基于柯西色散公式測量費爾德常數(shù)的方法

葉昱成 梁小沖 蔣 昕

(四川大學(xué)物理學(xué)院,四川 成都 610200)

費爾德常數(shù)是晶體和溶液的特性常數(shù)之一,其主要應(yīng)用于磁光效應(yīng)之中。目前測量費爾德常數(shù)的主要方法有偏振激光測量法、解析譜法等?？挛魃⒐绞欠▏鴶?shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)媒質(zhì)的折射率與真空中入射光的波長的數(shù)學(xué)關(guān)系。由此可以提出一種在分光計實驗平臺上利用柯西色散原理測量費爾德常數(shù)的新方法[1-3],通過分光計測量汞燈發(fā)出的光線在三棱鏡及三棱鏡容器中發(fā)生色散時,每種特征譜線對應(yīng)的折射率,進而計算出晶體的費爾德常數(shù)。此方法實驗周期短,成本較低,可適應(yīng)于多種環(huán)境下,使得測量更加簡便[4]。

1 實驗原理

1845年,M.Faraday 觀察到,一束線偏振光在磁場的作用下,偏振光的振動面將發(fā)生旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角ψ與樣品長度D和磁感應(yīng)強度B成正比,比例系數(shù)V稱為費爾德常數(shù)[5],

費爾德常數(shù)與偏振光波長、材料性質(zhì)和磁場方向有關(guān),描述了特定材料的法拉第磁光效應(yīng)的強度[6]。

1.1 費爾德常數(shù)與光波波長的關(guān)系推導(dǎo)

由波動光學(xué)中的結(jié)論[17]

其中,nL,nR分別為特征譜線中的左旋、右旋偏振光在材料中的折射率。

設(shè)介質(zhì)中原子的軌道電子具有磁矩[16]

式中L為軌道角動量。

在磁場B中,一個電子磁矩有勢能Ep為[7]

式中Laxis是電子軌道角動量的軸向分量。

當(dāng)平面偏振光通過磁場B作用在折射率為n的樣品介質(zhì)上,光子使電子由基態(tài)激發(fā)到高能態(tài)。處于激發(fā)態(tài)的電子吸收光子的角動量,動能沒有改變,而勢能則增加ΔEp,其大小為[7]

上式中的正負號對應(yīng)于左旋光和右旋光。

因為光子具有能量?ω,故樣品介質(zhì)對光的折射率n是?ω和ΔEp函數(shù)。左旋光量子的能量E為

同理,對右旋光量子有

忽略小量,將式(4)、式(5)代入式(2),得到

與式(1)比較得到

根據(jù)泰勒展開前柯西色散公式

將式(9)代入式(7)中

1.2 費爾德常數(shù)的測量方法

在得到式(10)后,需要開始測定同一物質(zhì)四個不同波長下的折射率n(λ),然后擬合出柯西色散公式并求出色散系數(shù),進而求得待測物質(zhì)的費爾德常數(shù)[8]。

如圖1所示,汞燈光源發(fā)出的光以入射角i1入射到三棱鏡的一個光學(xué)表面,經(jīng)三棱鏡折射后從三棱鏡的另一個光學(xué)表面射出并發(fā)生色散,入射光和出射光之間的夾角稱為偏向角δ。當(dāng)棱鏡頂角A′一定時,偏向角δ的大小隨入射角i1的變化而變化?？梢宰C明對同一種波長的光譜線,當(dāng)i1=i4時,δ最小,這時的偏向角稱為最小偏向角δmin[9-12]。當(dāng)i1=i4時,由幾何關(guān)系得出

由上式解出

圖1 棱鏡色散

設(shè)棱鏡材料對該波長的折射率為n,由折射定律sini1=nsini2可得

測得棱鏡的頂角A′及最小偏向δmin后,即可由式(11)計算棱鏡材料對不同波長的光譜線的折射率n[8-10]。

由實驗所測得的不同特征譜線對應(yīng)的折射角ˉθ,可計算出偏轉(zhuǎn)角δmin的大小

如圖2所示,分光計光源發(fā)出的光經(jīng)平行光管后成為平行光;平行光經(jīng)載物臺上的光學(xué)元件反射、折射或衍射后改變傳播方向;繞中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動望遠鏡,先后接收未經(jīng)過被測光學(xué)元件改變方向和經(jīng)過被測光學(xué)元件改變方向后的平行光,由讀數(shù)圓盤讀出兩種情況下望遠鏡所在位置的角度,即可由式(12)計算最小偏向角σmin,將計算結(jié)果代入式(8)計算出不同波長的譜線對應(yīng)的折射率大小,利用此數(shù)據(jù)擬合出柯西色散公式中色散系數(shù)A、B 的數(shù)值大小,繪制出n-λ圖像,并將擬合結(jié)果代入式(10)中計算出樣品的費爾德常數(shù)大小[13]。

