CUPT 2019循環(huán)擺研究

鐘粵文 劉姝含 孫宇飛 房 毅

(華東理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200237)

“循環(huán)擺”描述了一個(gè)在生活中常見卻物理原理深刻的現(xiàn)象:將一重一輕兩個(gè)物體通過水平桿上的一根繩子相連,并拉輕物以吊起重物。釋放輕物,它將繞著桿轉(zhuǎn)動(dòng),從而阻止重物載落到地面。生活中習(xí)以為常的現(xiàn)象,但其中的物理原理仍停留在猜想階段,鮮有人去探究各參量對(duì)其的影響。筆者通過對(duì)三大中文文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫(kù)以關(guān)鍵詞“循環(huán)擺”為題名,進(jìn)行檢索,只有一篇命中。該文“探究循環(huán)擺各變量對(duì)環(huán)繞圈數(shù)的影響”[1]研究性不夠。此前部分視頻網(wǎng)站上也曾演示過循環(huán)擺,但只是從能量的角度泛泛而談,而對(duì)隱藏在現(xiàn)象背后的物理原理卻未作探究。本文將以實(shí)驗(yàn)與理論相結(jié)合的方式,探究循環(huán)擺現(xiàn)象。

1 理論分析

所謂循環(huán),指的能夠旋轉(zhuǎn)一周以上,因此本文中對(duì)循環(huán)擺的約定是:如果m(本文公式中的m代表輕物體的質(zhì)量,敘述中的m指的是輕物體,下同,略)最終能繞桿旋轉(zhuǎn)一圈以上,則認(rèn)為形成了循環(huán)擺(見圖1)。實(shí)驗(yàn)觀測(cè)發(fā)現(xiàn):當(dāng)m到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)M(本文公式中的M代表重物體的質(zhì)量,敘述中的M指的是重物體,下同,略)還在運(yùn)動(dòng)的情況,沒有出現(xiàn)。且如果m能越過最高點(diǎn),則可繞桿一圈以上。

圖1 循環(huán)擺m 的運(yùn)動(dòng)軌跡

由以上實(shí)驗(yàn)事實(shí),我們可以認(rèn)為m在第一次到達(dá)最高點(diǎn)之前就已經(jīng)進(jìn)入漸開線運(yùn)動(dòng),因此可以將m的運(yùn)動(dòng)軌跡分為兩部分,第一部分為M停止運(yùn)動(dòng)之前(即m做循環(huán)擺運(yùn)動(dòng));第二部分為M停止運(yùn)動(dòng)之后(也就是m做漸開線運(yùn)動(dòng))。本文中將第一部分運(yùn)動(dòng)結(jié)束、第二部分運(yùn)動(dòng)開始時(shí)的時(shí)刻稱為臨界時(shí)刻。漸開線的數(shù)學(xué)形式已經(jīng)很清晰,根據(jù)臨界時(shí)刻的各個(gè)物理量,運(yùn)用能量守恒也很容易寫出第二部分的運(yùn)動(dòng)方程,因此本文著重探究m第一部分的運(yùn)動(dòng)。

記連接m和桿的那段繩子長(zhǎng)度為l,與桿的切點(diǎn)為P;連接M和桿的那段繩子與桿的切點(diǎn)為Q;Pm與水平面的夾角為θ(逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù));桿的圓心為O;兩切點(diǎn)與圓心連線的夾角為ψ;繩子與桿的摩擦因數(shù)為μ;桿半徑為r;M運(yùn)動(dòng)的速度為vM;Pm段繩子的張力為Fm;QM段繩子的張力為FM;沿mP指向P的單位矢量為eτ,將eτ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)記為矢量eφ(顯然eτ,eφ隨著m位置的變化而改變);重力加速度為g。為表示清晰,圖2中將桿的比例放大,但事實(shí)上,桿半徑一般在0.004～0.01m 之間,而釋放輕物時(shí)的l一般在0.5～1.1m 之間。

圖2 運(yùn)動(dòng)分析圖

先對(duì)題目進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析,可以看到M應(yīng)該是做直線運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)該較為簡(jiǎn)單,而m做二維運(yùn)動(dòng),如果通過極坐標(biāo)來描述的話,需要同時(shí)建立θ和l所滿足的方程式,根據(jù)繩子是剛性的這一條件,可建立l與M的方程。

