數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是形成學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑
——實(shí)驗(yàn)教學(xué)“打印紙中的數(shù)學(xué)”的實(shí)踐與思考

王曉峰 蔣妍兮

(1.江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021；2.江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學(xué) 215021)

2014年教育部發(fā)布《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出了中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)．2018年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為“學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力”，并明確了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素．至此，如何在教學(xué)中形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為業(yè)界關(guān)注的焦點(diǎn)．

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過具體操作在認(rèn)知和非認(rèn)知因素參與下，進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是以問題為出發(fā)點(diǎn)，以獲得數(shù)學(xué)結(jié)果為目標(biāo)，充分展示探究過程的教與學(xué)的活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容選擇不拘泥于國家課程，既可以來自教材之中，又可以來自于教材之外，是國家課程的一種有效補(bǔ)充．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蜃寣W(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)、感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的基本經(jīng)驗(yàn)．

1 教學(xué)過程

1.1 探索A4打印紙長與寬的比值

教師呈現(xiàn)A4打印紙，板書課題—“打印紙中的數(shù)學(xué)”后，提出問題：你打算研究與A4打印紙有關(guān)的哪些問題？學(xué)生表示想要研究其面積、周長、厚度等問題．因?yàn)锳4打印紙是長方形形狀，其核心問題是長與寬之間的數(shù)量關(guān)系，即A4打印紙長與寬的比值，提出“探索A4打印紙長與寬的比值”的本課主題，引發(fā)學(xué)生思考．

評(píng)析發(fā)現(xiàn)和提出問題是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的主要途徑．發(fā)現(xiàn)和解決身邊的數(shù)學(xué)，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必定會(huì)受到學(xué)生的喜愛．紙、直尺(刻度尺)、三角板、撲克牌、教科書等都是學(xué)生學(xué)習(xí)和生活中常見的物品．如果將這些物品做為數(shù)學(xué)研究的素材和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的工具進(jìn)行開發(fā)，學(xué)生會(huì)因?yàn)槭煜ざ械接H切．A4打印紙中蘊(yùn)藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？又該怎樣進(jìn)行探究？……，這樣的問題設(shè)計(jì)，直指A4打印紙的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠讓學(xué)生明白“知識(shí)是怎么來的”，從而引發(fā)學(xué)生“自然地”思考，主動(dòng)展開探究．

學(xué)生先通過目測對(duì)A4打印紙長與寬的比值進(jìn)行了估算．由于結(jié)論不一，且出入較大，因此進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究的欲望和對(duì)研究方式的思考．

學(xué)生提出，既然“看”不行，那就“量”和“算”．教師明確要求：利用刻度尺，度量A4打印紙的長與寬，并計(jì)算長與寬的比值，結(jié)果精確到0.001．

學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考、自主探索、合作交流，很快發(fā)現(xiàn)可以通過折紙進(jìn)行驗(yàn)證，再分別由三個(gè)小組代表進(jìn)行方法展示、說理．

操作的過程中，大部分同學(xué)都能夠折疊出△ABE，但缺乏將BE長與A4打印紙的長相關(guān)聯(lián)的意識(shí)，第2組正是突破了這一難點(diǎn)，使得問題迎刃而解，關(guān)注學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)得到了體現(xiàn)．

評(píng)析分析和解決問題是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界的主要途徑．學(xué)生對(duì)“A4打印紙長與寬的比值”展開的探索，經(jīng)歷了“目測估計(jì)”、“度量計(jì)算”、“折紙說理”的過程，這是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)活動(dòng)和知識(shí)建構(gòu)過程，不僅能夠讓學(xué)生明白“知識(shí)是什么”，而且在歸納與演繹兩種思維方式相輔相成、相得益彰的運(yùn)用與體會(huì)的過程中，又促進(jìn)了學(xué)生的思維從感性上升到了理性，從低級(jí)走向了高階．因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴行У卮龠M(jìn)學(xué)生掌握知識(shí)、發(fā)展思維．

1.2 探索A型打印紙的奧秘

1.2.1 探索A3打印紙

回顧A3紙的長與寬的長度，發(fā)現(xiàn)420 mm和297 mm這兩個(gè)數(shù)據(jù)與A4打印紙的長、寬之間存在著某種關(guān)聯(lián)．如果將A3打印紙沿著長邊的中垂線對(duì)折，折疊后的圖形正好與A4打印紙重合．至此，可以發(fā)現(xiàn)A3打印紙的寬等于A4打印紙的長，A3打印紙的長是A4打印紙寬的兩倍．

