在合作學(xué)習(xí)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

馬倩倩

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)代表著數(shù)學(xué)教育目標(biāo)，它須要在課程中加以落實(shí)，因?yàn)檎n堂教學(xué)是課程實(shí)施的主渠道.數(shù)學(xué)抽象思維居于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的首位，我們可以通過(guò)支架式教學(xué)設(shè)計(jì)、精心設(shè)計(jì)問(wèn)題、培養(yǎng)學(xué)生的概括能力等方式開(kāi)展培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng).而教學(xué)是師生合作、生生合作的過(guò)程，素養(yǎng)的落實(shí)要通過(guò)活動(dòng)，活動(dòng)須要師生、生生合作共同完成，因此應(yīng)在合作學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】合作學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

一、前言

新一輪課程教學(xué)改革更注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思維、關(guān)鍵能力、情感培養(yǎng)、學(xué)習(xí)態(tài)度和價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).核心素養(yǎng)的提高不是一朝一夕能夠做到的，它須要在學(xué)習(xí)中慢慢積累并不斷總結(jié).數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)之一，并且處于核心素養(yǎng)的首位.學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的理解，能夠提出數(shù)學(xué)命題，建立數(shù)學(xué)模型，從而形成數(shù)學(xué)方法和思想，達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系的目的.高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高低受多種因素的影響，與學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)，也與學(xué)習(xí)行動(dòng)相關(guān)，還和諸如同伴影響等多種因素相關(guān).因此，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要從多方面入手，教師和學(xué)生都要給予重視，在設(shè)置情境和回答問(wèn)題方面、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)和提高數(shù)學(xué)技能方面、鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和活躍思維方面以及通過(guò)師生之間的交流和反思方面加強(qiáng)培養(yǎng).

合作學(xué)習(xí)體現(xiàn)了思維與表達(dá)、交流與反思這兩個(gè)方面.合作學(xué)習(xí)的參與者可以是師生之間也可以是生生之間，學(xué)生分組學(xué)習(xí)可以兩人一組，也可以多人一組.在課堂上，師生與生生之間的合作是并存的，不可分割，師生之間是一種新型的學(xué)習(xí)合作伙伴關(guān)系.學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程從現(xiàn)有知識(shí)的消費(fèi)性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為伙伴合作的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中能夠加強(qiáng)分享和交流，在共享學(xué)習(xí)資源的同時(shí)，還能夠彼此監(jiān)督相互啟發(fā)，有利于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、對(duì)數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)抽象的重要表現(xiàn)之一是數(shù)學(xué)概念和規(guī)則.依據(jù)抽象程度的不同，史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象過(guò)程劃分為三大階段：第一階段為簡(jiǎn)約階段，主要是把握事物本質(zhì)，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并能夠條理清晰地表達(dá)出來(lái);第二階段是符號(hào)階段，運(yùn)用運(yùn)算符號(hào)和關(guān)系術(shù)語(yǔ)等將具體事物簡(jiǎn)約化表述;第三階段為普適階段，揭示事物的本質(zhì)和規(guī)律，主要是通過(guò)假設(shè)和推理手法構(gòu)建法則和數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn).構(gòu)建數(shù)學(xué)命題和模型是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要過(guò)程，不僅能實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的抽象概括，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，有利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移和關(guān)聯(lián)，解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生在完成數(shù)學(xué)體驗(yàn)和學(xué)習(xí)過(guò)程后，提高模型化解決問(wèn)題的能力.

三、在合作學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的方法

（一）利用支架式教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

所謂支架式教學(xué)即為學(xué)生理解知識(shí)構(gòu)建的一種概念框架，這些概念可以方便學(xué)生對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步解讀.支架式教學(xué)可以分為五個(gè)步驟操作：（1）搭建腳手架;（2）進(jìn)入情境;（3）獨(dú)立探索;（4）協(xié)作學(xué)習(xí);（5）效果評(píng)價(jià).數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合史寧中教授提出的數(shù)學(xué)抽象三個(gè)階段以及學(xué)生的抽象思維特點(diǎn)構(gòu)建抽象概念教學(xué)支架，將數(shù)學(xué)知識(shí)按照抽象程度分級(jí)，再逐級(jí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的方法讓學(xué)生主動(dòng)參與到教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，開(kāi)展協(xié)作學(xué)習(xí)，增加學(xué)生體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和自主探究，提高個(gè)人的抽象思維能力，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維，同時(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和溝通能力，也給學(xué)生提供了取長(zhǎng)補(bǔ)短的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生之間相互學(xué)習(xí)，互相包容，共同進(jìn)步，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（二）精心設(shè)計(jì)問(wèn)題和教學(xué)情境

