整體思想在解決初中數(shù)學(xué)一元二次方程中的應(yīng)用

賈應(yīng)龍

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，整體思想是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重要的思想方法.在初中階段，借助整體思想，可以從數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行處理，以此來(lái)獲得解題方法.所以，在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于一元二次方程的教學(xué)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在掌握其基本概念與知識(shí)的基礎(chǔ)上，使用整體思想來(lái)解決問(wèn)題.因此，本文對(duì)整體思想在初中數(shù)學(xué)一元二次方程中的應(yīng)用進(jìn)行了分析，旨在幫助學(xué)生掌握更多的解題方法.

【關(guān)鍵詞】整體思想;初中數(shù)學(xué);一元二次方程;應(yīng)用方法

在初中階段，數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，一元二次方程不僅是教學(xué)的重難點(diǎn)，同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑.所以，在實(shí)際教學(xué)中，教師不僅要為學(xué)生講解一元二次方程的基礎(chǔ)知識(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生分析其中蘊(yùn)含的思維活動(dòng)，以此來(lái)幫助學(xué)生形成整體思想.在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中，整體思想作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效思想方法，對(duì)于指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著重要的作用.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師就要引導(dǎo)學(xué)生在了解一元二次方程基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，使用整體思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一、整體思想概述

整體思想作為一種數(shù)學(xué)思想方法，其是以問(wèn)題的整體性為出發(fā)點(diǎn)，側(cè)重對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以此來(lái)了解問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并使用“集成”的眼光，將一些式子、圖形看作一個(gè)整體，從而掌握其中存在的關(guān)聯(lián)性，然后對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有目的的整體處理.整體思想的表現(xiàn)形式，主要體現(xiàn)在整體觀察、整體代入、整體換元、整體構(gòu)造、整體聯(lián)想等方面，其在代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、解方程等方面都有著廣泛的應(yīng)用.

二、一元二次方程教學(xué)中存在的問(wèn)題

（一）忽視學(xué)生主體性

在初中階段，數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)于突出知識(shí)與技能的傳授，過(guò)于凸顯教師的作用，忽視了學(xué)生的主體性.一元二次方程作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，很多教師過(guò)于強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)，并通過(guò)大量的習(xí)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，忽視了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握，這就難以使學(xué)生了解整體思想的作用，難以利用整體思想來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí).

（二）忽視整體思想滲透

在初中的數(shù)學(xué)課上，對(duì)于一元二次方程的教學(xué)，教師過(guò)于重視公式、性質(zhì)、定理的應(yīng)用，忽視了學(xué)生對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的探索，以及學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng).在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，學(xué)生難以積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)實(shí)踐探索中，對(duì)于一元二次方程這些有意義的學(xué)習(xí)活動(dòng)難以進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)，學(xué)生就失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會(huì)，也難以形成整體思想.在這種學(xué)習(xí)情況之下，學(xué)生的實(shí)踐與創(chuàng)新能力難以實(shí)現(xiàn)有效的發(fā)展.

（三）忽視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

在新課改背景下進(jìn)行一元二次方程知識(shí)教學(xué)的時(shí)候，很多教師雖然在不斷進(jìn)行教學(xué)方法創(chuàng)新改革.但是，他們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)方法改革時(shí)，卻并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到學(xué)法指導(dǎo)的重要作用，導(dǎo)致教學(xué)效果較差，學(xué)生雖然掌握了知識(shí)，但是卻出現(xiàn)了知其然不知其所以然的情況，自主解決問(wèn)題能力以及學(xué)習(xí)能力都不盡如人意.不僅沒(méi)有實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，甚至還對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提升以及綜合素質(zhì)的全面發(fā)展都產(chǎn)生了極大的消極影響.

（四）缺乏精講精練指導(dǎo)

現(xiàn)在很多初中數(shù)學(xué)教師在開展一元二次方程教學(xué)的時(shí)候，雖然放棄了題海戰(zhàn)術(shù)，想要展開精講精練，但是卻出現(xiàn)了少講少練的情況，沒(méi)有深入地分析講解的重難點(diǎn)內(nèi)容，更多的還是照本宣科地按照教材展開知識(shí)的講解，并引導(dǎo)學(xué)生死板地進(jìn)行模仿練習(xí)，所提供的練習(xí)題目也缺乏層次性與針對(duì)性，存在大量的重復(fù)題型，學(xué)生只會(huì)死板地套用定理與公式解題，并不清楚知識(shí)間存在的聯(lián)系，導(dǎo)致了學(xué)生很難應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