圖3

評(píng)析經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的主要途徑．史寧中先生曾說過：“我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷．智慧并不完全依賴知識(shí)的多少，而依賴知識(shí)的運(yùn)用、依賴經(jīng)驗(yàn)，教師只能讓學(xué)生在實(shí)際操作中磨煉．”經(jīng)過探究，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了A4打印紙的特征、初步形成了怎樣研究其他打印紙的經(jīng)驗(yàn)，但這些初步的經(jīng)驗(yàn)還需要在解決與其相關(guān)聯(lián)的、相近問題中加以運(yùn)用，以促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的不斷累積和疊加，最終升華為方法與策略．經(jīng)驗(yàn)必須由學(xué)生通過經(jīng)歷大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)逐步獲得，在“做”中獲得，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是以“做”為支架的教與學(xué)的活動(dòng)方式，因此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚝芎玫卮龠M(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的基本經(jīng)驗(yàn)的累積．

1.2.2 探索A型打印紙

將制作好的A5打印紙如圖4(1)所示擺放，A4打印紙與A5打印紙依舊有著兩倍關(guān)系．如此，可以繼續(xù)制作出A6打印紙．如圖4(2)所示，兩張A6打印紙拼成了一張A5打印紙，兩張A5打印紙又拼成了一張A4打印紙…．以此類推，還可以拼出哪些A型打印紙呢？學(xué)生們紛紛想上臺(tái)演示，他們依次選取了A3、A2、A1型打印紙，最終拼出了A0打印紙(如圖4(3))．

圖4

“0”乃萬物之源，事實(shí)上，工廠生產(chǎn)打印紙便是從一張這樣大小的A0打印紙開始，不斷沿對(duì)邊中線切割，逐步得到A1、A2、A3等各類A型打印紙，如此設(shè)計(jì)正是為了最大程度的節(jié)約資源，避免邊角料的浪費(fèi)．同時(shí)，這個(gè)切割的過程也表示了A型打印紙后綴數(shù)字的含義——切割次數(shù)．

這張初始的A0打印紙到底有多大呢？不難看出，它的長是A4打印紙長的4倍，寬亦如此，由度量得到的A4打印紙的長和寬，可以計(jì)算出A0打印紙的長、寬分別為1 188 mm、840 mm．為避免不必要的麻煩，國際上對(duì)每一種A型打印紙都制定了相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)尺寸(如表1)，可以看出，A0打印紙的國際標(biāo)準(zhǔn)尺寸為1 189 mm、841 mm．

表1

1.3 探索B型打印紙、K型紙

評(píng)析完整的教學(xué)過程鏈由“知識(shí)是怎么來的”、“知識(shí)是什么”和“知識(shí)是怎么去的”三個(gè)環(huán)節(jié)所組成．由“A4打印紙中蘊(yùn)藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？”到“探索A4打印紙長與寬的比值”再到“探索A型打印紙的奧秘”，逐步體現(xiàn)了完整的“認(rèn)識(shí)A型打印紙”探究過程．在拓展延伸的環(huán)節(jié)，提出“探索B型打印紙、K型紙”，使得“認(rèn)識(shí)A型打印紙”又上升為“認(rèn)識(shí)各類常見紙張”，學(xué)生所獲得知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、思維又有了新的發(fā)展空間，因此，學(xué)生享受到了完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

2 一些思考

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)具體化是教師通過一定的教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的能力．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提出的以“做”為支架、手腦協(xié)同、啟思明理，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展”的教育理念，與“以學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)為綱”的課改理念具有高度的一致性，因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是實(shí)現(xiàn)這些具體目標(biāo)的有效途徑．

2.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力

2.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力

2.3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容的理解，而且能夠動(dòng)態(tài)地將問題推廣至更廣闊、更深刻的層面，不斷地發(fā)現(xiàn)、解決新的問題，這有助于提升學(xué)生研究事物之間關(guān)系和規(guī)律的能力，逐步形成屬于自己的學(xué)科思維．例如，學(xué)生從A4打印紙中抽象出長方形模型，隨之又找到了它與A3紙之間的關(guān)系，通過簡單的數(shù)學(xué)建模構(gòu)造出基本圖形之間的聯(lián)系，通過分析數(shù)據(jù)提出猜想，然后加以驗(yàn)證，最終獲得發(fā)現(xiàn)，得到相應(yīng)的結(jié)論．因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.