探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

汪元生

在高中階段，學(xué)生遇到的函數(shù)問(wèn)題越來(lái)越多，對(duì)于此類(lèi)抽象的問(wèn)題，有時(shí)候?qū)W生并不能直接理解，這時(shí)候就需要教師采取不同的教學(xué)方法，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化問(wèn)題，讓學(xué)生能夠以更簡(jiǎn)單的方式掌握教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而達(dá)到對(duì)知識(shí)的理解。

一、數(shù)形結(jié)合的意義

數(shù)形結(jié)合，從字面意思來(lái)看，就是將數(shù)和圖形進(jìn)行結(jié)合。說(shuō)得再仔細(xì)一些，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，數(shù)和圖形是學(xué)生接觸的最多的兩種數(shù)學(xué)形式，而且在大多數(shù)數(shù)學(xué)題目中，學(xué)生能夠?qū)⑦@兩種形式進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，從而得到相應(yīng)的關(guān)系式或者條件。在這樣的情況下，學(xué)生就能夠?qū)⒅氨容^抽象的東西具象化，從而得到清晰的解題思路，更好地解答題目。

二、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)思維中，就包括對(duì)學(xué)生形象思維的培養(yǎng)。通過(guò)對(duì)正確的學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)，能夠有效地提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)學(xué)科是一門(mén)包含著數(shù)和圖形的較為抽象的學(xué)科，因此在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生一種不理解的思維，有時(shí)甚至?xí)驗(yàn)槟承┗靵y的知識(shí)點(diǎn)而導(dǎo)致對(duì)該科目的厭學(xué)情緒。因此，要想讓學(xué)生形成一種正確的學(xué)習(xí)方法，激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)該科目的積極性，教師就應(yīng)當(dāng)較好地把握數(shù)形結(jié)合這種方法。例如，在高中必修一中會(huì)接觸到函數(shù)部分的知識(shí)，在這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師可以通過(guò)將函數(shù)式和函數(shù)圖像相結(jié)合，讓學(xué)生看函數(shù)的自變量和因變量是如何變化的，明白這種圖像的變化趨勢(shì)，這樣學(xué)生就能夠更加直觀地了解其中的變化規(guī)律，從而加深對(duì)函數(shù)概念的理解。此外，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，學(xué)生能夠通過(guò)現(xiàn)代科技進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣也能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在課堂中將更多的注意力集中在課堂上，從而提高聽(tīng)課效率。

三、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合思維在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在高一階段，學(xué)生將會(huì)接觸到函數(shù)，但是這種函數(shù)又和初中階段學(xué)到的函數(shù)有著較大的區(qū)別，而這種函數(shù)思維又將貫穿高中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這時(shí)教師就可以采用數(shù)形結(jié)合的方式，避免只通過(guò)枯燥、抽象的概念來(lái)向?qū)W生傳遞這一類(lèi)型的重要知識(shí)點(diǎn)。例如，在高一階段學(xué)生會(huì)接觸到一種新型的函數(shù)，即三角函數(shù)。對(duì)于這種新型的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生可能會(huì)感到陌生甚至排斥，而且在三角函數(shù)中存在著多種類(lèi)型，如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等。這幾種函數(shù)在圖像上有相似點(diǎn)和不同點(diǎn)，在考試中也會(huì)將這幾種函數(shù)交叉考查。所以在高一階段對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的教授過(guò)程中，教師可以充分利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行講授，這樣能夠很大程度上提高學(xué)生的理解效率，達(dá)到事半功倍的效果。在這種函數(shù)中，圖形是非常經(jīng)典的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，存在著單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)的區(qū)間，對(duì)于這些知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生僅僅依靠對(duì)性質(zhì)的研讀很難理解，但是加上圖像，學(xué)生就能很快理解這幾種性質(zhì)的變化，并且能夠在較短的時(shí)間內(nèi)記住。在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，圖像和性質(zhì)是相輔相成的，只要會(huì)畫(huà)圖，就能夠分辨出其他的相關(guān)性質(zhì)；只要知道相關(guān)的性質(zhì)，便能夠作出具有該性質(zhì)的圖形。