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實(shí)要在活動(dòng)中進(jìn)行.數(shù)學(xué)教師在教授具體內(nèi)容時(shí)要做到“心中有全局”，才能設(shè)計(jì)出有層次的問(wèn)題.用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠讓不同的學(xué)生圍繞不同的問(wèn)題進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，利用問(wèn)題提問(wèn)，能夠提高學(xué)生的注意力，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和交流，提高自己解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，活躍課堂氛圍，教師要在問(wèn)題設(shè)置上多下功夫，問(wèn)題和情境設(shè)計(jì)要有科學(xué)性和層次性，做到以問(wèn)題串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，以發(fā)展學(xué)生的抽象素養(yǎng)為目的.可以按照教學(xué)環(huán)節(jié)層層相扣，基礎(chǔ)的問(wèn)題設(shè)計(jì)要讓絕大多數(shù)學(xué)生能動(dòng)手，然后逐步深入，兼顧不同層次的學(xué)生.對(duì)于難點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容要細(xì)致講解，以重難點(diǎn)內(nèi)容為核心設(shè)置多樣化、多角度的問(wèn)題，讓學(xué)生思考交流，并盡量自行解決問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)概念、原理理解得清楚透徹.

（三）提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力

數(shù)學(xué)概括思維是抽象思維的重要體現(xiàn).數(shù)學(xué)概括水平能反映思維活動(dòng)的廣度和深度，這恰好符合學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)產(chǎn)生和發(fā)展的要求.讓學(xué)生根據(jù)自己的判斷初步概括出知識(shí)要點(diǎn)，也就是抽象出了數(shù)學(xué)概念，當(dāng)這個(gè)抽象的概念能被學(xué)生合理表達(dá)出來(lái)，學(xué)生就能更好地通過(guò)概念去認(rèn)識(shí)、理解和把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)了，抽象素養(yǎng)即在學(xué)生心理慢慢形成并逐步提高.因此數(shù)學(xué)概括能力的發(fā)展過(guò)程也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的過(guò)程.

（四）師生共同合作是教學(xué)中落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的保證

教學(xué)是師生互動(dòng)的過(guò)程.在教學(xué)中，教師并不是單純的旁觀者，所有的問(wèn)題由學(xué)生自己解決也不現(xiàn)實(shí)，畢竟學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和視野是有限的，故教師要在學(xué)生碰到困難時(shí)給予啟發(fā)誘導(dǎo)，搭建“腳手架”，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和知識(shí)間的聯(lián)系進(jìn)行引導(dǎo).最近發(fā)展區(qū)正是教師幫助學(xué)生發(fā)展的區(qū)域，也是學(xué)生以主體的方式從事學(xué)習(xí)活動(dòng)、獲得發(fā)展的區(qū)域.在合作學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)發(fā)揮引領(lǐng)和指導(dǎo)的作用，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，主動(dòng)去挑戰(zhàn)問(wèn)題，克服困難，學(xué)會(huì)自主探究，提高學(xué)習(xí)能力和積極性.

四、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)方法在教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)代表著數(shù)學(xué)教育目標(biāo)，它須要在課程中加以落實(shí)，因?yàn)檎n堂教學(xué)是課程實(shí)施的主渠道.筆者以講解“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的聯(lián)系”為例，在課堂教學(xué)中開(kāi)展合作學(xué)習(xí)，將培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的方法運(yùn)用其中，通過(guò)“獲得數(shù)學(xué)概念與規(guī)則”這一主要表現(xiàn)，落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.分組合作.6個(gè)人組成一個(gè)小組，每人研究一個(gè)基本初等函數(shù)，探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，并進(jìn)行交流.教師引導(dǎo)：讓小組成員從y=x，y=x2，y=x3，y=1x，y=2x，y=log12x中選取一個(gè)探究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的聯(lián)系.學(xué)生合作：畫(huà)出原函數(shù)圖像，觀察其單調(diào)性，并直接計(jì)算其增減區(qū)間里的導(dǎo)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.這樣做的目的在于達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的“辨別”階段，從具體的函數(shù)出發(fā)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程，降低思維難度，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下分組探究，合作解釋，探討出函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系.

