小球與勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞
——大學(xué)物理教學(xué)問題探討

劉鳳艷 韓守振 蘇雪瓊

(北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)部 物理與光電學(xué)院,北京 100124)

大學(xué)物理教學(xué)中,小球與細(xì)桿的碰撞問題是剛體力學(xué)中的一個難點(diǎn)問題。由于大部分中學(xué)物理不講解剛體、轉(zhuǎn)動慣量等概念,遇到這類問題很多學(xué)生還是嘗試?yán)脛恿渴睾銇硖幚韀1]。據(jù)作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),相當(dāng)比例的學(xué)生不理解碰撞過程中動量為何不守恒,而錯誤地對小球—細(xì)桿系統(tǒng)用動量守恒定律求解。大學(xué)物理教學(xué)應(yīng)該想辦法彌補(bǔ)這方面教學(xué)的缺失,也可以利用這部分知識的講解使學(xué)生從中學(xué)思考物理問題的方式轉(zhuǎn)變到大學(xué)物理思考問題的方式。小球與細(xì)桿的碰撞問題涉及的力學(xué)知識點(diǎn)是比較多的,包括剛體的性質(zhì)、轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)心的概念、彈性和非彈性碰撞等。因此對這個碰撞問題的分析與討論,可以幫助提升學(xué)生對剛體力學(xué)各種概念的理解,也可以提高學(xué)生分析、解決問題的能力。正因?yàn)槿绱?有很多物理競賽題也是就小球與細(xì)桿的碰撞問題而設(shè)計(jì)的,以此來考查學(xué)生解決物理問題的能力。比如,尋找保持細(xì)桿懸掛軸水平方向受力為零(此時水平方向動量也守恒)的位置,小球擊打自由落體的細(xì)桿等。這些習(xí)題可以起到非常好的訓(xùn)練效果。

綜上所述,為了較為系統(tǒng)的講解小球與細(xì)桿的碰撞問題,本文通過兩個實(shí)例進(jìn)行分析計(jì)算,給出在碰撞過程中小球—細(xì)桿組成的系統(tǒng)動量、角動量和動能是否守恒,何時守恒,以及碰撞之后小球和細(xì)桿的運(yùn)動方式。論文做以下安排:第1部分討論小球與通過水平光滑軸自然下垂的勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞的例子;第2部分討論小球與自由下落的勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞的例子;最后一部分給出本文的總結(jié)。雖然大部分讀者可能對本文涉及內(nèi)容相當(dāng)熟悉,但是論文還是盡量詳細(xì)說明了作者在實(shí)際課堂上的講解過程,希望對各位讀者的教學(xué)有借鑒意義。

1 小球與通過水平光滑軸自然下垂的勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞

質(zhì)量為M、長度為l的細(xì)桿可以繞水平光滑軸O轉(zhuǎn)動,O軸通過細(xì)桿的一個端點(diǎn),開始時細(xì)桿自然下垂,如圖1所示。質(zhì)量為m的小球沿水平方向以速率v0與細(xì)桿發(fā)生碰撞。這里將小球看作質(zhì)點(diǎn),細(xì)桿看作剛體。正如上文所述,當(dāng)在課堂上講解這個例題的時候,學(xué)生們一般首先會想到利用動量守恒來求解,下面我們就先分析這個過程中的動量,然后再討論正確的利用角動量求解的方法,同時分析碰撞過程中的能量(彈性和非彈性)情況。

圖1 小球與過水平光滑軸自然下垂的勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞

1.1 碰撞過程中的動量

在碰撞過程中,小球和細(xì)桿組成一個系統(tǒng)。小球和細(xì)桿之間的作用力、反作用力為一對內(nèi)力,內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動量。系統(tǒng)所受外力為細(xì)桿和小球所受重力和O軸給予細(xì)桿的作用力,很多同學(xué)會認(rèn)為這兩個力都沿豎直方向,水平方向沒有外力,所以碰撞過程中系統(tǒng)水平方向動量守恒。但是,事實(shí)并非如此,下面通過計(jì)算來說明這一問題。