通過(guò)上述問(wèn)題，可以得知在解決三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以讓學(xué)生通過(guò)對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)的分析，將代數(shù)問(wèn)題通過(guò)圖形的方式求解，從而能夠迅速得出答案。這樣不僅能夠讓學(xué)生加深對(duì)三角函數(shù)的理解，還能夠探索出一類(lèi)問(wèn)題的不同解法，發(fā)散思維，培養(yǎng)對(duì)問(wèn)題的不同思考角度。

（二）數(shù)形結(jié)合思維在抽象函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

在高中階段，學(xué)生還會(huì)接觸到抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)。在這個(gè)階段的相關(guān)學(xué)習(xí)中，為了讓學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)更加容易理解，教師可以采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)。例如，我們?cè)诟咧须A段會(huì)講到奇函數(shù)和偶函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，其中有很多知識(shí)點(diǎn)單憑口頭描述是很難想象的，這些知識(shí)點(diǎn)比較抽象，不容易理解。例如，y=f（x）是一個(gè)偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上為減函數(shù)，并且f（2）≤f（a），求出a的實(shí)際取值范圍。在遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，如果只是單純利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，會(huì)增加很多不必要的計(jì)算量，導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程復(fù)雜化，增加解題的時(shí)間。如果學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的方法，在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)就會(huì)容易很多。通過(guò)題目中給出的條件，學(xué)生可以畫(huà)出相關(guān)的圖像，如圖2。

通過(guò)對(duì)這個(gè)圖形的觀察，很容易就能看出這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，并且能夠通過(guò)圖像對(duì)條件中a 的取值范圍做出解答。因此，在解決這一類(lèi)型的抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，將函數(shù)圖像畫(huà)出來(lái)，就能夠結(jié)合相關(guān)的性質(zhì)，很快求出問(wèn)題的答案。

對(duì)于數(shù)形結(jié)合思維的運(yùn)用，可以引導(dǎo)學(xué)生利用不同的思維方式思考問(wèn)題，將思考問(wèn)題的過(guò)程由靜止的轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的，然后用動(dòng)態(tài)的思維過(guò)程來(lái)探究相關(guān)問(wèn)題的解法，這樣才能夠掌握一類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)，從而達(dá)到舉一反三的效果。教師在培養(yǎng)這種思維方式的時(shí)候，其實(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生掌握透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的方法。

（三）數(shù)形結(jié)合思維在圓錐曲線(xiàn)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

在高中階段圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合方法也是十分重要的。例如，教師在講授圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)定義時(shí)，可以從數(shù)和形兩個(gè)方面入手對(duì)定義進(jìn)行講解，從而加深學(xué)生對(duì)曲線(xiàn)和量之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

從題干的相關(guān)描述中，學(xué)生可以確定橢圓的相關(guān)信息，因此函數(shù)中a、b的值也比較容易得到，此外，學(xué)生可以利用圖像得到一些沒(méi)有給出的條件，這里就體現(xiàn)了圖像的簡(jiǎn)便性，能夠很容易得出題干中沒(méi)有給出的相關(guān)條件。再將其代入橢圓中，就能夠較為簡(jiǎn)便地解出題目的結(jié)果。

在高中階段會(huì)遇到各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中不僅包括函數(shù)問(wèn)題及圖形問(wèn)題，還包括其他一系列的幾何問(wèn)題。對(duì)這些問(wèn)題的探討會(huì)花費(fèi)學(xué)生大量的時(shí)間和精力，而掌握正確的學(xué)習(xí)方法則是節(jié)省時(shí)間的一大利器。因此，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)的過(guò)程中注意總結(jié)典型例題，將可能出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生采用不同的思維模式思考問(wèn)題。除此之外，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行思考，將數(shù)學(xué)性質(zhì)和圖形結(jié)合起來(lái)，節(jié)省解題的時(shí)間，從而提升學(xué)生的做題速度，讓學(xué)生能夠更快、更好地學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)。