第20屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽理論試題3介紹與解答

(清華大學(xué)物理系,北京 100084)

第20屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽于2019年5月5日至13日在澳大利亞阿德萊德舉行。由清華大學(xué)物理系率領(lǐng)代表中國參賽的8名中學(xué)生獲得了總共9枚金牌中的6枚[1],取得了相當(dāng)優(yōu)秀的成績。與往年相比,本次競(jìng)賽的題目難度較大,整體成績偏低,按既定規(guī)則給出的金牌數(shù)與獎(jiǎng)牌數(shù)都大幅度少于往屆(例如2014—2018年每屆金牌數(shù)平均為32枚)。本次競(jìng)賽理論試題共三道,每道10分。其中第三道關(guān)于翻轉(zhuǎn)陀螺的問題[2]很有意思。翻轉(zhuǎn)陀螺對(duì)于很多人并不陌生,在網(wǎng)上可以買到玩具,網(wǎng)上還有玻爾和泡利興致勃勃玩翻轉(zhuǎn)陀螺的照片。它在我國的力學(xué)教材中也有提到[3],但多是定性或半定量說明,缺少模型簡(jiǎn)化與詳細(xì)計(jì)算。在本次競(jìng)賽中,出題委員會(huì)將翻轉(zhuǎn)陀螺進(jìn)行了模型簡(jiǎn)化,考查參賽者對(duì)于力學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)與坐標(biāo)變換等基本知識(shí)點(diǎn)的掌握與計(jì)算能力,把一個(gè)玩具變成一道正統(tǒng)而有趣的物理題目。從競(jìng)賽結(jié)果看,本題有一定難度,在三道理論題中其平均分?jǐn)?shù)最低,所以值得對(duì)它進(jìn)行詳細(xì)的介紹與解答。

1 翻轉(zhuǎn)陀螺試題介紹

翻轉(zhuǎn)陀螺指的是一種特殊的陀螺,它被轉(zhuǎn)動(dòng)后可以自行翻轉(zhuǎn)。我們可以將它模擬為一個(gè)半徑為R的球體,有一端被切除后,加上一根短桿,總質(zhì)量為m。它具有對(duì)應(yīng)與穿過短桿的軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,該軸與豎直方向成一夾角θ。沿著此對(duì)稱軸,從其質(zhì)心C到幾何中心O的直線距離為αR,如圖1(a)所示。翻轉(zhuǎn)陀螺與地面的接觸點(diǎn)為A;我們假設(shè)地面是平面的,并將其稱為地板。在某些特定的幾何約束條件下,若在最初時(shí),使它旋轉(zhuǎn)得足夠快,則翻轉(zhuǎn)陀螺將會(huì)傾斜。導(dǎo)致短桿越來越向下偏,直到以桿為支撐繼續(xù)旋轉(zhuǎn),最終停下。

圖1 翻轉(zhuǎn)陀螺視圖

以xyz代表中間(intermediate)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系,其軸固定且向上,陀螺的對(duì)稱軸是在xz-平面。圖1 所示為翻轉(zhuǎn)陀螺的側(cè)視圖與俯視圖。如圖1(b)所示,當(dāng)俯視時(shí),陀螺的對(duì)稱軸沿著x軸。

如圖2所示的是陀螺開始轉(zhuǎn)動(dòng)后,在幾個(gè)不同階段的運(yùn)動(dòng)情況:

(a) 階段Ⅰ:初始剛開始轉(zhuǎn)動(dòng)后瞬間,角度θ～0

(b) 階段Ⅱ:不久后,角度以傾斜下偏,角度0＜θ＜π

(c) 階段Ⅲ:當(dāng)短桿初次觸地,角度θ＞

(d) 階段Ⅳ:翻轉(zhuǎn)后,陀螺以桿為支撐做旋轉(zhuǎn),角度θ～π

(e) 階段Ⅴ:在最后階段,陀螺靜止停在桿上,θ=π。

以XYZ代表慣性參考系,支撐陀螺的地面完全在XY平面。參考系xyz的定義如前所述,將XYZ系統(tǒng)繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度φ后,即與xyz重合。由XYZ系到xyz的轉(zhuǎn)換如圖3(a)所示,其中

圖2 階段Ⅰ～Ⅴ的陀螺運(yùn)動(dòng),圖示為xz 平面

圖3 兩參考系之間的轉(zhuǎn)換

在三維空間的任何轉(zhuǎn)動(dòng)可用3 個(gè)歐拉角（θ,φ,ψ）來描述。慣性系XYZ,介乎中間的參考系xyz與陀螺參考系(也叫隨體參考系)123之間的轉(zhuǎn)換,可利用歐拉角來了解。

