與另外兩點(diǎn)坐標(biāo)之間有什么關(guān)系嗎?

    生10:△AOB的頂點(diǎn)為A(4,1),B(1,3),4×3-1×1=11,面積為5.5.所以我猜測2S△AOB =xa yb -xbya.

    生11:△AOB的頂點(diǎn)為A(2,5),B(3,3),2×3-5×3=-9,面積為4.5.所以我猜測2S△AOB = xbya-xa yb.

    生12:根據(jù)前面同學(xué)所說,我猜測S△AOB =12︱xa yb -xbya︱.

    環(huán)節(jié)5.證一證

    師:我們只通過幾組數(shù)據(jù)猜測出的公式不一定是正確的,因此還要進(jìn)行幾何證明.請同學(xué)們分成若干個(gè)小組,在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出頂點(diǎn)為A(xa,ya),B(xb,yb)的△AOB,并通過割補(bǔ)法求出△AOB的面積.

    師根據(jù)下圖示范解題過程:由A(xa,ya),B(xb,yb)得C(0,ya),D(xb,ya),E(0,yb).

    所以S矩形BDCE = CD×CE =xb(ya- yb) ,S△AOC =12 AC×CO=12 xaya,S△BOE =12 BE×OE=-12 xbyb,S△ADB =12 AD×BD=12 (xb- xa) (ya- yb),S△AOB = S矩形BDCE -S△AOC-S△BOE-S△ADB = xb(ya- yb) -12 xaya+ 12 xbyb-12 (xb- xa) (ya- yb),化簡整理得:S△AOB =12(xb ya-xa yb).

    學(xué)習(xí)小組畫圖并計(jì)算,在計(jì)算的過程中遇到困難,可尋求教師的幫助.

    生13:根據(jù)自畫圖形,我們小組得到:S△AOB =12(xa yb -xb ya).

    生14:根據(jù)自畫圖形,我們小組得到:S△AOB =12(xb ya -xa yb).

    綜上可得,當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)時(shí),三角形面積公式為12|xayb-xbya|.

    環(huán)節(jié)6.跳一跳

    師:到此,我們證明出:S△AOB =12︱xa yb -xbya︱,但這個(gè)公式只適用于三角形中有一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0).如果一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都不在原點(diǎn),

    那么我們又該怎么辦呢?

    如:△ABC中,A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,4),(6,2),(3,-1),求△ABC的面積.

    生15:因?yàn)槠揭撇桓淖儓D形的大小,所以可以先把△ABC平移,使其有一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).將C點(diǎn)平移到C1點(diǎn),使C1點(diǎn)與原點(diǎn)重合,同時(shí)A點(diǎn)平移到A1點(diǎn)(-1,5),B點(diǎn)平移到B1點(diǎn)(3,3),然后根據(jù)公式算出平移后三角形的面積,從而得出所要求的△ABC的面積為12×︱3×5 -3×(-1)︱=9.

    生16:我的方法也是平移,不過我平移的是坐標(biāo)系,使坐標(biāo)系的原點(diǎn)與三角形的一個(gè)頂點(diǎn)重合……

    三、結(jié)語

    “以學(xué)習(xí)者為中心”要求教師把重點(diǎn)放在學(xué)習(xí)者身上,在整個(gè)教學(xué)的過程中,都要考慮到學(xué)習(xí)者的特點(diǎn),從而設(shè)計(jì)課程節(jié)奏,引導(dǎo)其快樂學(xué)習(xí),以達(dá)到真正提高學(xué)習(xí)者的綜合素質(zhì)的目的.

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