圖2 普通分光計

1.3 液體費爾德常數(shù)的測量

對于液體費爾德常數(shù)的測量,我們使用一種三棱鏡狀容器來盛裝液體,其測量光路如圖3所示。

圖3 溶液費爾德常數(shù)測量光路

圖3以單色光入射為例,由于制作三棱鏡杯子的材料折射率為n1=1.515,而一般溶液的折射率n2均小于此值,故考慮溶液折射率小于外側(cè)玻璃的情況,當(dāng)尋找到入射光在溶液中的最小偏向角時,光路如圖3所示。由于此光路具有對稱關(guān)系,可以得到入射角ia=ie,折射角ib=id,此時

而從圖3中可以得到角度關(guān)系

溶液費爾德常數(shù)的計算公式可表達為:

其中,σmin即為此時的最小偏向角。將式(13)得到的不同波長對應(yīng)的折射率進行擬合計算,可擬合出柯西色散公式中的常數(shù)A、B,進而求出費爾德常數(shù)的大小。

2 實驗方案及數(shù)據(jù)處理分析

2.1 實驗方案

圖4

(1) 利用十字叉絲對準白光(如圖4(a)所示),讀出此時入射光對應(yīng)的角度θ0,將三棱鏡或盛裝液體的三棱鏡容器的頂角置于載物臺中心附近,先在出射光一側(cè)找到出射光的大致位置,然后轉(zhuǎn)動鏡筒,從望遠鏡中找到汞燈的四條特征譜線(其順為黃、綠、藍、紫或紫、藍、綠、黃)[15-17]

(2) 此時先順時針調(diào)節(jié)載物臺,使得特征譜線移動至最小偏向角的位置[13],然后轉(zhuǎn)動目鏡筒,使十字叉絲依次對準四條特征譜線(如圖4(b)、(c)所示),并在讀數(shù)圓盤上讀出每種譜線對應(yīng)的出射角θ′。

(3) 完成讀數(shù)后,將載物臺繼續(xù)沿順時針轉(zhuǎn)過一定角度(5°以上),后將其沿逆時針轉(zhuǎn)動至最小偏向角處,讀出此時每種譜線對應(yīng)的出射角θ″,上述順時針和逆時針兩次測量求均值方法的目的是減小最小偏向角的測量誤差,并消除儀器的回空誤差[5]。

將θ′和θ″求平均值得到的記錄在下方四個表格中,其中表1、表2、表3、表4分別記錄汞燈發(fā)出的白光在經(jīng)過重火石晶體、水、濃度5%的葡萄糖溶液、濃度10%的葡萄糖溶液后,四種特征譜線對應(yīng)的出射角。

表1 三棱鏡晶體的四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

表2 水的四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

表3 濃度5%葡萄糖溶液四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

表4 濃度10%葡萄糖溶液四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

2.2 數(shù)據(jù)處理分析

其中對于三棱鏡,

A=0.000222218,B=0.000153724

對于水,

A=0.000868629,B=0.000650003

對于濃度5%的葡萄糖溶液,

A=0.000841844,B=0.000628817

對于濃度10%的葡萄糖溶液,

A=0.000922218,B=0.000682626

取波長為四種光波長的平均值ˉλ=473.2nm,并將ˉλ,A,B代入式(10)中進行計算,得到三棱鏡和水、濃度為5%、10%葡萄糖溶液的費爾德常數(shù)的測量值分別為

V三棱鏡=898.31′·T-1·cm-1

V水=174.80′·T-1·cm-1

V5%的葡萄糖溶液=87.72′·T-1· cm-1

V10%的葡萄糖溶液=194.49′·T-1· cm-1.由于此分光計的測量精度為1′,因此測量出的費爾德常數(shù)實際精度為0.1′·T-1·cm-1。利用軟件計算并繪制的不同波長的光在不同介質(zhì)中的折射率,與其理論曲線進行對比,圖5為三棱鏡、純水和濃度為5%,10%葡萄糖溶液中的柯西色散公式擬合結(jié)果。根據(jù)四種樣品中的測量數(shù)據(jù),可以利用Origin軟件計算出測量結(jié)果的平均相對誤差,在測量精度為0.1′·T-1·cm-1時,平均誤差eR＜1.5%。對比錢小凌利用紅光激光器精確測量費爾德常數(shù)得到的結(jié)果[14],本文提供的測量方法相對誤差小于2%。然而,紅光激光器精確測量費爾德常數(shù)的方法對環(huán)境溫度、亮度等實驗條件要求較高,因此不利于在一般實驗室條件下展開。

3 結(jié)語

實驗測量過程使用普通分光計,通過四條汞燈特征譜線擬合出柯西經(jīng)驗公式,測量出晶體和溶液費爾德常數(shù),得到實驗誤差很小的結(jié)果,極大降低了實驗成本,減少了實驗周期,且自然光對本實驗影響不大,故實驗可在多種環(huán)境下開展。此實驗中提供的方法不僅可以用于快速測定費爾德常數(shù),也可在大學(xué)物理實驗中進行拓展。