在我們對(duì)翻轉(zhuǎn)陀螺運(yùn)動(dòng)的描述中,角度θ和φ分別是球坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)天頂角(zenith angle)和方位角(azimuthal angle)。在XYZ系中,它們的定義如下:θ是豎直軸Z到陀螺對(duì)稱軸的夾角,它代表短桿偏離豎直方向的角度;而φ則代表陀螺繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位置,它的定義是XZ-平面與O,A,C所在平面(即陀螺對(duì)稱軸的豎直投影)之間的夾角。第三個(gè)歐拉角ψ描述的是陀螺繞其自身對(duì)稱軸的旋轉(zhuǎn),即“自轉(zhuǎn)”,其對(duì)應(yīng)的角速度為

旋轉(zhuǎn)的陀螺參考系被定義為一個(gè)新的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系123,此參考系可由xyz系繞軸轉(zhuǎn)一角度θ而獲得;就是使軸往下“傾斜”一個(gè)角度θ后,與陀螺的對(duì)稱軸重合。由xyz系到123系的轉(zhuǎn)換如圖3(b)所示,其中

翻轉(zhuǎn)陀螺的運(yùn)動(dòng)是很復(fù)雜的,它涉及三個(gè)歐拉角隨時(shí)間的變化,以及陀螺的平移速度(或位置)和陀螺對(duì)稱軸的運(yùn)動(dòng)。所有這些參數(shù)互相耦合。因此要解這樣的問題,需要標(biāo)準(zhǔn)工具,包括使用牛頓定律寫出系統(tǒng)的方程,然后計(jì)算機(jī)編程用數(shù)值方法求解。

在此,要求探究翻轉(zhuǎn)陀螺的物理并建立方程組,但不用數(shù)值求解。

翻轉(zhuǎn)陀螺和它運(yùn)動(dòng)時(shí)所接觸地面之間的摩擦力是其運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力。假設(shè)翻轉(zhuǎn)陀螺在點(diǎn)A處與地板保持接觸,直到短桿接觸地板為止。陀螺在點(diǎn)A相對(duì)于地板的速度為VA。陀螺與地板之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μk,因?yàn)槟Σ亮Ff|=μkN,此處,N為正壓力的大小。假設(shè)最初只令陀螺自旋,即沒有受到任何平移的沖量。

以m表示陀螺的質(zhì)量,I3表示繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,I1=I2表示繞另外兩互相垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)s是質(zhì)心的位置向量,且a=是由質(zhì)心到接觸點(diǎn)的向量。

除非特別說明,否則請(qǐng)用xyz參考坐標(biāo)系作答以獲得滿分。除非另有說明,否則所有力矩和角動(dòng)量均相對(duì)于質(zhì)心C。答案中可用N表示。除了A.8部分,只需考慮當(dāng)θ＜π時(shí)的陀螺,并且短桿不與地面接觸。

A.1(1分)求此翻轉(zhuǎn)陀螺所受的總外力Fext。畫出此陀螺在xz和xy平面上的受力圖,在xy平面圖上指出VA的方向。

A.2(0.8分)求此翻轉(zhuǎn)陀螺相對(duì)于質(zhì)心的總外力矩τext。

A.4(0.8分)求陀螺相對(duì)質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)的總角速度ω,以歐拉角的時(shí)間導(dǎo)數(shù):,和來表示。使用圖3分別給出在xyz參考系以及123參考系中的答案。

A.5(1分)用vx,vy和歐拉角的時(shí)間導(dǎo)數(shù),來表示翻轉(zhuǎn)陀螺的旋轉(zhuǎn)總能量。若是用來表示,答案也可得部分分?jǐn)?shù)。

A.6(0.4分)求出相對(duì)z軸的角動(dòng)量的變化率。

A.7(1.4分)什么力抵抗重力做功? 求陀螺的能量的瞬時(shí)變化率的表達(dá)式,用VA表示。給出造成A.5中的能量變化的力和力矩的分量。

A.8(2分)關(guān)于陀螺在圖2中所示的五個(gè)階段I至V 的運(yùn)動(dòng),在答案紙中定性地描繪以下能量項(xiàng)作為時(shí)間的函數(shù):總能量ET,重力勢(shì)能UG,平移動(dòng)能KT,旋轉(zhuǎn)動(dòng)能KR。你所描述的能量軸不需要按比例繪制。