然而θ所滿足的方程,較難得出,也是本文的重點(diǎn)。面對(duì)這樣復(fù)雜的物理問題,通常先假設(shè)摩擦因數(shù)為μ=0,由此寫出系統(tǒng)的拉格朗日量,然后根據(jù)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程來求解。再考慮μ≠0時(shí),對(duì)有耗散情形的修正。但是,作者通過嘗試,發(fā)現(xiàn)這種思路反而使問題無法分析。因?yàn)樵讦?0的條件下,不會(huì)出現(xiàn)臨界時(shí)刻。究其原因,不難發(fā)現(xiàn):如果μ=0,M加速度和速度同時(shí)為0 的時(shí)刻不會(huì)出現(xiàn),因此M不會(huì)停止運(yùn)動(dòng),而是往復(fù)運(yùn)動(dòng)。同時(shí),連接m與桿的那段繩子,也不能保證一直處于拉直狀態(tài)。

如何描述θ所遵循的物理規(guī)律,筆者運(yùn)用疊加原理,將任一時(shí)刻m的運(yùn)動(dòng)看作重力場(chǎng)中:m作漸開線運(yùn)動(dòng)與以P點(diǎn)為瞬軸的“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。由此可將所滿足的規(guī)律看作由三部分加速度疊加而成:與重力相關(guān)部分、與漸開線相關(guān)部分、與繞瞬軸“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)部分。為此,筆者在1.1.2節(jié)分析過程中,分別分析上述3種因素對(duì)的貢獻(xiàn),基于疊加原理,得到循環(huán)擺所滿足的方程。這一方程正確性在隨后的實(shí)驗(yàn)中也得到了進(jìn)一步證實(shí)。

1.1 分析臨界時(shí)刻前m 的運(yùn)動(dòng)[2,4,5,7]

在實(shí)驗(yàn)中,鑒于m的形狀;空氣阻力和繩子質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的影響甚小,因此在推導(dǎo)中將其忽略。

1.1.1的表達(dá)式

首先,根據(jù)幾何關(guān)系可得ψ=+θ,代入絞盤方程[2]可得

對(duì)M應(yīng)用牛頓第二定律可得

將m的加速度在eτ和eφ上分解,因?yàn)槔K子只能提供eτ方向的拉力,任何時(shí)刻P點(diǎn)都為m的瞬心,m對(duì)P點(diǎn)的角速度為,所以在eτ方向上有

上式左邊為m在eτ方向所受的合外力,右邊第一項(xiàng)為沿eτ的速度方向改變產(chǎn)生的加速度,右邊第二項(xiàng)為沿eτ的速度大小改變所產(chǎn)生的加速度。

在臨界時(shí)刻之前,M不斷下墜和m繞桿旋轉(zhuǎn),模型中假設(shè)繩子為理想剛性繩,因此可得式(4)

上式左邊為Pm變化的速度,因?yàn)閘隨時(shí)間減小,所以加一個(gè)負(fù)號(hào)。右邊第一項(xiàng)為繩子纏繞在桿上致使l縮短的速率,第二項(xiàng)為M向下運(yùn)動(dòng)致使l縮短的速率。將式(4)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),可得式(5),注意,˙l對(duì)時(shí)間求導(dǎo)時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào)。

聯(lián)立式式(1)、式(2)、式(3)、式(5)可得式(6)

1.1.2的表達(dá)式[9-11,14]

第三部分為沿eτ方向上的平動(dòng)所導(dǎo)致的角加速度記為β3。通過受力分析,β1的表達(dá)式容易得到

為求得β2的表達(dá)式,將β2的成因抽象成當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做漸開線運(yùn)動(dòng)時(shí)的角加速度,所以首先推導(dǎo)漸開線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,僅考慮質(zhì)點(diǎn)做漸開線運(yùn)動(dòng)引起繩長(zhǎng)變化,質(zhì)點(diǎn)對(duì)于瞬心的角加速度。

如圖3所示選取繩長(zhǎng)和繩子與水平面的夾角為廣義坐標(biāo),則

圖3 漸開線運(yùn)動(dòng)