三、整體思想在解決一元二次方程中的應(yīng)用方法

（一）整體觀察，尋找解題思路

從整體思想的特點(diǎn)分析來(lái)看，它是一種以宏觀的角度來(lái)觀察、分析事物的整體結(jié)構(gòu)的思想，側(cè)重從整體上來(lái)揭露事物的本質(zhì).縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，很多科學(xué)家都具備善于觀察的能力，他們能夠在眾多的事物中發(fā)現(xiàn)獨(dú)特之處，比如縱有千萬(wàn)人見過(guò)蘋果自然掉落，唯有牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律.可以說(shuō)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，觀察是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的整體觀察，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)某些帶有規(guī)律性的內(nèi)容，從而找出解題思路.

（二）整體代入，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題

初中階段是一個(gè)承上啟下的階段，此階段的數(shù)學(xué)教學(xué)十分關(guān)鍵，所以在此階段，教師必須突破傳統(tǒng)觀念，拋棄理論知識(shí)灌輸、布置大量作業(yè)、題海戰(zhàn)術(shù)等思想，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的角度來(lái)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)整體思想.在數(shù)學(xué)的整體思想中，整體代入則是其重要的思想之一，它能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，降低數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生有效地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

例如，對(duì)于“一元二次方程”的教學(xué)，教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一元二次方程的基本概念時(shí)，為了幫助學(xué)生理解整體代入思想，可以通過(guò)一道例題將這個(gè)思想呈現(xiàn)出來(lái).首先，在上課之初，教師先將例題以板書的形式寫在黑板上：x=25，求x5+x4+x3+x2+2x-1的值.觀察這個(gè)算式，若是直接將x的值代入多項(xiàng)式中，不僅運(yùn)算步驟非常復(fù)雜，還非常容易出錯(cuò).所以，教師可以為學(xué)生提供一些啟示，讓學(xué)生思考一下最近這幾節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)，然后讓學(xué)生依據(jù)所學(xué)知識(shí)自己進(jìn)行演算、化簡(jiǎn)，以此來(lái)提升學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的能力.最后，從學(xué)生的計(jì)算過(guò)程來(lái)看，很多學(xué)生都是直接將x的值代入其中.此時(shí)教師可以指導(dǎo)學(xué)生探索多種的解題方式，比如對(duì)原式進(jìn)行簡(jiǎn)化，并讓學(xué)生觀察其中的變化，通過(guò)分析學(xué)生很快就會(huì)得出答案.

從整節(jié)課的教學(xué)來(lái)看，學(xué)生逐漸地認(rèn)識(shí)到有些數(shù)學(xué)問(wèn)題若是用常規(guī)的方法來(lái)解決，則很難獲得良好的效果.所以，此時(shí)必須轉(zhuǎn)化解題思路，從宏觀的角度對(duì)問(wèn)題的整體進(jìn)行分析，將數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化，降低學(xué)習(xí)的難度.因此，在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生觀察問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，對(duì)已知條件進(jìn)行分析，從中探索有效的、簡(jiǎn)便的解題方法.

（三）整體換元，凸顯解題便捷性

在數(shù)學(xué)整體思想中，整體換元是一種重要的思想.在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，可以將某個(gè)式子看作一個(gè)整體，并使用一個(gè)變量去代替它，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化，此為換元法.從整體換元的實(shí)質(zhì)來(lái)看，其就是一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，關(guān)鍵在于構(gòu)造元和設(shè)元，其理論依據(jù)是等量代換，目的是將研究對(duì)象變換，將原有的問(wèn)題轉(zhuǎn)移到新對(duì)象的知識(shí)背景中研究，從而將非標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題，將復(fù)雜化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單化問(wèn)題，使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得容易處理.整體換元思想可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式，在一元二次方程的研究中有著廣泛的應(yīng)用.