A.9(0.5分)證明角動(dòng)量L和角速度ω在垂直于方向的分量成正比,也就是:并求正比系數(shù)k。

結(jié)合A.1、A.2及接下來的結(jié)果可推出正壓力N的大小以及方程組,和歐拉角,A點(diǎn)速度的分量vx、vy、對(duì)稱軸的單位向量,及它們的時(shí)間導(dǎo)數(shù)有關(guān)。此系統(tǒng)是不可積的,但可用數(shù)值方法求解。

運(yùn)動(dòng)積分是守恒量,能夠減少系統(tǒng)的維度(也就是需要求解方程的數(shù)目)。在封閉系統(tǒng),典型的守恒量包括能量、動(dòng)量、角動(dòng)量,它們可明顯簡(jiǎn)化問題。

A.10(1.7分)由于耗散力和外力矩的作用,可看出翻轉(zhuǎn)陀螺的能量和角動(dòng)量都不守恒。然而有一個(gè)相關(guān)的量,稱為Jellett積分λ,是代表角動(dòng)量的某一個(gè)分量是守恒的,也就是若υ 是某一個(gè)向量,則λ=L·υ 不隨時(shí)間變化。根據(jù)你對(duì)翻轉(zhuǎn)陀螺的了解以及到目前為止的結(jié)果,寫出向量υ的表達(dá)式,并證明λ的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為0。

2 解答與點(diǎn)評(píng)

初看題目似乎顯得異常復(fù)雜,確實(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)問題在力學(xué)中是屬于較難的部分,其中復(fù)雜的原因是因?yàn)閰⒖枷抵g的變換。比如一些物理量在某參考系中容易表達(dá),但是力學(xué)方程可能在另一個(gè)參考系中更易表達(dá)。所以這類問題的關(guān)鍵首先是明了各參考系之間基矢量(base vector)的關(guān)系,然后向量在各參考系中的表達(dá)就可以互相變換了。這也是為什么題目中首先較詳細(xì)地定義了實(shí)驗(yàn)室參考系XYZ;中間參考系xyz和陀螺自身參考系123,以及用歐拉角給出了各參考系基矢量之間的關(guān)系。因而此題的首要任務(wù)是先列出各參考系基矢量之間的變換關(guān)系。

2.1 基矢量之間的關(guān)系

利用圖3,可得中間參考系xyz于實(shí)驗(yàn)室參考系XYZ,以及xyz與陀螺參考系123之間的關(guān)系:

2.2 題目中相關(guān)向量的關(guān)系式

有了上面基矢量之間的關(guān)系,我們可以把向量從一種表達(dá)系統(tǒng)地轉(zhuǎn)成題目需要的表達(dá),比如從質(zhì)心到地面接觸點(diǎn)A的向量a

上式中第一行是從圖1中容易讀出的向量a表達(dá),盡管不是用一個(gè)參考系的基矢量;但由基矢量之間的關(guān)系,可寫出a在xyz系和123系下的表達(dá)。

還可導(dǎo)出其他有用的關(guān)系式

由題目中給出的關(guān)系

可以求得單位向量(基矢量)相對(duì)慣性XYZ系的隨時(shí)變化率

三向量乘積由公式

上述關(guān)系式將在解題中起到作用,在這里一并列出以方便引用。

2.3 題目解答

A.1問:陀螺所受外力為作用在質(zhì)心的重力;在接觸點(diǎn)A的支持力N和摩擦力Ff(與速度VA反向)。因此有

A.2問:陀螺所受外力矩τext(相對(duì)質(zhì)心)為:質(zhì)心到接觸A點(diǎn)的向量a叉乘支持力N和摩擦力Ff

A.3問:由于點(diǎn)A被約束在地面,自然它豎直方向上速度應(yīng)為0,這是直觀的物理圖像。在考試前題目研討中這一點(diǎn)曾被提出,出題者希望參賽者通過給出的約束條件,數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出這一結(jié)論:

點(diǎn)A的速度是質(zhì)心的速度加上A相對(duì)質(zhì)心的速度

接觸約束條件

對(duì)上式時(shí)間求導(dǎo),a導(dǎo)數(shù)用到式(9),并且因此

等式的左邊正是A點(diǎn)速度的豎直分量。

A.4 問:對(duì)于總的角速度向量,最直觀地可以先用歐拉角的變化率來表達(dá)(參見圖3,這也是為何引入中間參考系xyz的原因)