對(duì)t求一次導(dǎo),并代入約束條件的微分形式得

則體系的拉格朗日量為

式(9)中左邊為漸開線運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的角加速度,記為β2,右邊出現(xiàn)了l,r等物理量,正是描述漸開線運(yùn)動(dòng)所需的物理量,體現(xiàn)出桿半徑r對(duì)此系統(tǒng)的影響。而且如果讓r趨向于0,則β2也趨向于0,符合實(shí)際情況

仿照β2的推導(dǎo)過程,推導(dǎo)β3:β3成因于質(zhì)點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),由于旋轉(zhuǎn)半徑改變所產(chǎn)生的角加速度。下面僅考慮質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半徑改變,質(zhì)點(diǎn)對(duì)于瞬心的角加速度。

如圖4所示選取繩長(zhǎng)和繩子繞過的角度為廣義坐標(biāo),則

圖4 “定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)t求一次導(dǎo)得

則體系的拉格朗日量為

根據(jù)我們先前的分析β3是由于m沿eτ方向的平動(dòng)而產(chǎn)生,之所以m會(huì)沿eτ方向有平動(dòng),是因?yàn)镸的拖拽,式(11)中左邊出現(xiàn)vM這一項(xiàng),反映了M的運(yùn)動(dòng)對(duì)m運(yùn)動(dòng)的影響,當(dāng)臨界時(shí)刻以后,M停止運(yùn)動(dòng)vM=0,則β3=0,于是m便在重力場(chǎng)下做漸開線運(yùn)動(dòng)了。與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符合。

因?yàn)棣?,β2,β3的方向相同,因此=β1+β2+β3,將式(7)、式(9)、式(11)代入得

1.1.3 m 運(yùn)動(dòng)的微分方程組

根據(jù)1.1.1節(jié)和1.1.2節(jié)的分析所得到的式(6)和式(12)還不能構(gòu)成一個(gè)可解的微分方程組,需要加上約束條件式(4),由式(4)、式(6)、式(12)所構(gòu)成的微分方程組的總微分階數(shù)為4,因此需要四個(gè)定解條件,分別為、vMt=0、θt=0、lt=0,由于是靜止釋放,所以=0,vMt=0=0,而θt=0與lt=0可以由實(shí)驗(yàn)得到,將初始時(shí)刻的θ與l記為θ0,l0。通過求解微分方程組,便可得到m運(yùn)動(dòng)的信息。

1.2 形成循環(huán)擺現(xiàn)象的條件

臨界時(shí)刻的所有物理量均加角標(biāo)“變”表示,如θ變,l變(下同,略)。由實(shí)驗(yàn)得到,如果m能越過最高點(diǎn),則可繞桿一圈以上。因此,我們將m是否能越過最高點(diǎn)作為是否形成循環(huán)擺的判據(jù)。設(shè)m運(yùn)動(dòng)到最高處時(shí)所有物理量均加角標(biāo)“最高”表示,如圖5 所示,最高處的角速度為(下同,略)。

圖5 臨界時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)

臨界時(shí)刻過后繩子與桿不再發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),因此體系不再有能量耗散,臨界時(shí)刻過后,在重力場(chǎng)下m做漸開線運(yùn)動(dòng),機(jī)械能守恒。以桿中心O所在高度為零勢(shì)能,則臨界時(shí)刻m的機(jī)械能可表示為

最高處的機(jī)械能可表示為

因?yàn)榕R界時(shí)刻之后m能量守恒,因此E最高=E變,而且m在運(yùn)動(dòng)過程中任意時(shí)刻都有θ,聯(lián)立式(13)、式(14)可得

m在最高點(diǎn)處沿eτ(此時(shí)eτ方向?yàn)樨Q直向下與g同向)方向的加速度為

式(16)右邊第一項(xiàng)為速度方向改變所產(chǎn)生的加速度,第二項(xiàng)為速度大小改變所產(chǎn)生的加速度。要想能越過最高點(diǎn),只有滿足式(17),才能保證越過最高點(diǎn)時(shí)繩中有張力。根據(jù)繩不可伸長(zhǎng)可得

