勒讓德方程本征值的確定

楊守文， 王海軍

(吉林大學(xué) 物理學(xué)院，長春130012)

1 引 言

針對(duì)勒讓德方程的求解，大部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方法教材，通常采用常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法進(jìn)行求解[1-4]，然后針對(duì)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)[5-6].然而，勒讓德方程中的本征值λ一般直接寫成l(l+1)形式，即

在求解過程中，對(duì)本征值λ為什么可以寫成l(l+1)的形式，而不寫成其他的表示形式，大部分教材沒有給出詳細(xì)的說明.每次學(xué)習(xí)到這部分內(nèi)容，學(xué)生都會(huì)對(duì)此產(chǎn)生疑問：為什么本征值λ可以直接寫成l(l+1)的這種特殊的形式？

針對(duì)這個(gè)問題，本文對(duì)勒讓德方程本征值λ的表示形式進(jìn)行深入的討論.

2 勒讓德方程的級(jí)數(shù)解法

勒讓德本征方程的一般形式為

(1)

其中-1≤x≤1，λ為本征值.

根據(jù)常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法，勒讓德方程的解y(x)可以在x=0的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開

(2)

將(2)式代入(1)式，整理可得

上式的左邊是一個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式.要保證對(duì)于任意的x，上式恒成立，必須要求每一項(xiàng)xn(n=0，1，2，…)的系數(shù)均為零.因此，通過數(shù)學(xué)歸納法，可以得到系數(shù)的遞推公式

(3)

由遞推公式(3)可知，c2k(k=1，2，…)最終可用c0表示，c2k+1(k=1，2，…)最終可用c1表示.因此，可以通過(3)式，可以推導(dǎo)出偶次冪項(xiàng)系數(shù)c2k和c0的關(guān)系

(4)

以及奇次冪項(xiàng)系數(shù)c2k+1和c1的關(guān)系

因此，勒讓德方程的泰勒級(jí)數(shù)解(2)可以分成偶次冪項(xiàng)之和與奇次冪項(xiàng)之和

y(x)=c0y0(x)+c1y1(x)，

其中

y0(x)和y1(x)在定義域-1≤x≤1均是無窮級(jí)數(shù)，因此必須判斷它們?cè)诙x域內(nèi)的收斂性.與大部分教材類似，很容易判斷出y0(±1)和y1(±1)是發(fā)散的，關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的收斂性此處不再贅述.要找的勒讓德方程的解必須滿足邊界條件y(±1)有界.如果無窮級(jí)數(shù)y0(x)、y1(x)可以退化成有限項(xiàng)的多項(xiàng)式，那么y(x)在x=±1發(fā)散的問題就不存在了.

由公式(3)可進(jìn)一步得到偶次冪項(xiàng)系數(shù)相鄰兩項(xiàng)的遞推公式

(5)

由上式可知，當(dāng)本征值λ=2n(2n+1)時(shí)，系數(shù)c2n+2=0，繼而由遞推關(guān)系可得c2n+4，c2n+6，…=0.因此，無窮級(jí)數(shù)y0(x)將被截?cái)喑啥囗?xiàng)式，其在定義域內(nèi)自然是收斂的.而此時(shí)，無窮級(jí)數(shù)y1(x)在邊界x=±1仍然發(fā)散.要保證通解y(x)有界，必然要求c1=0.

因此，勒讓德方程的通解退化為

y(x)=c0y0(x)，

其中y0(x)是一個(gè)在定義域-1≤x≤1收斂的、最高次冪為2n的多項(xiàng)式，即

(6)

將λ=2n(2n+1)代入(4)式，系數(shù)c2k可簡化為

(7)

將(7)式代入(6)式，整理可得

進(jìn)一步令系數(shù)

則可得勒讓德方程的本征解為

上式是當(dāng)λ=2n(2n+1)(n=0，1，…)，勒讓德方程的本征解.用一個(gè)專用函數(shù)P2n(x)來表示

其中，n=0，1，2，….

或者，用l表示，令l=2n，則

(8)

其中，l=0，2，4，….

同理，當(dāng)λ=(2n+1)(2n+2)時(shí)，由公式(3)可得系數(shù)

繼而通過遞推公式可得系數(shù)c2n+5=c2n+7=…=0.因此，無窮級(jí)數(shù)y1(x)被截?cái)喑啥囗?xiàng)式，在定義域內(nèi)是收斂的.而此時(shí)，無窮級(jí)數(shù)y0(x)在邊界x=±1仍然發(fā)散，要保證通解y(x)有界，此時(shí)必須要求c0=0，因此，勒讓德方程退化為

y(x)=c1y1(x)，

其中，y1(x)為一個(gè)最高次冪為2n+1的多項(xiàng)式，經(jīng)過與y0(x)類似的推導(dǎo)過程，可得

(9)

其中，l=1，3，5，…

由(8)和(9)可以看出，當(dāng)λ=2n(2n+1)和λ=(2n+1)(2n+2)時(shí)，得到的勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式是一樣的.因此，可以把(8)和(9)式合并成一個(gè)公式，即當(dāng)λ=l(l+1)時(shí)，勒讓德方程的本征解寫為

(10)

其中，[l/2]表示不超過l/2的最大整數(shù)，即

3 結(jié) 論

本文直接從勒讓德方程的一般形式出發(fā)，利用常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法，確定了本征值λ=l(l+1)的緣由.與現(xiàn)有教材相比，學(xué)生更容易理解這種直接確定勒讓德本征值形式的方法.

致謝作者非常感謝吉林大學(xué)物理學(xué)院本科生對(duì)數(shù)學(xué)問題的積極求索以及審稿專家提出的寶貴意見.