數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與邏輯推理*

王曉峰

(蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021)

邏輯推理是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成要素，是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)．具有一定的邏輯推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)．

邏輯推理是指由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷推導(dǎo)出另外一個(gè)新的判斷的思維形式．邏輯推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從特殊到一般的推理，是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從一般到特殊的推理，是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算．合情推理用于獲得猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索方法；演繹推理用于驗(yàn)證猜想、證明結(jié)論，兩者共同在數(shù)學(xué)論證中發(fā)揮著各自的作用．

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生很少經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提出猜想的活動(dòng)過(guò)程，而在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要．歐拉說(shuō)：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)”．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過(guò)具體操作在認(rèn)知和非認(rèn)知因素參與下，進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動(dòng)．通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能夠?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供豐富的問(wèn)題情境，讓學(xué)生親身經(jīng)歷合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、演繹推理證明結(jié)論的完整推理過(guò)程，在合情推理與演繹推理的相輔相成中共同促進(jìn)邏輯推理能力的形成與提高．

1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驗(yàn)檫壿嬐评淼呐囵B(yǎng)提供產(chǎn)生問(wèn)題的情境

邏輯推理能力的培養(yǎng)是以問(wèn)題為中心，在問(wèn)題解決的過(guò)程中形成的．能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，是培養(yǎng)邏輯推理能力的先決條件，而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、進(jìn)而形成問(wèn)題意識(shí)則需要產(chǎn)生問(wèn)題的載體．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)工具進(jìn)行觀察想象、操作驗(yàn)證、推理論證的數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)驗(yàn)工具是產(chǎn)生問(wèn)題、提出猜想的有效載體，能為邏輯推理能力培養(yǎng)提供豐富的問(wèn)題情境．

案例1 探索正方體的截面形狀

實(shí)驗(yàn)1：利用“水立方”探索正方體的截面形狀．

依次調(diào)整1號(hào)、2號(hào)“水立方”的擺放位置，通過(guò)觀察水面與正方體的面相交的形狀，發(fā)現(xiàn)正方體的截面可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，并思考截面是否能是七邊形？為什么？如圖1，圖2，圖3，圖4．

圖1

圖2

圖3

圖4

實(shí)驗(yàn)2：利用“水立方”探索正方體的截面形狀的特殊性．

依次調(diào)整1號(hào)、2號(hào)“水立方”的擺放位置，觀察發(fā)現(xiàn)正方體的截面可以是特殊的三角形(等腰三角形，等邊三角形，但截不出直角三角形、鈍角三角形)；可以是特殊的四邊形(正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形)，并思考當(dāng)截面為四邊形時(shí)，這些四邊形是否具有共同的特征？(至少有1組對(duì)邊互相平行)為什么？截面為五邊形、六邊形時(shí)，這些五邊形、六邊形又具有怎樣的特殊性？(五邊形的2組對(duì)邊互相平行，六邊形的3組對(duì)邊互相平行)為什么？

實(shí)驗(yàn)3：探索三棱錐的截面形狀

借助實(shí)物三棱錐，想象三棱錐截面的形狀，說(shuō)理后，用幾何畫板驗(yàn)證結(jié)論．

發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必定會(huì)受到學(xué)生的喜愛(ài)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具可以是學(xué)生身邊的普通物品，如紙張(透明紙)、橡皮、文具盒、圓規(guī)、刻度尺(直尺)、三角板、量角器、教科書、剪刀等，也可以是專用的實(shí)驗(yàn)工具，如水立方、勾股定理演示器、圓周角探究?jī)x等．如圖5，圖6，圖7，圖8．

圖5

圖6

圖7

圖8

根據(jù)工具的功能與知識(shí)指向，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具可分為三類：用于概念形成的工具、用于原理探究的工具和用于拓展應(yīng)用的工具，可以服務(wù)于絕大部分《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)的核心內(nèi)容的教學(xué)需要．如，通過(guò)折紙可以探索軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)線段、角平分線、矩形、菱形、正方形、圓、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖像特征等等；利用透明紙可以探索三角形全等的條件，可以探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可以探索中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、反比例函數(shù)的圖像特征等等；利用“水立方”可以探索正方體截面的各種形狀；利用多功能尺組件可以認(rèn)識(shí)三角形的“三線”，發(fā)現(xiàn)三角形的穩(wěn)定性，認(rèn)識(shí)等腰三角形的“三線合一”、認(rèn)識(shí)特殊四邊形之間的聯(lián)系，探索銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律等；利用勾股定理演示器可以認(rèn)識(shí)“直角三角形”、“銳角三角形”、“鈍角三角形”三條邊的平方之間的數(shù)量關(guān)系等；利用圓周角探究?jī)x可以認(rèn)識(shí)圓周角，探索圓周角的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等……．學(xué)生借助這些豐富多樣、功能不同的實(shí)驗(yàn)工具，通過(guò)操作、觀察、思考，就能夠產(chǎn)生問(wèn)題、提出猜想，逐步形成和提高問(wèn)題意識(shí)．