注意這里角速度的分量不是用一個(gè)參考系的基矢量表示的,但通過2.1節(jié)基矢量的關(guān)系,我們現(xiàn)在可以寫出ω在xyz系和123系下的表達(dá) (注意

A.5問:陀螺運(yùn)動(dòng)的總能量中的動(dòng)能可以分為質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能Ktrans;繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能Krot;當(dāng)然別忘了還有重力勢(shì)能Ug

I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量。問題要求用A 點(diǎn)速度分量vx,vy和歐拉角的時(shí)間導(dǎo)數(shù)來表示。上式中Krot=ω·Iω,代入式(22)即可滿足要求;對(duì)于,我們可以利用式(18)將其表達(dá)為(同時(shí)也用到A.3結(jié)論,vz=

ω×a可由式(18和式3計(jì)算

A.6問:利用角動(dòng)量變化率與力矩的關(guān)系,而式(17)給出了外力矩的公式

A.7問:從圖2中可看出,過程中陀螺質(zhì)心略有上升,因而重力勢(shì)能Ug略有增加。支持力N不做功。只有在A點(diǎn)的摩擦力做功,它使得總能量單調(diào)下降。

從圖2中的Ⅰ到Ⅴ階段,質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能較小:Ktrans～0;摩擦力主要減小了轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Krot,將其部分轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能,因而是摩擦力抵抗重力做功。開始時(shí)角動(dòng)量主要集中在方向,而使其變化的力從上問式(23)中可看出是摩擦力的y 分量:Ff,y。所以回答本問中在減少轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Krot中,Ff,y起主要作用,它的力矩沿方向:a×(從式(17)中可看出,沿x方向的力矩(與Ff,y相關(guān))和沿y方向力矩(與Ff,x相關(guān))造成陀螺的晃動(dòng),這也是陀螺可翻轉(zhuǎn)的原因。)

A.8問:這是一道定性問題,考查的是能量變化的物理圖像。僅需要草圖反映出總能量幾個(gè)部分在各階段定性地變化。這里給出能量變化的趨勢(shì)描述,草圖從略。

Etot:單調(diào)下降,從階段Ⅰ某值單調(diào)降為階段Ⅴ某一較低數(shù)值(此時(shí)只有勢(shì)能)

Krot:單調(diào)下降,從階段Ⅰ某值單調(diào)降為階段Ⅴ～0

Ktrans:在階段Ⅰ和階段Ⅴ時(shí)～0;中間階段略有上升。

Ug:階段Ⅰ在某較低數(shù)值,隨著Krot下降而上升,最終在階段Ⅴ升至與Etot值。

A.9問:角動(dòng)量在123系中的表達(dá)可由式(22)得到

比例系數(shù)k即為I1。

A.10問:由于摩擦力減少能量,外力矩減少角動(dòng)量,很明顯總能量與角動(dòng)量不守恒。題目所問角動(dòng)量沿某方向分量:L·υ 守恒,很明顯要求這一方向(單位向量υ 所表示)上的力矩為0。從式(16)(或更直觀地從力矩定義,力矩與力臂垂直),易知質(zhì)心到接觸點(diǎn)A 方向,即向量a方向上力矩必為0;所以

由于剛體|a|大小不變,所以下面可用L·a證明

從式(16)可知τext·a=0。

從式(3)的a的表達(dá)式,并利用式(10)與式(25)可知

3 結(jié)語

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)是力學(xué)以及分析力學(xué)中的典型問題,一般比較復(fù)雜。本題將一個(gè)經(jīng)典的玩具模型簡(jiǎn)化,考查的正是處理這類轉(zhuǎn)動(dòng)問題的核心,即各個(gè)參考系中向量表達(dá)的變換關(guān)系。這是因?yàn)槟承┪锢砹?比如本題中的力臂向量a、角速度ω和角動(dòng)量L,在某種特定表達(dá)下會(huì)比較簡(jiǎn)單;但建立力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程或關(guān)系式時(shí),用另一個(gè)參考系中的表達(dá)會(huì)更方便,這就用到了變換。而處理向量表達(dá)的變換時(shí),最基本的就是參考系的基矢量之間的變換關(guān)系。從本題的解答中已充分體現(xiàn)了這點(diǎn),選手的丟分大部分也是源于未搞明白變換關(guān)系。這部分在教學(xué)與競(jìng)賽培訓(xùn)中是值得強(qiáng)調(diào)與重點(diǎn)講解的。