二維曲面理論引入數(shù)學(xué)物理方法的探討

陳起輝 黃飛杰 傅永平 祝鳳榮

(1 西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 610031;2昆明學(xué)院物理系,云南 昆明 650214;3滇西科技師范學(xué)院物理系,云南 臨滄 677000)

縱觀物理學(xué)的發(fā)展史,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)物理學(xué)的發(fā)展常常以相應(yīng)的數(shù)學(xué)的發(fā)展為先導(dǎo),而在這之中幾何學(xué)無(wú)疑對(duì)物理理論的建立起到至關(guān)重要的作用。例如牛頓力學(xué)是建立在歐幾里得(Euclid)幾何所描述的平直時(shí)空之中,而廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是描述彎曲時(shí)空的黎曼(Riemann)幾何。然而在實(shí)際的教學(xué)中,物理本科生在從狹義相對(duì)論過(guò)渡到廣義相對(duì)的學(xué)習(xí)過(guò)程通常會(huì)遇到非常大的障礙,其主要原因是對(duì)黎曼幾何知識(shí)的缺乏。盡管在有些廣義相對(duì)論教材中會(huì)補(bǔ)充相應(yīng)的黎曼幾何的初步數(shù)學(xué)知識(shí)[1],但是對(duì)于沒(méi)有任何內(nèi)蘊(yùn)幾何知識(shí)背景的學(xué)生而言,一開(kāi)始就學(xué)習(xí)高維空間(至少四維時(shí)空)中的幾何知識(shí),未免過(guò)于抽象,學(xué)生往往并不能對(duì)這些抽象的代數(shù)運(yùn)算有任何直覺(jué)上的把握。幸運(yùn)的是,從黎曼幾何發(fā)展的歷史看[2],它是將高斯的二維曲面理論向高維空間的拓展。因?yàn)槎S曲面可以嵌入到我們熟悉的三維空間中,對(duì)其我們有非常直觀的印象,并且本科生在高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理中,已經(jīng)接觸了部分曲線、曲面積分、平面曲線曲率,矢量積分的知識(shí),所以基于這些知識(shí),我們可以建立相當(dāng)直觀的二維曲面上的內(nèi)蘊(yùn)幾何知識(shí)[3]。這無(wú)疑將為學(xué)生學(xué)習(xí)更高階的微分幾何知識(shí)提供必要的基礎(chǔ)。當(dāng)今前沿物理學(xué)中對(duì)規(guī)范場(chǎng),拓?fù)鋱?chǎng)論,陳拓?fù)浣^緣體,拓?fù)涑瑢?dǎo)體等的廣泛研究,急需理論物理的學(xué)生具有扎實(shí)的微分幾何知識(shí)。

數(shù)學(xué)物理方法作為為本科生的后續(xù)理論物理課程提供相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的一門(mén)課,可以在課程設(shè)置中包括相應(yīng)的微分幾何知識(shí)。這對(duì)于物理專業(yè)的本科生是非常必要。然而從目前所存在數(shù)學(xué)物理方法的教材來(lái)看,幾乎都沒(méi)有涉及曲面上微分幾何的知識(shí)。其主要原因在于:①微分幾何知識(shí)體系極其龐大且抽象,不可能在數(shù)學(xué)物理方法的有限章節(jié)中涉及這些知識(shí)的方方面面;②幾何知識(shí)相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)物理方法內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立,難以與原有知識(shí)體系有機(jī)的融合;③就目前數(shù)學(xué)物理方法所包含的內(nèi)容要在規(guī)定的學(xué)時(shí)內(nèi)講完已經(jīng)存在一些困難,更不用說(shuō)再增加新的內(nèi)容。針對(duì)上面的3個(gè)問(wèn)題,所以我們?cè)诒疚闹刑接懭绾螌⒍S曲面理論引入到數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)中,并在此基礎(chǔ)上做相應(yīng)的延伸。

對(duì)于上面的第一個(gè)問(wèn)題,我們旨在為本科生進(jìn)一步學(xué)習(xí)抽象的微分幾何知識(shí)提供直觀的基礎(chǔ),所以只介紹曲面理論中第一,二基本形式以及線元、面元、曲率、平行移動(dòng)等概念。借助將二維曲面嵌入到三維空間的參數(shù)方程,學(xué)生比較容易建立起這些概念,并可把這些概念推廣到高維的黎曼幾何。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題,我們基于曲面理論,討論曲面上的梯度、散度及旋度的形式,這部分內(nèi)容可以運(yùn)用于數(shù)理方程的建立及正交曲線坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程求解,從而與數(shù)理方程部分的內(nèi)容有機(jī)融合。對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題的解決,視具體情況,對(duì)于某些專業(yè),數(shù)學(xué)物理方法有足夠的課時(shí),所以包括這部分內(nèi)容不存在問(wèn)題。而對(duì)于要求相對(duì)較低的專業(yè),這部分內(nèi)容可以作為帶星號(hào)的內(nèi)容,為選講或者留作學(xué)生自學(xué)拓展內(nèi)容。另一方面,目前的線上線下混合教學(xué)模式,因?yàn)榫€上錄播視頻可以節(jié)約大量教學(xué)時(shí)間,并且便于學(xué)生反復(fù)觀看?？梢詫⑦@部分內(nèi)容考慮作為線上課程,提供給學(xué)生自學(xué)。