例如，在“一元二次方程”的教學(xué)中，一些題目應(yīng)用整體換元法解方程可以使學(xué)生體驗(yàn)解題的簡(jiǎn)便性，培養(yǎng)學(xué)生思考的完整性.例1：解方程：（x2-5x）2=36.該方程屬于高次方程，解方程的途徑主要是對(duì)其進(jìn)行降次，將其轉(zhuǎn)化為低次方程，而元的構(gòu)造則是比較多樣的，可以依據(jù)題目的具體情況進(jìn)行分析，既可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.例2：解方程：x-3+2x-3=3.解這種根式方程，最優(yōu)的途徑是將其轉(zhuǎn)化成整式方程，在這個(gè)過(guò)程也需要進(jìn)行換元，對(duì)于元的構(gòu)造建議使用整個(gè)被開方式.同時(shí)還需要注意二次根式的意義——非負(fù)性，因此換的元在取值方面有限制.例3：解方程：3x2+3x=2x2+x+1.解這種分式方程，常規(guī)的方法就是通過(guò)去分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程.但是在去分母之后得到的是高次方程，解法有一定的難度.由于分母是二次的，所以可以將分母進(jìn)行換元，將其化為分母是一次的分式方程，這樣解題會(huì)更容易一些.

（四）整體構(gòu)造，降低問(wèn)題難度

在初中階段的教學(xué)中，利用整體構(gòu)造法解一元二次方程是數(shù)學(xué)解題技巧之一，利用這個(gè)方法，可以將解方程的過(guò)程化繁為簡(jiǎn)、化難為易，具有事半功倍的效果.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握這種解題技巧，幫助學(xué)生掌握一元二次方程的知識(shí)和解法.首先，利用方程的定義構(gòu)造一元二次方程.例如習(xí)題：已知兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)a，b，滿足條件a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，求ba+ab的值.對(duì)于這個(gè)方程，若是按照常規(guī)的方法來(lái)思考，需要從已知的兩個(gè)式子中求出a和b的值，但是a與b各有兩個(gè)值，這就需要分四種情況進(jìn)行討論，這樣解起來(lái)比較煩瑣.所以，就可以考慮將a和b看作是方程x2-6x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算出：a+b=6，ba+ab=b2+a2ab=7.其次，利用韋達(dá)定理的逆定理構(gòu)造一元二次方程.當(dāng)題設(shè)條件具備x1+x2=p，x1x2=q時(shí)，便可以使用韋達(dá)定理的逆定理構(gòu)造一元二次方程x2-px+q=0來(lái)解題，即將x1，x2看作方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)根.最后，利用換元法構(gòu)造一元二次方程.在解含有多個(gè)變?cè)牡仁綍r(shí)，可以將等式整理成關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程.

（五）整體應(yīng)用，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

在初中階段，數(shù)學(xué)教材中有很多較為復(fù)雜的算式，對(duì)于這些知識(shí)的教學(xué)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生使用整體思想對(duì)其進(jìn)行觀察、分析，然后使用整體思想進(jìn)行解題.例如，對(duì)于“一元二次方程”這節(jié)課的進(jìn)一步教學(xué)，教師可以利用習(xí)題幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，幫助學(xué)生靈活地掌握一元二次方程的知識(shí).例（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值.講解時(shí)可以讓學(xué)生以小組為單位對(duì)問(wèn)題進(jìn)行討論，學(xué)生會(huì)激烈地參與到討論中，盡管課堂氛圍非?；钴S，但是學(xué)生并沒(méi)有抓住解題要領(lǐng).最后，在學(xué)生全面對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析后，教師可以指點(diǎn)學(xué)生，讓學(xué)生將（a2+b2）看作一個(gè)整體，再次進(jìn)行討論，學(xué)生此時(shí)就會(huì)反應(yīng)過(guò)來(lái)，本題的實(shí)質(zhì)就是以（a2+b2）為未知數(shù)的一元二次方程的一般形式.從整個(gè)問(wèn)題的分析過(guò)程來(lái)看，利用問(wèn)題研究整體形式，并對(duì)式子進(jìn)行處理，這樣就可以使學(xué)生較容易理解題目的內(nèi)涵，學(xué)生便可以快速地解決問(wèn)題.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)抽絲剝繭，在復(fù)雜的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)題眼，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這不僅可以提升學(xué)生解題的效率，還能夠幫助學(xué)生理解整體思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要應(yīng)用.

結(jié)束語(yǔ)

總而言之，在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，整體思想作為關(guān)鍵的解題思想之一，不僅可以完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.因此，在數(shù)學(xué)課上，教師要指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用整體思想，幫助學(xué)生在掌握一元二次方程基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，體會(huì)整體思想在解題過(guò)程中的應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握更多的解題技巧，以此來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]盧理芳.試論整體思想在“解一次方程組”中的運(yùn)用[J].教育界，2020（36）：59-60.

[2]姜華文.淺談?wù)w思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（11）：63-64.

[3]程小芹.整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2020（04）：28-29.

[4]鄒俊.整體思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2019（08）：91.