2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驗(yàn)楹锨橥评淼呐囵B(yǎng)提供發(fā)現(xiàn)結(jié)論的機(jī)會(huì)

喬治·波利亞指出：數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，……用歐幾里得方式提出來(lái)的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)卻是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．合情推理是波利亞對(duì)歸納推理、類比推理等或然性推理(即推理的結(jié)論不一定成立的推理)的特稱，他指出數(shù)學(xué)思維不是純“形式”的，它所涉及的不僅有公理、定理、定義及嚴(yán)格的證明，而且還有許許多多其它方面：推廣、歸納、類推……等等．基于此，《標(biāo)準(zhǔn)》提出：教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、畫圖、嘗試、估算、歸納、類比等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力．

案例2 探索圓周角

1．操作與觀察

(1)如圖9，沿著“圓周角探究?jī)x”的直軌道移動(dòng)點(diǎn)P，觀察點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中與圓周上兩個(gè)定點(diǎn)A、B相連的橡皮筋所形成的角的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這些角的兩邊都與圓相交，頂點(diǎn)分別在圓心、圓內(nèi)、圓外、圓上．

(2)如圖10，沿著“圓周角探究?jī)x”的圓軌道移動(dòng)點(diǎn)P，觀察點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中與圓周上兩個(gè)定點(diǎn)A、B相連的橡皮筋所形成的角的共同點(diǎn)，從而引出圓周角的概念．

圖9

圖10

2．觀察與猜想

(1)沿著直軌道將點(diǎn)P由圓內(nèi)向圓外移動(dòng)的過(guò)程中，觀察∠APB的大小的變化．可以發(fā)現(xiàn)∠APB由大變小，獲得猜想：同弧所對(duì)的圓內(nèi)角大于圓周角大于圓外角．

(2)沿著圓軌道移動(dòng)點(diǎn)P過(guò)程中，∠APB的大小是如何變化的？通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)∠APB的大小似乎保持不變，獲得猜想：同弧所對(duì)的圓周角相等．

3．驗(yàn)證與證明

如圖11，圖12，通過(guò)度量移動(dòng)過(guò)程中∠APB的度數(shù)，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證．并對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明．

圖11

圖12

歸納推理是以個(gè)別(或特殊)的知識(shí)為前提，推出一般性知識(shí)為結(jié)論的推理．它是從特殊到一般的推理．為什么要研究圓周角？圓周角是怎樣發(fā)現(xiàn)的？圓周角具有怎樣的性質(zhì)？借助“圓周角探究?jī)x”，能使學(xué)生體驗(yàn)圓周角產(chǎn)生的過(guò)程；可以發(fā)現(xiàn)圓外角、圓周角、圓內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系；通過(guò)對(duì)驗(yàn)證后得到的猜想是否具有一般性結(jié)論的思考，再?gòu)奶厥獾揭话氵M(jìn)行歸納并證明結(jié)論，發(fā)現(xiàn)圓周角的性質(zhì)；通過(guò)頂點(diǎn)在圓軌道上的移動(dòng)，可以知道圓周角定理的證明要分三類進(jìn)行討論的原因．學(xué)生使用這樣的實(shí)驗(yàn)工具學(xué)習(xí)“與圓有關(guān)的角”時(shí)，認(rèn)識(shí)會(huì)更系統(tǒng)、更深刻．

案例3 打印紙中的數(shù)學(xué)

1．觀察與思考

觀察A4打印紙，提出問(wèn)題“A4打印紙中有哪些與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的核心是長(zhǎng)與寬之間的數(shù)量關(guān)系，引發(fā)學(xué)生對(duì)“A4打印紙長(zhǎng)與寬的比值是多少？”的思考．

2．估算與計(jì)算

(1)目測(cè)估算

學(xué)生通過(guò)目測(cè)對(duì)A4打印紙長(zhǎng)與寬的比值進(jìn)行估算．由于結(jié)論不一，出入較大，從而激發(fā)起學(xué)生對(duì)研究方式的思考．