下面我們?cè)诩夹g(shù)層面討論如何在數(shù)學(xué)物理方法中引入曲面理論,以及給出其在皂膜上的流體力學(xué)上的應(yīng)用。最后,也對(duì)如何推廣到高維黎曼幾何并應(yīng)用于廣義相對(duì)論做一個(gè)簡(jiǎn)要的介紹。

1 三維空間中的曲面方程

圖1 二維平面區(qū)域映射到三維曲面

2 曲面上的度規(guī)——第一基本形式

利用dr可以得到曲面上線元的長(zhǎng)度表達(dá)式,因?yàn)閐r=rudu+rvdv,所以有

其中E=ru·ru,F=ru·rv,G=rv·rv,這便是高斯引入的曲面第一基本形式。通常也記為ds2=gijdxidxj,i,j=1,2,該式運(yùn)用了愛(ài)因斯坦求和約定,重復(fù)指標(biāo)意味求和,并且我們定義了x1=u,x2=v,在后面的討論中我們將在不同的情形中混合使用這兩種表示方法。定義稱為度規(guī)張量矩陣,因?yàn)殚L(zhǎng)度的平方必須大于零,所以度規(guī)張量矩陣必須是正定的。然后曲面上的面元與兩條曲線的夾角(定義為曲線交點(diǎn)處切線的夾角,如圖2所示)的余弦,用度規(guī)張量分別表示成為,

如圖2所示,這兩條曲線的參數(shù)方程是以線元為參數(shù),記為:(u(s),v(s)),(u′(s′),v′(s′))

圖2 曲面上相交曲線間夾角

可以證明以上的線元、面積元、曲線的夾角在坐標(biāo)變換下,形式是不變的。有了這些量,我們便可以像在平面幾何上一樣,在曲面上利用度規(guī)張量通過(guò)積分研究長(zhǎng)度、面積以及角度之間的關(guān)系。對(duì)曲面的描述還需另外一個(gè)重要參數(shù)——曲率,下面我們就來(lái)介紹它。

3 曲面的曲率——第二基本形式

同樣,利用位置矢量r可以引進(jìn)曲面的曲率以及測(cè)地線概念。如圖3所示,設(shè)曲面在r(u0,v0)點(diǎn)的切平面為Σ。我們考慮在(u,v)偏離(u0,v0)時(shí),r(u,v)偏離切平面的情況。因此我們計(jì)算

上式右端第一項(xiàng)是線性項(xiàng),位于切平面內(nèi);在法線方向的偏離是在第二項(xiàng)中的二階量,所以定義r在法線方向的偏離為

稱為曲面第二基本形式。可以證明該表達(dá)式在坐標(biāo)變換下也是不變的,其中系數(shù)的矩陣形式為。位置矢量的二階導(dǎo)數(shù)rij在切平面中的分量,定義了另一個(gè)重要的量,克里斯托弗符號(hào),它表示的是rij在切平面中的分量在rk方向上分量的展開(kāi)系數(shù)。值得指出的是,如果我們引入曲面第一基本形式系數(shù)矩陣gij的逆矩陣為gij,即,則克里斯托弗符號(hào)完全由曲面第一基本形式給出為

圖3 曲面對(duì)切平面的法向偏離量δ

圖4 法截面與法截線

若用弧長(zhǎng)s為參量的參數(shù)方程為r(u(s),v(s)),則根據(jù)定義曲線在切點(diǎn)處的曲率為

以上表達(dá)式只需要運(yùn)用微分鏈?zhǔn)揭?guī)則求導(dǎo)運(yùn)算即可得到,所以該曲率完全決定于第二基本形式。現(xiàn)在來(lái)計(jì)算κn對(duì)主截面方位的依賴關(guān)系。如圖5所示,不失一般性,可以假設(shè)在切點(diǎn)處ru⊥rv,因此F=0。設(shè)切點(diǎn)處曲線～C的切線t與ru的夾角為θ,即dr與ru的夾角。利用dr=rudu+rvdv,可以推出

為a1,a2。設(shè)dr與a1夾角為φ,則可以得到κn（φ）=κ1cos2φ+κ2sin2φ,利用κ1,κ2可以定義兩個(gè)新的量

圖5 at、a1和a2分別表示法截線、主曲率(κ1,κ2)在切平面中所對(duì)應(yīng)的方向

從法曲率κn(φ)表達(dá)式可以看出曲線在切點(diǎn)處的曲率完全由κ1,κ2及曲線切線與a1的夾角φ所決定。如果忽略人為選擇φ的影響,我們可以說(shuō)曲面在切點(diǎn)處的彎曲性質(zhì)由κ1,κ2完全決定。

