再談拉格朗日函數(shù)非唯一性的物理意義:廣義規(guī)范變換和正則變換的等價(jià)性證明

韋聯(lián)福

(1 東華大學(xué)理學(xué)院,上海 200269;2西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 610031)

經(jīng)典分析力學(xué)中的一個(gè)熟知結(jié)論是,力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)是非唯一確定的:即相差任意一個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間全微分項(xiàng)的兩個(gè)拉格朗日函數(shù)是等價(jià)的,他們導(dǎo)致一個(gè)共同的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程。所以,一般認(rèn)為這個(gè)全微分項(xiàng)對(duì)動(dòng)力學(xué)問題的研究是沒有什么物理意義的,在大多數(shù)教材都只是簡(jiǎn)單地提及這一特性,而對(duì)其蘊(yùn)含的物理意義也就不多加以闡述,從而在實(shí)際教學(xué)中留下不少誤解和爭(zhēng)議。實(shí)際上,正如文獻(xiàn)[1,2]所指出的那樣,拉氏函數(shù)的不確定性實(shí)際上是動(dòng)力學(xué)方程規(guī)范不變性的一種表現(xiàn),這種規(guī)范變換可看作哈密頓力學(xué)中的一種正則變換[3,4]。這樣,拉格朗日函數(shù)非唯一確定性有什么物理意義的問題,可以算是說清楚了[13]。不過,文獻(xiàn)[3,4]是以人們熟知的電磁規(guī)范問題為例來進(jìn)行的來證明的。更普通的情形,即哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程也是拉格朗日函數(shù)非唯一性相關(guān)的規(guī)范變換下不變,則由Goldstein 在其所著的著名經(jīng)典力學(xué)教材[5]中作為一道未給出解答的習(xí)題留下。由此,引發(fā)了相關(guān)文獻(xiàn)和網(wǎng)絡(luò)媒體上的許多爭(zhēng)論[6-10]。本文從闡明拉格朗日函數(shù)非唯一性等價(jià)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)廣義規(guī)范(以下仍簡(jiǎn)稱規(guī)范)選擇的任意性出發(fā),通過分析各種爭(zhēng)議的物理本質(zhì),證明無論拉格朗日方程還是哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程都具有這廣義規(guī)范變換不變性,并澄清相關(guān)爭(zhēng)論。

1 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程的廣義規(guī)范協(xié)變性

首先從大家所熟知的電磁規(guī)范說起[3,4]。我們知道,電磁場(chǎng)可直接測(cè)量的物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B,所以帶電粒子在電磁場(chǎng)中的牛頓運(yùn)動(dòng)方程為

其中,m為帶電粒子的質(zhì)量,Q為粒子所帶電量。在分析力學(xué)中,這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程也可由如下的拉格朗日函數(shù)

所滿足的拉格朗日方程

導(dǎo)出。這里,A和φ分別是通過如下關(guān)系

所定義的電磁矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)。眾所周知的是,與確定的電磁場(chǎng)強(qiáng)度(E,B)對(duì)應(yīng)的電磁勢(shì)(A,φ)并不是唯一確定的。也就是說,在電磁勢(shì)規(guī)范變換

下,電磁場(chǎng)強(qiáng)度(E,B)是不變的,所以帶電粒子的牛頓運(yùn)動(dòng)方程(1)是電磁規(guī)范變換式(4)下是不變的。這里χ,（xt）是電磁規(guī)范函數(shù),可對(duì)時(shí)間變量t求全微商?？梢?電磁勢(shì)具有非唯一性,選定A和φ就稱為選定一種電磁規(guī)范。

將式(4)代入方程(2)得到規(guī)范函數(shù)χ,（xt）相關(guān)的新拉氏函數(shù)

式中最后一項(xiàng)就是規(guī)范函數(shù)χ,（xt）的時(shí)間全微分項(xiàng)

容易證明,由這個(gè)新的拉格朗日函數(shù)所滿足的拉格朗日方程

也可導(dǎo)出牛頓運(yùn)動(dòng)方程(1)。因此,我們說,牛頓運(yùn)動(dòng)方程(1)是電磁規(guī)范變換式(4)不變的,而拉格朗日方程(7)則是電磁規(guī)范變換式(4)下原拉格朗日方程(3)的協(xié)變形式。所以,對(duì)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題而言,拉格朗日方程是電磁規(guī)范協(xié)變的。

推而廣之,下面我們討論廣義力學(xué)系統(tǒng)中的拉格朗日函數(shù)的非唯一確定性問題[5,11,13]。也就是說,相差任意一個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間函數(shù)的時(shí)間全微分項(xiàng)的兩個(gè)拉格朗日函數(shù)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程。為簡(jiǎn)便起見,我們只討論單自由度系統(tǒng)。這種非確定性具體表現(xiàn)在,變換

下,拉格朗日方程

不變,即L和L′對(duì) 應(yīng)于同一個(gè)拉格朗日方程。式(8)中,F(q,t)為廣義坐標(biāo)和時(shí)間任意函數(shù)的時(shí)間全微分,具有如下性質(zhì)