2.交流心得.選派兩個(gè)具有代表性的小組代表到講臺(tái)上分享小組的探究成果，并讓學(xué)生利用黑板進(jìn)行板書(shū)，如果有不完善的地方，其他小組可以派代表進(jìn)行補(bǔ)充.學(xué)生得出結(jié)論：在某區(qū)間內(nèi)，若導(dǎo)數(shù)為正，則原函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增;若導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則原函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減.學(xué)生在交流與發(fā)言中鍛煉了表達(dá)能力.

3.總結(jié)結(jié)論.師：把我們目前所做的討論在小組成員之間進(jìn)行總結(jié).此時(shí)教師環(huán)顧課堂，走進(jìn)需要幫助的小組，引導(dǎo)小組討論.教師詢問(wèn)了一個(gè)小組的討論結(jié)果，只見(jiàn)成員把課堂上探討的結(jié)論羅列出來(lái)：在某區(qū)間內(nèi)，若導(dǎo)數(shù)為正，則原函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增;若導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則原函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減;若導(dǎo)數(shù)恒為零，則原函數(shù)在此區(qū)間是常數(shù)函數(shù)，無(wú)單調(diào)性;若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的離散點(diǎn)為0，其余時(shí)候都大于（小于）0，原函數(shù)在此區(qū)間仍單調(diào)遞增（遞減）.可見(jiàn)小組成員是認(rèn)真聽(tīng)課的，但是缺乏了自己對(duì)知識(shí)的理解.這時(shí)教師引導(dǎo)：（1）能否將第一點(diǎn)與最后一點(diǎn)合成一句話，即導(dǎo)函數(shù)滿足什么條件能推出原函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增？（小組能把條件合到一塊說(shuō)）（2）“導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的離散點(diǎn)為0，其余時(shí)候都大于0”與“導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒正”能用一句話來(lái)表達(dá)嗎？（小組碰到了困難，不知該如何說(shuō)）（3）如何從邏輯的角度理解f ′（x）≥0？（f ′（x）>0或f ′（x）=0有一個(gè)成立即可）（4）是否可以用f ′（x）≥0統(tǒng)一表示？有需要限制的條件嗎？（在某區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，且導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是離散點(diǎn)，則原函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增）之后，教師特地請(qǐng)?jiān)撔〗M交流心得.

師：請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示結(jié)論.學(xué)生在表示區(qū)間時(shí)會(huì)猶豫是開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間，此時(shí)教師以y=x2為例，在定義域的區(qū)間內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)并不改變函數(shù)的單調(diào)性，因此開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間都行，習(xí)慣上，我們寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間.數(shù)學(xué)概念的表示有三種形式：文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言.學(xué)生在用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示時(shí)，會(huì)碰到疑惑，甚至表述不精確，這都是教學(xué)中的寶石，教師應(yīng)合理利用.

五、結(jié)語(yǔ)

知識(shí)不是孤立的，深層次地理解概念意味著學(xué)習(xí)者擁有的知識(shí)是圍繞著數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念、主題及問(wèn)題組織起來(lái)的，是從多個(gè)角度對(duì)其加以表征的，并能在真實(shí)、復(fù)雜的情境中應(yīng)用知識(shí).只有學(xué)生知道在什么樣的情境中應(yīng)用這些知識(shí)，在面對(duì)新的情境時(shí)才能夠解釋信息、創(chuàng)建模型、解決問(wèn)題，這就進(jìn)一步落實(shí)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).通過(guò)合作學(xué)習(xí)方式的構(gòu)建，學(xué)生可以充分融入數(shù)學(xué)小組討論中.合作討論的過(guò)程也就是數(shù)學(xué)概念抽象素養(yǎng)形成的過(guò)程，為積極探索數(shù)學(xué)教學(xué)方法提供了思路.

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