假設(shè)圖1中質(zhì)心C到O軸的距離為rc,碰撞點(diǎn)P到O軸的距離為rp。先假設(shè)碰撞瞬間O軸對細(xì)桿的作用力有沿水平方向的分量,記作Fx,O軸對細(xì)桿沿豎直方向的分量記作Fy,則如果Fx=0,水平方向動量守恒,否則水平方向動量不守恒(這里忽略碰撞瞬間細(xì)桿的擺動)。水平方向選向右為正方向,豎直方向選向下為正方向,轉(zhuǎn)動選逆時針為正方向。設(shè)碰撞瞬間小球給細(xì)桿的作用力為f,則細(xì)桿會在這一f形成的力矩作用下繞O軸轉(zhuǎn)動,根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律有

其中J=Ml2是勻質(zhì)細(xì)桿相對于過其端點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,α為細(xì)桿定軸轉(zhuǎn)動角加速度。對于細(xì)桿,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理有

其中acx為細(xì)桿質(zhì)心沿x方向的加速度,也即質(zhì)心的切向加速度。因?yàn)榧?xì)桿的質(zhì)量分布均勻,其質(zhì)心C就在棒的中點(diǎn)位置,有rc=。由式(1)、式(2)可得

可見,只有當(dāng)rP=時才有Fx=0,才滿足水平方向動量守恒[2],其實(shí)這個簡單的運(yùn)算也給出了懸掛點(diǎn)水平方向受力為零的擊打點(diǎn)位置;當(dāng)時,Fx＜0,即O軸給細(xì)桿沿水平方向的力向左;當(dāng)rP＞時,Fx＞0,O軸給細(xì)桿沿水平方向的力向右。這兩種情況下系統(tǒng)沿水平方向合外力不為零,水平方向動量不守恒。因此這道題如果用動量守恒來求解碰撞后小球的速度和桿的擺動角速度是不合適的。

1.2 碰撞過程中的角動量和動能

下面來看這個問題的正確求解方法,即利用角動量守恒來求解。小球—細(xì)桿之間的作用力為一對等值反向的內(nèi)力,其對O軸的合力矩為零。系統(tǒng)所受外力為重力和O軸對細(xì)桿的作用力,在碰撞瞬間不考慮細(xì)桿的擺動,這兩個力對O軸的力矩也都為零,所以碰撞過程中滿足角動量守恒,即

其中r為任意撞擊點(diǎn)到O軸的距離,v為碰撞后小球的速度,ω為碰撞后細(xì)桿開始擺動的角速度。

大學(xué)物理教學(xué)中涉及的這類碰撞問題通常都是兩種極限情況——完全彈性碰撞或是完全非彈性碰撞,而對于一般情況下的非完全彈性碰撞通常不做討論。為了不失一般性,這里利用恢復(fù)系數(shù)來表示碰撞,進(jìn)而討論動能如何變化以及小球和細(xì)桿碰撞后的運(yùn)動方式?；謴?fù)系數(shù)e是與碰撞物體的材質(zhì)有關(guān)的一個物理量,定義為[3]

e的取值范圍為0≤e≤1,e=1時為完全彈性碰撞,動能守恒;e=0時為完全非彈性碰撞,小球粘附于細(xì)桿之上和細(xì)桿一起運(yùn)動,動能損失最大。υ1-υ2是兩物體碰撞后的相對速度,υ10-υ20是兩物體碰撞前的相對速度。碰撞前細(xì)桿靜止不動,小球相對于細(xì)桿碰撞位置的速度大小為v0;碰撞后小球速度為v,細(xì)桿開始以角速度ω?cái)[動,小球相對于細(xì)桿上碰撞位置的速度為ωr-v[4],于是有

由式(3)、式(4)可得碰撞后小球的速度

由式(5)可知,如果mr2＜Je,v＜0,小球被細(xì)桿彈回;如果mr2＞Je,v＞0,碰撞后小球繼續(xù)向右運(yùn)動。這兩種情況下,當(dāng)e=1時,小球速度值v為