將式(8)與式(5),式(10)與式(6)類比,我們可以把式(8)定義為一種比電磁規(guī)范更廣義的規(guī)范變換,即廣義規(guī)范變換(以下仍簡(jiǎn)稱規(guī)范),F(q,t)稱為廣義規(guī)范函數(shù)。對(duì)應(yīng)的規(guī)范勢(shì)是:AF（q,t）=?F(q,t)/?q和φF（q,t）=-?F(q,t)/?t。對(duì)三維力學(xué)系統(tǒng),在笛卡爾坐標(biāo)系中可定義與規(guī)范變換式(8)相關(guān)的規(guī)范矢勢(shì)和規(guī)范標(biāo)勢(shì)

可見,拉格朗日函數(shù)的不確定性,實(shí)際上也意味著規(guī)范選擇的任意性。

關(guān)于規(guī)范變換下拉格朗日方程(9)的不變性,大多數(shù)教材(如[5,11])都是從最小作用量原理出發(fā)利用定積分的變分為零邊界條件來進(jìn)行證明的。實(shí)際上,可以直接通過檢驗(yàn)規(guī)范函數(shù)F(q,t)是否滿足方程

即拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程是規(guī)范協(xié)變的。

2 正則變換和規(guī)范變換的等價(jià)性

力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化,不但可以用廣義坐標(biāo)和廣義速度為自變量的拉格朗日態(tài)函數(shù)所滿足的拉格朗日方程描述,也可以用正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量為自變量的哈密頓量態(tài)函數(shù)所滿足的正則運(yùn)動(dòng)方程刻畫。兩個(gè)態(tài)函數(shù)之間通過勒讓德變換相聯(lián)系,因此拉格朗日函數(shù)的不確定必然導(dǎo)致哈密頓量的不確定性。相比于上節(jié)相對(duì)簡(jiǎn)單明了的拉格朗日方程規(guī)范協(xié)變性證明,哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程廣義協(xié)變性的證明則顯得不那么顯然[13]。大多數(shù)教材都沒有給出論述[5,11],從而導(dǎo)致各種爭(zhēng)議[6-10]。

這里,p=?L為 正 則 動(dòng) 量。因 此,對(duì)應(yīng)于規(guī)范變換式(8),哈密頓函數(shù)的規(guī)范變換形式為

對(duì)應(yīng)的正則動(dòng)量是:p′=?L′。正則運(yùn)動(dòng)方程的規(guī)范不變性意味著,哈密頓函數(shù)H(q,p)所對(duì)應(yīng)的正則運(yùn)動(dòng)方程

在規(guī)范變換式(8)下應(yīng)該協(xié)變?yōu)楣茴D函數(shù)H′(q,p′)所對(duì)應(yīng)的正則運(yùn)動(dòng)方程

并且與原正則運(yùn)動(dòng)方程(15)應(yīng)當(dāng)?shù)葍r(jià),即

此外,(q,p)和(q,p′)的泊松括號(hào)關(guān)系也應(yīng)該相等,即

利用式(10)不難證明,p,p′滿足關(guān)系:

這說明,拉格朗日函數(shù)的不確定性導(dǎo)致廣義動(dòng)量和哈密頓量也是不確定的。

正則運(yùn)動(dòng)方程的規(guī)范協(xié)變性,在大多數(shù)教材和實(shí)際教學(xué)中被認(rèn)為是理所當(dāng)然而無需具體證明。比如,在著名的經(jīng)典力學(xué)教材[5]中這個(gè)問題只是作為一道習(xí)題列出,但并未給出解答,從而引起了很多爭(zhēng)論。在著名物理教學(xué)期刊Eur.J.Phys.上曾經(jīng)發(fā)表過一篇題為“Gauge transformations are canonical transformations”論文[6],宣稱證明了這種規(guī)范變換就是正則變換。但遺憾的是,該文中所證明的規(guī)范不變“正則運(yùn)動(dòng)方程”

實(shí)際上并不是要證明的規(guī)范變換下正則運(yùn)動(dòng)方程的等價(jià)性關(guān)系式(17)～式(18)。注意,這里哈密頓函數(shù)是對(duì)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo),而不是標(biāo)準(zhǔn)正則運(yùn)動(dòng)方程中的對(duì)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量本身求偏導(dǎo),所以此文中的證明是錯(cuò)誤的。針對(duì)文獻(xiàn)[6]中的這一錯(cuò)誤,文獻(xiàn)[7]宣稱:“In this short paper we address the question whether the transformation that leaves the Euler-Lagrange equation of motion invariant is also a canonical transformation and show that it is not.”,從而得出規(guī)范變換不是正則變換的結(jié)論:“Gauge transformations are not cannoical transformations”,與著名教材[5]中的命題相悖。由此在網(wǎng)絡(luò)上引起了很多爭(zhēng)論[7-10],有待澄清。

等價(jià)性方程(17)的證明是非常簡(jiǎn)單的。因?yàn)橐?guī)范函數(shù)F(q,t)不是p,p′的顯函數(shù),所以利用方程(20)～方程(21)容易得到