聯(lián)立式式(15)、式(16)、式(17)、式(18)得

當(dāng)滿足式(19)時(shí),m在最高點(diǎn)時(shí)繩能繃緊,意味著m可以越過最高點(diǎn),也就是能形成循環(huán)擺。不等式中r,g為常數(shù),根據(jù)θ變,l變可判定不等式是否成立,而θ變,l變,可通過求解定初值的微分方程來確定。結(jié)合1.1.3節(jié)中的微分方程和式(19),便可通過初值判斷能否形成循環(huán)擺。

2 數(shù)值求解

因?yàn)閙做循環(huán)擺運(yùn)動(dòng)的速度極快,整個(gè)過程通常小于1秒,實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確記錄困難。筆者曾嘗試用相機(jī)直接記錄m軌跡,再與理論值對(duì)比,發(fā)現(xiàn)誤差較大。進(jìn)而調(diào)整策略,選擇驗(yàn)證不同初始條件下的臨界時(shí)刻的各物理量實(shí)驗(yàn)值是否與(數(shù)值求解得出的)理論值相符合的方案。

將θ,lvM的實(shí)驗(yàn)值與理論得到的數(shù)值解對(duì)比分析,可驗(yàn)證理論分析中的假設(shè)是否合理、理論模型是否正確,進(jìn)而可驗(yàn)證形成循環(huán)擺判定條件式(19)是否正確。

由于變量較多,所以可以先在其他條件不變的情況下,研究某一個(gè)參量對(duì)循環(huán)擺的影響。我們對(duì)各變量賦值如下14,桿半徑r=0.0042m,摩擦系數(shù)μ=0.2,初始角度θ0=0,初始線長(zhǎng)l0=1m,通過控制單一變量的方法,逐一探究該變量對(duì)循環(huán)擺的影響。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)方案

根據(jù)理論分析,可知影響體系的變量主要有5個(gè),分別為桿半徑r,摩擦系數(shù)μ,質(zhì)量比,初始角度θ0,初始線長(zhǎng)l0。因涉及到變量較多,所以筆者采用控制單一變量法,研究某一變量對(duì)體系的影響。但在研究過程中發(fā)現(xiàn)即便是材質(zhì)相同的桿與線,由于表面光滑程度不一樣也會(huì)導(dǎo)致摩擦系數(shù)不一樣,而在改變桿半徑r時(shí),勢(shì)必要更換桿,因此會(huì)導(dǎo)致摩擦系數(shù)μ也發(fā)生改變,無法達(dá)到控制單一變量的要求,從而無法得出正確的結(jié)論。因此,在本實(shí)驗(yàn)中不改變桿半徑和摩擦系數(shù),所采用的桿與細(xì)線的摩擦系數(shù)為0.2086±0.0022,半徑為(0.420±0.003)cm 的鋼桿,在改變某一參數(shù)時(shí),其余的參數(shù)為l0=(1.0000±0.0004)m,θ0=(0.00±0.04)rad=14.000±0.002。在其他條件相同時(shí),分別設(shè)計(jì)不同θ0,l0的數(shù)值,先用視頻記錄,后使用Tracker分析實(shí)驗(yàn)視頻,最后用Origin分析處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并與理論模擬所得曲線進(jìn)行比較。

3.2 實(shí)驗(yàn)裝置

圖6為我們采用的實(shí)驗(yàn)裝置,由于摩擦系數(shù)μ與桿半徑r在圖中比例太小,難以標(biāo)出,其余的各個(gè)物理量已經(jīng)在圖中標(biāo)出。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置

3.3 利用臨界時(shí)刻的各個(gè)物理量驗(yàn)證微分方程組

我們采用如下方法從視頻中分辨出臨界時(shí)刻。因?yàn)?僅僅看m的運(yùn)動(dòng)軌跡是無法分辨的?？墒欠治鯩運(yùn)動(dòng),不難發(fā)現(xiàn),在臨界時(shí)刻時(shí),vM為0(vM=0后m便做漸開線運(yùn)動(dòng),也就是說雖然初始時(shí)刻時(shí)也有vM=0,但不滿足=0,因此舍去t=0),因此M速度為零時(shí)的各物理量便是臨界時(shí)刻的各個(gè)物理量。顯然M僅做直線運(yùn)動(dòng),而且速度相對(duì)于m較緩慢,既容易從視頻中確定M速度為零的時(shí)刻,而且誤差又小。比對(duì)臨界時(shí)刻各個(gè)物理量的實(shí)驗(yàn)值與理論值,以此來驗(yàn)證本文的理論是否正確。