(2)度量計(jì)算

學(xué)生利用刻度尺度量A4打印紙的長(zhǎng)與寬，并計(jì)算長(zhǎng)與寬的比值，結(jié)果精確到0.001．

3．猜想與驗(yàn)證

(1)發(fā)現(xiàn)與猜想

(2)驗(yàn)證與說(shuō)理

圖13

圖14

4．思考與拓展

類比推理是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理．它是從特殊到特殊的推理．對(duì)打印紙中的數(shù)學(xué)展開的探索，經(jīng)歷先探索A4打印紙，再經(jīng)過(guò)類比探索A3、A5、……打印紙，最終探索出A0打印紙的制作標(biāo)準(zhǔn)，揭示了A型打印紙的來(lái)龍去脈．這是一個(gè)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、產(chǎn)生與形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、并不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程，探索過(guò)程中類比推理的作用體現(xiàn)的淋漓盡致，整個(gè)探索過(guò)程中充盈著合情推理與演繹推理，這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)無(wú)疑對(duì)邏輯推理能力的培養(yǎng)能起到巨大的幫助作用．

3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驗(yàn)檠堇[推理的培養(yǎng)提供分析論證的方法

實(shí)驗(yàn)與論證應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的兩個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到猜想，再通過(guò)論證去證實(shí)或證偽猜想，這樣才是完整的數(shù)學(xué)教學(xué)，但尋找證明的方法對(duì)不少學(xué)生來(lái)說(shuō)往往是有困難的，為此可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)幫助學(xué)生尋找到證明的方法．

案例4 探索三角形的內(nèi)角和

實(shí)驗(yàn)1：度量與發(fā)現(xiàn)

任意畫出若干個(gè)形狀各異的三角形，用量角器分別度量這些三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再分別求出同一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和，你有何發(fā)現(xiàn)？

實(shí)驗(yàn)2：操作與驗(yàn)證

(1)拼角1：剪下三角形紙片(如圖15)的三個(gè)內(nèi)角，將它們按圖16的方式拼在一起，可以發(fā)現(xiàn)它們組成了一個(gè)平角．

(2)拼角2：折疊三角形紙片(如圖15)，將它的三個(gè)內(nèi)角按圖17的方式拼在一起，可以發(fā)現(xiàn)它們組成了一個(gè)平角．

圖15

圖16

圖17

實(shí)驗(yàn)3：說(shuō)理與證明

(1)轉(zhuǎn)筆說(shuō)理：如圖18，鉛筆放置在△ABC的邊BC上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)B到點(diǎn)C的方向．把鉛筆依次繞點(diǎn)B、點(diǎn)A、點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠B、∠A、∠C的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)筆尖方向與初始位置的方向正好相反，這說(shuō)明鉛筆依次繞點(diǎn)B、A、C轉(zhuǎn)過(guò)了180°，從而證明了“三角形的內(nèi)角和等于180°．如圖19，圖20，圖21．

圖18

圖19

圖20

圖21

(2)分析證明：用演繹推理的方式證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”．

通過(guò)度量、計(jì)算，學(xué)生大致可以知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和是一個(gè)定值180°，但因?yàn)橛袦y(cè)量誤差，所得結(jié)論只能是一個(gè)猜想，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)尋找驗(yàn)證猜想的方法．驗(yàn)證猜想是科學(xué)精神、思想以及方法不可或缺的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，但操作驗(yàn)證是依靠觀察進(jìn)行的直覺(jué)判斷，是感性的認(rèn)識(shí)，只有經(jīng)過(guò)理論證明得出的結(jié)論才是可信的．拼角是驗(yàn)證猜想的手段，但因?yàn)槠磮D會(huì)有縫隙或重疊，所以拼出來(lái)的結(jié)果也會(huì)有一定的誤差，這樣還是不能斷定多邊形外角和就是180°，因此必須用演繹推理方法去證明猜想的正確性．回顧拼角的過(guò)程，經(jīng)過(guò)觀察、思考、抽象，學(xué)生可獲得啟發(fā)，通過(guò)添加不同的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，就可以用多種方法證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”，如圖22，圖23，圖24．進(jìn)而對(duì)這些方法的比較，體悟到這些方法蘊(yùn)含的原理是一致的——拼角的本質(zhì)是“角的轉(zhuǎn)移”的過(guò)程，因此添畫的輔助線與位置并無(wú)關(guān)系，可以在任意位置添畫平行線，證明猜想的正確性，獲得結(jié)論．如圖25，圖26．

圖22

圖23

圖24

圖25

圖26

邏輯推理是理性思維的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)中具有重要的地位，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的中心任務(wù)．邏輯推理能力不是與生俱來(lái)的，邏輯推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的各個(gè)內(nèi)容，貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動(dòng)過(guò)程，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軐⑦^(guò)程與結(jié)果、操作與思維、實(shí)驗(yàn)與論證、證偽與證實(shí)有機(jī)融合，實(shí)現(xiàn)合情推理與演繹推理的融通，是培養(yǎng)、發(fā)展邏輯推理能力的重要學(xué)習(xí)方式．