這就證明了等價(jià)性關(guān)系式(17)。

但是,等價(jià)性關(guān)系(18)的證明就不那么直接了,是文獻(xiàn)和網(wǎng)絡(luò)上爭(zhēng)論的焦點(diǎn)所在。在排除文獻(xiàn)[6]錯(cuò)誤證明的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[7]簡(jiǎn)單地利用方程式(21)推導(dǎo)得到

它與直接由方程(20)所得到的結(jié)果

顯然是不相容的。文獻(xiàn)[7]因此得出了“規(guī)范變換不是正則變換”的結(jié)論,與文獻(xiàn)[5]的命題相悖。證明文獻(xiàn)[5]命題的一個(gè)簡(jiǎn)單方法[8]是,假定p′不是q的顯函數(shù),從而利用勒讓德變換及規(guī)范變換式(8)可得

代入上式便可得到方程(18),從而證明了文獻(xiàn)[5]中的命題。值得指出的是,這一證明方法所假定的p′不是q顯函數(shù),從而滿足?p′/?q=0的條件,當(dāng)且僅當(dāng)規(guī)范函數(shù)F(q,t) 是q的線性函數(shù)時(shí)才成立[13]。一般地,由式(20)可得

考慮這一性質(zhì),文獻(xiàn)[9,10,13]雖然給出了等價(jià)性關(guān)系式(18)的證明,但稍顯繁瑣不夠清晰。下面我們給出其簡(jiǎn)潔證明。首先,利用偏微分運(yùn)算的鏈?zhǔn)椒▌t和規(guī)范變換關(guān)系式(21),我們有

其次,利用上面已經(jīng)證明過的等價(jià)性關(guān)系式(17)及p′與q的關(guān)系式(20),容易得到

最后利用全微分公式

就可以得到期望證明的方程(24)以及等價(jià)性關(guān)系式(18)。至此,我們完成了規(guī)范變換下的哈密頓正則方程的協(xié)變性證明。回過頭去看文獻(xiàn)[7]的錯(cuò)誤所在,是由于方程(23)中忽視了新規(guī)范下(這時(shí)p′與q是一對(duì)共軛變量)p通過式(20)已經(jīng)變成是q的函數(shù)了,所以由方程(10)、方程(20)應(yīng)將方程(23)修改為

這正是方程(24)。

當(dāng)然,這一規(guī)范協(xié)變性意味著規(guī)范變換下泊松括號(hào)也是不變性。確實(shí),按照任意正則變量函數(shù)f(q,p),g(q,p)的泊松括號(hào)定義

這就證明了泊松括號(hào)運(yùn)算的規(guī)范協(xié)變性,它是以上所證明等價(jià)性的一種必然推論[12,13]。注意,這里并不要求=0 (即規(guī)范函數(shù)F(q,t) 并不需要僅是q的線性函數(shù))[13]。這說明,如果q,p是一對(duì)對(duì)應(yīng)哈密頓函數(shù)H(q,p) 的共軛正則變量,那么q,p′則是一對(duì)對(duì)應(yīng)于哈密頓函數(shù)是H′(q,p′)的共軛正則變量。

綜上所述,拉格朗日函數(shù)非唯一性確實(shí)可以看作是一種規(guī)范不確定性,在這種規(guī)范變換下,拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程、哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程和泊松括號(hào)等都是協(xié)變的。因此,與拉格朗日函數(shù)非唯一確定性相關(guān)的規(guī)范變換就是一種正則變換。

3 結(jié)語

本文系統(tǒng)討論了經(jīng)典力學(xué)體系中力學(xué)系統(tǒng)普遍存在的拉格朗日函數(shù)不確定性問題的物理意義。結(jié)果表明,這種不確定性實(shí)際上可歸結(jié)于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)描述的規(guī)范不確定性,它可看作是通常電磁規(guī)范的一種自然推廣。與這種不確定性對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程(無論是拉格朗日方程還是哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程)不變性可以歸結(jié)其形式在相應(yīng)規(guī)范變換下的協(xié)變性。因此,與拉格朗日函數(shù)唯一性所對(duì)應(yīng)的規(guī)范協(xié)變性確實(shí)可以看作是一種正則變換,由此澄清了文獻(xiàn)和網(wǎng)絡(luò)上這一問題的一些爭(zhēng)議。

當(dāng)然,需要說明的是,物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不僅僅取決于其運(yùn)動(dòng)方程,還與其所蘊(yùn)含的對(duì)稱性和熱力學(xué)特性等因素有關(guān)。所以,對(duì)一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)只是做一些數(shù)學(xué)形式上的變換并不一定能完全揭示系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。比如,如果我們?cè)谝粋€(gè)拉格朗日函數(shù)中添加一個(gè)拓?fù)漤?xiàng),就會(huì)破壞系統(tǒng)對(duì)性。盡管這個(gè)拓?fù)漤?xiàng)并不改變運(yùn)動(dòng)方程,但是它的存在意味著理論上它描述了不同于物理系統(tǒng)。這些問題超出了本文議題,在此不再深入討論。