一種基于矩陣初等變換的Schmidt正交化方法

何朝葵， 朱永忠， 柳慶新

(河海大學(xué) 理學(xué)院，南京211100)

1 引 言

向量組的正交化是線性代數(shù)中一個(gè)極其重要的內(nèi)容，其在理論研究和工程應(yīng)用上都很重要[1-4]，在歐氏空間中，向量組的正交化方法一般采用Schmidt正交化法，Schmidt正交化法幾何意義很明顯，結(jié)構(gòu)也很完美.但是Schmidt正交化后向量組的正交性不易理解，而且計(jì)算也較復(fù)雜，部分學(xué)者對(duì)Schmidt正交化法進(jìn)行了改進(jìn)[5].向量組正交化的另一種方法是合同變換法[6-8]，它是通過(guò)對(duì)向量組的度量矩陣進(jìn)行合同變換來(lái)達(dá)到把向量組正交化的方法.本文擬通過(guò)分析這兩種方法之間的關(guān)系，總結(jié)出一種比較簡(jiǎn)單的新正交化方法——Schmidt初等變換正交化法.此方法具有明顯的幾何意義，計(jì)算也簡(jiǎn)單，而且很容易在軟件上實(shí)現(xiàn).

2 合同變換法與Schmidt正交化法的關(guān)系

已知一組實(shí)向量組：α1，α2，…，αm∈n，令A(yù)=(α1，α2， …，αm)，則

注意到向量組的度量矩陣ATA是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在m階可逆矩陣Q，使得

QTATAQ=Λ=diag(k1，k2，…，km).

令B=AQ，則BTB=diag(k1，k2，…，km)，把矩陣B列劃分，即B=(β1，β2， …，βm)，則

所以向量組正交化的合同變換法就是對(duì)矩陣K中的ATA進(jìn)行合同變換，同時(shí)對(duì)K中的A進(jìn)行合同變換中的初等列變換，當(dāng)把ATA化為對(duì)角矩陣時(shí)，矩陣A相應(yīng)地化為矩陣B，矩陣B的列向量組就是所求的一個(gè)正交向量組.因?yàn)楹贤儞Q不唯一，導(dǎo)致矩陣Q不唯一，這樣B也就不唯一，所以得到的正交化向量組也不唯一.但是如果對(duì)合同變換所實(shí)施的初等變換進(jìn)行特定規(guī)范化，就可得到特定的矩陣Q和B，從而得到特定的正交化向量組.在此，對(duì)合同變換做如下規(guī)范：不進(jìn)行第一類和第二類初等變換，僅按步驟進(jìn)行第三類初等變換.

則β1和β2是正交的，又注意到

所以矩陣(1)等于

(2)

最后得到正交向量組：

這就是Schmidt正交化向量組.因此，在合同變換法中只實(shí)施如上規(guī)范化的初等列變換，則得到的正交化向量組就是Schmidt正交化向量組，整個(gè)變換過(guò)程就是對(duì)矩陣K進(jìn)行初等列變換，利用對(duì)角線元素依次把度量矩陣對(duì)角線上方每一行的元素化為零.如果允許已知向量組線性相關(guān)的情形，則在處理過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)〈βi，βi〉=0情形，此時(shí)只需跳過(guò)第i步，直接進(jìn)行第i+1步即可.

3 Schmidt初等變換正交化法

把上述特定初等列變換稱為規(guī)范化初等列變換；若把列改為行，則稱為規(guī)范化初等行變換.既然合同變換法規(guī)范化后得到的正交向量組就是Schmidt正交化向量組，這說(shuō)明Schmidt正交化可以通過(guò)上述規(guī)范化的初等變換來(lái)實(shí)現(xiàn).稱這種由合同變換法中利用規(guī)范化初等變換后得到Schmidt正交化向量組的方法為Schmidt初等變換正交化法.

解令A(yù)=(α1，α2，α3)，則

所以，已知向量組Schmidt正交化后為

4 Schmidt初等變換正交化法的幾何解釋

考慮向量組：α1，α2，…，αm∈n，由于投影向量：

第一步 實(shí)際上是把向量組后m-1個(gè)向量都減去它們?cè)讦?上的投影向量，原向量組化為

第二步 把上一步得到的向量組后m-2個(gè)向量都減去它們?cè)讦?上的投影向量，向量組化為

為正交向量組，原向量組化成

依次這樣，第m-1步后原向量組就化成了Schmidt正交化向量組：

5 Schmidt初等變換正交化法在Matlab上的實(shí)現(xiàn)

合同變換規(guī)范化后，程序的編制很簡(jiǎn)單，利用軟件Matlab編制的Schmidt初等變換正交化法程序如下：

function [B，eta] = Schmidt( A )

%Schmidt初等變換正交標(biāo)準(zhǔn)化

% 正交化

K=[A′*A，A′];

[m，n]=size(K);

for i=1:m-1

for j=i+1:m

if K(i，i)>0

K(j，:)=K(j，:)-K(i，j)/K(i，i)*K(i，:);

end

end

end

B=K(:，m+1:n)′;

% 標(biāo)準(zhǔn)化

j=0;

for i=1:m

if K(i，i)>0

j=j+1;

eta(:，j)=B(:，i)/sqrt(K(i，i));

end

end

end

在工作窗口輸入

A=[0 1 1;1 1 0;1 0 1;0 -1 1];

[B，eta]=Schmidt(A)

輸出結(jié)果為：

B =

eta =

與例1計(jì)算結(jié)果一致.

若輸入

A=[1 -1 3 1;-1 1 -1 4];

[B，eta]=Schmidt(A)

輸出結(jié)果為：

B =

eta =

這表明此方法對(duì)已知向量組線性無(wú)關(guān)的情形也有效.

6 結(jié) 論

通過(guò)分析合同變換正交化法和Schmidt正交化法的關(guān)系，找到了利用初等變換來(lái)實(shí)施Schmidt正交化的方法，且給出了這種方法的幾何解釋，并編制了相應(yīng)的程序，這能夠幫助讀者加深對(duì)Schmidt正交化法的理解.

致謝感謝審稿專家對(duì)本文提出的建議.