圖7中實(shí)線均由理論值得出(下同,略)。圖中所標(biāo)的極限角度、極限線長(zhǎng)、極限角速度、極限時(shí)間的意義分別為θ變、l變、t變。

從圖7中可以看到,理論值與實(shí)驗(yàn)值符合的較好。證明微分方程模型與實(shí)際情況較為貼合,在推導(dǎo)微分方程組時(shí)做作的假設(shè)合理。

為了進(jìn)一步對(duì)圖7中的各圖進(jìn)行對(duì)比分析、歸納總結(jié),

首先要明確θ變、l變、t變反映了體系的何種性質(zhì),以及、l0、θ0對(duì)系統(tǒng)的影響:

(1)θ變和l變,表征臨界時(shí)刻m的位置信息。

(2)t變,間接表征系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)快慢:t變?cè)叫?循環(huán)擺的時(shí)間越短,運(yùn)動(dòng)越快。

(7)θ0間接表征了體系的初始能量,在其他條件不變的情況下,θ0越小,體系總能量越大。

其次,從圖7中各圖變化趨勢(shì)來看:發(fā)現(xiàn)圖7中(a)、(b)、(c)顯示:θ變與、l0、θ0呈正相關(guān)。

對(duì)比圖7中(d)與(g)、(e)與(h)、(f)與(i),發(fā)現(xiàn)兩兩變化趨勢(shì)均相反。而且經(jīng)過理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,(f)與(i)的極值點(diǎn)相同(l變與在相同的θ0下取到極值),此結(jié)果表明,改變、l0、θ0中 的任一個(gè),l變與的變化趨勢(shì)總是相反。而兩者乘積在表征了在臨界時(shí)刻m單位質(zhì)量的角動(dòng)量的大小,又因?yàn)閮烧咦兓厔?shì)相反,可知,不同條件下的臨界時(shí)刻m的角動(dòng)量應(yīng)該相差不大。基于上述分析,我們可以得到以下結(jié)論:

圖7 初始條件對(duì)臨界時(shí)刻物理量的影響

有了上述分析后,接下來分析12幅圖的變化所代表的物理規(guī)律:

其次,分析圖7中(b)、(e)、(h)、(k)。根據(jù)3.3節(jié)(6)的分析,隨著l0增大,體系運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是減緩的,相比較上一段所分析的令體系運(yùn)動(dòng)加快,圖7中(b)、(e)、(h)、(k)與圖(a)、(d)、(g)、(j)的變化趨勢(shì)本應(yīng)全部相反,事實(shí)上圖(b)并不符合此規(guī)律。圖(b)中θ變與l0呈正相關(guān),緣于改變l0時(shí)t變的增加速度比˙θ的減小速度要快。所以,t變對(duì)θ變的影響比l0對(duì)θ變的影響更大。

最后,分析圖7中(c)、(f)、(i)、(l)。圖7(l)表明t變與θ0呈正相關(guān)關(guān)系,因?yàn)棣?越大,體系總能量越小,體系運(yùn)動(dòng)越慢,t變變長(zhǎng)。理論計(jì)算顯示:圖(f),(i)中存在一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),圖(c)中存在二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),且上述所有階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)在同一個(gè)θ0下取到。

圖7中(f)、(i)這兩圖表明l變和與θ0并不是簡(jiǎn)單的正、負(fù)相關(guān)關(guān)系。這是因?yàn)楫?dāng)θ0較小時(shí),m相對(duì)位置較高,體系能量較大,因而體系運(yùn)動(dòng)相對(duì)較快,導(dǎo)致l變較小較大;而當(dāng)θ0較大時(shí),體系能量較低,導(dǎo)致體系運(yùn)動(dòng)較慢,所以t變比較大,因此也導(dǎo)致l變比較小。綜上所述,l變存在一個(gè)極大值。而與l變的變化趨勢(shì)相反,因而存在一個(gè)極小值。

圖(c)中θ變,在二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)之前,隨著θ0增大減小且t變?cè)龃?所以在此階段θ變對(duì)θ0的變化率越來越大,而在二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)之后隨著θ0增大也隨之增大,因此θ變對(duì)θ0的變化率越來越小。

