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    p-級數(shù)余項(xiàng)的一個(gè)估計(jì)

    2021-05-07 09:25:08周文書駱培業(yè)
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
    關(guān)鍵詞:恒等式正數(shù)常數(shù)

    周文書, 駱培業(yè)

    (大連民族大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 大連116600)

    1 引 言

    (1)

    估計(jì)式(1)的重要意義在于它給出了余項(xiàng)Rk(p)收斂于零的一個(gè)速率.文[7]給出的估計(jì)式(1)的證明也相當(dāng)初等,僅用到了如下不等式(見文[7]引理1):

    實(shí)際上,這個(gè)不等式可以被改進(jìn)(見下文引理2).

    基于這個(gè)不等式及Taylor展開公式,本文進(jìn)一步改進(jìn)了估計(jì)式(1),得到了如下結(jié)果:

    定理1設(shè)p為常數(shù)且p>1,則有

    (2)

    注1 定理1蘊(yùn)含如下結(jié)果:

    特別有

    可見,定理1中結(jié)果是估計(jì)式(1)的一個(gè)改進(jìn).

    注2 設(shè)p為常數(shù)且p>2.利用定理1可得到如下結(jié)果:

    (3)

    實(shí)際上,對估計(jì)式(2)兩端同時(shí)求和,然后利用如下恒等式:

    2 定理1的證明

    定理1的證明基于如下兩個(gè)引理.

    引理1設(shè)p為常數(shù)且p>1,a,b是正數(shù)且滿足a<1

    證對任意x≥1,令

    當(dāng)x>1時(shí), 有

    因此,f(x)在(1,+∞)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的,故f(x)>f(1). 證畢.

    引理2設(shè)p為常數(shù)且p>1,則有

    證令

    對任意x∈(0,1),由引理1知

    故f′(x)>0,?x∈(0,1),于是

    另一方面,由Taylor展開公式知

    所以

    證畢.

    定理1的證明如下:

    證對任意n∈,在引理2中取得

    兩邊同乘以n1-p,得

    上式兩端同時(shí)關(guān)于n從k+1到+∞求和,得

    證畢.

    3 結(jié) 論

    致謝感謝文獻(xiàn)[7]給予本文的重要啟示.

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