此時對應(yīng)完全非彈性碰撞,動能損失最大,小球粘附于細(xì)桿之上,隨細(xì)桿一起上擺,此時式(3)變形為

其中mr2是粘附于細(xì)桿上的小球相對于O軸的轉(zhuǎn)動慣量。由此也可得到小球速率

與式(7)相同。

有一個非常有意思的點(diǎn),可以在課堂上講解一下。式(5)中如果mr2=Je,碰撞后小球?qū)⑼Ｖ惯\(yùn)動,只有細(xì)桿向右上方擺動。即小球撞到細(xì)桿上,停止運(yùn)動,細(xì)桿擺動起來。這個過程與演示動量守恒時下擺鋼球與自然垂掛鋼球的對心碰撞過程類似,如果能夠?qū)蓚€碰撞過程放在一起演示,預(yù)計(jì)可以取得非常好的教學(xué)效果。

2 小球與自由下落的勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞

這里假設(shè)細(xì)桿沒有固定軸,開始時細(xì)桿長度方向沿豎直方向靜止放置,如圖2所示,小球和細(xì)桿碰撞的瞬間細(xì)桿開始作自由落體運(yùn)動,此時再來討論碰撞過程中系統(tǒng)的動量、角動量和動能。

2.1 碰撞過程中的動量

在這種情況下,在碰撞的瞬間,小球和細(xì)桿組成的系統(tǒng)所受合外力為豎直方向的重力,水平方向不受外力,所以水平方向動量守恒。依然用v表示小球碰撞后的速度,有

圖2 小球與自由下落的勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞

其中vcx為細(xì)桿質(zhì)心沿水平方向的速度。考慮到豎直方向的自由落體運(yùn)動,此時,細(xì)桿質(zhì)心的合運(yùn)動為平拋運(yùn)動,而整根細(xì)桿繞質(zhì)心作勻角速度轉(zhuǎn)動。這里要注意,細(xì)桿雖然繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動,但是因?yàn)橘|(zhì)心參考系是零動量系[5],即細(xì)桿相對于其質(zhì)心的動量為零,所以在式(8)中只考慮細(xì)桿質(zhì)心的動量。

2.2 碰撞過程中的角動量和動能

在碰撞過程中,系統(tǒng)所受外力為重力,而重力相對于過質(zhì)心的C軸的力矩為零,所以角動量依然守恒,有

其中r′為任意撞擊點(diǎn)到C軸的距離,J′=為細(xì)桿相對于C軸的轉(zhuǎn)動慣量。

下面我們來看碰撞過程的動能。注意到如果小球與細(xì)桿上半部分碰撞,細(xì)桿會作順時針轉(zhuǎn)動;如果小球與細(xì)桿下半部分碰撞,細(xì)桿將作逆時針轉(zhuǎn)動,除了旋轉(zhuǎn)方向之外其他運(yùn)動沒有差別。這里假設(shè)小球與細(xì)桿下半部分碰撞。依然利用恢復(fù)系數(shù)的定義,有

因?yàn)榕鲎埠蠹?xì)桿質(zhì)心有沿水平方向的速度vcx,小球和碰撞位置的相對速度為vcx+ω′r′-v。解式(8)、式(9)、式(10)可得

由以上結(jié)果可以看出,當(dāng)r′=0 時,細(xì)桿角速度ω′=0,此時小球正好與細(xì)桿質(zhì)心位置碰撞,相當(dāng)于對心碰撞,整根細(xì)桿都作平拋運(yùn)動,沒有轉(zhuǎn)動;當(dāng)r′≠0時,不管M、m、r′、e取何值,vc都 為正值,即細(xì)桿質(zhì)心以速度vcx沿水平方向向右運(yùn)動。當(dāng)r′＞0,即小球與細(xì)桿下半部分碰撞,ω′＞0,細(xì)桿以角速度ω′繞過質(zhì)心的C軸逆時針轉(zhuǎn)動;否則,如果r′＜0,即小球與細(xì)桿上半部分碰撞,ω′＜0,細(xì)桿以角速度ω′繞過質(zhì)心的C軸順時針轉(zhuǎn)動。對于碰撞后小球的速度v,還需分三種情況討論:

(1) 當(dāng)mJ′+Mmr′2-eMJ′＜0 時,碰撞之后小球被彈回,e=1時為完全彈性碰撞,回彈速度最大;

(2) 當(dāng)mJ′+Mmr′2-eMJ′=0 時,碰 撞之后小球停止運(yùn)動;