3.4 通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證循環(huán)擺判據(jù)的正確性

圖8 不同質(zhì)量比下F1,F2的變化

3.4.1 用驗(yàn)證循環(huán)擺的判據(jù)

圖9 不同l0下F1,F2的變化

圖10 不同θ0下F1,F2的變化

首先改變質(zhì)量比,通過Mathematical作圖得到圖8,根據(jù)圖8 可以得到,只有當(dāng)質(zhì)量比大于6.992時(shí),才滿足F1＜F2。

而在實(shí)驗(yàn)中,在其他條件不變的情況下,取質(zhì)量比為6.000±0.002,無法形成循環(huán)擺。而質(zhì)量比為7.000±0.002時(shí),剛好能形成循環(huán)擺,與理論相符合。

3.4.2 用l0 驗(yàn)證循環(huán)擺的判據(jù)

看到圖9中在l0=0.56處F1存在突變,當(dāng)l0＞0.561m 時(shí),有F1＜F2,這意味著當(dāng)l0＜0.561m時(shí),無法形成循環(huán)擺。

在實(shí)驗(yàn)中觀察到當(dāng)l0=0.5000±0.0004m時(shí),m未繞桿一圈便會(huì)與桿碰撞,此現(xiàn)象正是圖9中突變的原因,因?yàn)楫?dāng)撞擊時(shí)m的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就不能用1.1.3節(jié)中的微分方程組描述,因此方程的數(shù)值解在那一點(diǎn)會(huì)發(fā)散,反應(yīng)到圖上就是突變。l0過小,在臨界時(shí)刻前便會(huì)與桿碰撞。當(dāng)l0=(0.6000±0.0004)m 時(shí),在與桿相撞之前,m恰好能到達(dá)最高點(diǎn)附近。實(shí)驗(yàn)與理論符合較好。

3.4.3 用θ0 驗(yàn)證循環(huán)擺的判據(jù)

看到圖10 中在θ0=0.92 處F1,F2存在突變,且θ0＜0.92 時(shí),有F1＜F2,意味著當(dāng)θ0＞0.92≈0.3π便無法形成循環(huán)擺。

實(shí)驗(yàn)中測(cè)得,當(dāng)θ0=(0.79±0.04)rad能明顯形成循環(huán)擺現(xiàn)象,而當(dāng)θ0=(1.05±0.04)rad時(shí),不能形成循環(huán)擺。在此條件下,當(dāng)m運(yùn)動(dòng)到大于1.2π時(shí),無法使繩子繃直,此后做斜拋運(yùn)動(dòng)下落。因此,這一點(diǎn)之后的時(shí)刻便不能用1.1.3節(jié)中的微分方程組描述,數(shù)值解在這一點(diǎn)發(fā)散,體現(xiàn)到圖中便是突變,圖10與理論相符合。

4 結(jié)語

本文一方面基于經(jīng)典力學(xué),對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行理論分析,抓主要因素,得出一個(gè)描述此現(xiàn)象的微分方程組,并用Mathematical進(jìn)行數(shù)值模擬。通過比對(duì)實(shí)驗(yàn)值,證實(shí)了微分方程組正確性。首先探究得到了描述循環(huán)擺運(yùn)動(dòng)的微分方程組。

初始條件對(duì)臨界時(shí)刻物理量的影響可歸納為表1所示。其中,“+”代表正相關(guān),“-”代表負(fù)相關(guān),“”代表出現(xiàn)極值。由實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算,在θ0=-0.3rad處,l變、θ變有極大值,與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象符合。

表1 t變時(shí)刻各個(gè)量與初始條件的關(guān)系

本文另一方面探究形成循環(huán)擺的條件,給出了通過初值直接判定能否形成循環(huán)擺的方法:先將初值代入微分方程組,求出l變,θ變,再用l變,θ變,代入不等式,便可判斷能否形成循環(huán)擺。

本實(shí)驗(yàn)的裝置簡(jiǎn)單,現(xiàn)象明顯,而且在娛樂設(shè)施,課堂演示等方面都有一定的應(yīng)用前景,是一個(gè)值得深入探討的課題。