(3) 當(dāng)mJ′+Mmr′2-eMJ′＞0 時,碰撞之后小球繼續(xù)向右運(yùn)動。當(dāng)e=0時為完全非彈性碰撞,此時小球粘附于細(xì)桿之上,和細(xì)桿一起繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動,系統(tǒng)質(zhì)心依然做平拋運(yùn)動。但此時系統(tǒng)質(zhì)心位置不是細(xì)桿中心,而應(yīng)該在桿的質(zhì)心O′和碰撞位置P之間的某點(diǎn),如圖3中所示C′位置。選C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),向下為正y方向,則質(zhì)心位置為

表示動量和角動量守恒的式(8)、式(9)應(yīng)寫成如下形式:

這里r″=r′-yC′為碰撞點(diǎn)到質(zhì)心C′的距離,J″=是系統(tǒng)相對于過質(zhì)心的C′軸的轉(zhuǎn)動慣量。這種情況下,質(zhì)心C′將作水平方向速度為vc′x的平拋運(yùn)動,系統(tǒng)將繞質(zhì)心C′以角速度ω″作勻角速度轉(zhuǎn)動。

圖3 小球與自由下落的勻質(zhì)細(xì)桿的碰撞,并粘附其上

最后,我們再來補(bǔ)充一種小球與光滑水平面上勻質(zhì)細(xì)桿碰撞的情況。如果小球與置于光滑水平面上一端固定的勻質(zhì)細(xì)桿發(fā)生碰撞,碰撞過程的分析與第一種情況完全相同;如果置于光滑水平面上的細(xì)桿沒有固定軸,則與第二種情況類似,只是沒有豎直方向的運(yùn)動;如果軸的位置變化,那么相對于軸的角動量和轉(zhuǎn)動慣量都會發(fā)生變化,分析方法相同。另外如果細(xì)桿置于一粗糙水平面上,只要小球和細(xì)桿之間的作用力足夠大,碰撞瞬間對細(xì)桿形成的沖量矩遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于摩擦力矩,也可認(rèn)為角動量近似守恒。

3 結(jié)語

本文通過兩個實(shí)例分析了小球和細(xì)桿的碰撞問題。分析表明,通常情況下小球—細(xì)桿組成的系統(tǒng)所受合外力矩為零或近似為零,角動量守恒。

當(dāng)細(xì)桿沒有光滑固定軸時,小球與置于光滑水平面上的細(xì)桿碰撞,合外力為零,動量守恒;如果小球與桿長沿豎直方向放置做自由落體的細(xì)桿碰撞,水平方向不受外力,小球—細(xì)桿系統(tǒng)水平方向的動量守恒。如果細(xì)桿有光滑固定軸,只在小球撞擊細(xì)桿的某一特定部位時系統(tǒng)動量才可能守恒。

只有在完全彈性碰撞下小球—細(xì)桿組成的系統(tǒng)動能才守恒。如果恢復(fù)系數(shù)e≠0,碰撞后小球可能繼續(xù)向前運(yùn)動,也可能被彈回或是停止運(yùn)動,細(xì)桿繞固定軸或是繞自身質(zhì)心轉(zhuǎn)動。對于完全非彈性碰撞,即e=0,系統(tǒng)動能損失最大,此時小球粘附于細(xì)桿之上和細(xì)桿一起繞固定軸或是小球—細(xì)桿系統(tǒng)的質(zhì)心轉(zhuǎn)動。

在課堂教學(xué)中,給出小球與有固定軸的自然下垂的細(xì)桿碰撞時細(xì)桿的受力情況計(jì)算,學(xué)生很容易理解桿的動量是否守恒,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生改變解決問題時一些想當(dāng)然的想法,做到以事實(shí)、數(shù)據(jù)為依據(jù)進(jìn)行判斷。進(jìn)一步探究小球和沒有固定軸的細(xì)桿之間的恢復(fù)以及碰撞后小球和細(xì)桿的運(yùn)動形式,涉及到碰撞系數(shù)、質(zhì)心等難度稍大的內(nèi)容,可以拓展學(xué)生的思維,使其在學(xué)習(xí)、探索中找到樂趣。