人們運(yùn)用高斯曲率來(lái)刻畫(huà)曲面的彎曲特征,①當(dāng)κ1,κ2同號(hào)則K大于零,則沿任意方向的法曲率κn(φ)與κ1,κ2同號(hào),這時(shí)法截線朝著一個(gè)方向彎曲,對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)叫做杯點(diǎn)或者橢圓點(diǎn),如圖6(a)所示。②如果κ1,κ2中有一個(gè)為零,則對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)叫做拋物點(diǎn),如圖6(b)所示。③當(dāng)κ1,κ2異號(hào)則K小于零,對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)叫做鞍點(diǎn)或者雙曲點(diǎn),如圖6(c)所示。

圖6 三維空間中的彎曲程度

歷史上,高斯作出了一個(gè)重要觀察:曲面的高斯曲率完全由曲面上的度規(guī)給出(即第一基本形式)。這初看起來(lái)似乎難以想象,因?yàn)楦咚骨史从车氖乔嬖谌S空間中的彎曲程度。事實(shí)上如果我們仔細(xì)考查就會(huì)發(fā)現(xiàn)并不完全是這樣,高斯曲率刻畫(huà)的只是曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)。從式(6)我們知道高斯曲率是由兩個(gè)本征曲率κ1,κ2的乘積給出,所以高斯曲率為零,并不能得出曲面在三維空間是沒(méi)有彎曲的,例如圓柱面的高斯曲率為零,但是在三維空間它在一個(gè)方向上有彎曲(參考圖6(b))。同樣可以證明,對(duì)于圓柱面的平均曲率不為零,平均曲率不是曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)。具體說(shuō)來(lái),如果在曲面上選擇的是正交坐標(biāo)網(wǎng)F=0,則高斯曲率可以由第一基本形式表示成下式,

高斯得意的稱這個(gè)定理為絕妙的定理(Theorema Egregium)。

4 測(cè)地線

考慮在曲面上的一條曲線,其以弧長(zhǎng)為參數(shù)的方程為γ(s)=r(u(s),v(s)),求二次導(dǎo)得到

利用式(3)定義的第二基本形式以及克里斯托弗符號(hào),式(7)可以進(jìn)一步寫(xiě)成

很容易看出,第一項(xiàng)表示曲線方程二階導(dǎo)數(shù)的切向分量,記為:,其數(shù)值大小給出測(cè)地曲率κg,它刻畫(huà)了曲線在曲面上自身的彎曲程度。第二項(xiàng)是法向分量,記為,等于γ″·,它刻畫(huà)的是曲線由于曲面的彎曲而產(chǎn)生的彎曲。這兩個(gè)曲率的不同,可以通過(guò)圖7清楚地看出。

圖7 左圖(右圖)法曲率不為零(為零),測(cè)地線曲率為零(不為零)

我們進(jìn)一步來(lái)討論測(cè)地線曲率。因?yàn)榍€是以弧長(zhǎng)為參數(shù),所以γ′·γ′=1,對(duì)其兩邊同時(shí)微分可得γ″·γ′=0,即·γ′=0,又因?yàn)椤う谩?0,所以·γ′=0。這說(shuō)明同時(shí)與和相互垂直(如圖8 所示),因此有如果對(duì)于一條曲線,它每一點(diǎn)處的測(cè)地曲率都為零κg=0,這樣的曲線叫做測(cè)地線。根據(jù)式(8),可以得到測(cè)地線所滿足的微分方程為

圖8 曲線γ(s)的一階、二階導(dǎo)數(shù)在切平面與法線上的投影

這是兩個(gè)二階的微分方程,通過(guò)求解方程,即可求出曲面上任意兩點(diǎn)間的測(cè)地線。例如在平面上的直角坐標(biāo)系中,因?yàn)?0,所以很容易求出其測(cè)地線為直線。

測(cè)地線的另一個(gè)等價(jià)定義是曲面上兩點(diǎn)間的短程線,即在適當(dāng)小的范圍內(nèi)聯(lián)結(jié)任意兩點(diǎn)間的曲線中,測(cè)地線是最短的?？梢岳们娴牡谝换拘问街械木€元公式通過(guò)變分來(lái)證明,所以測(cè)地線可以理解為在曲面上的直線[4]。

5 曲面上矢量的平行移動(dòng)

在高維的彎曲空間中矢量的平移是一個(gè)非常重要同時(shí)又非常抽象的概念。然而這個(gè)概念在二維曲面上,我們可以得到一些直觀上的把握。首先,曲面上的矢量指的是定義在切平面中的矢量。其次,從一點(diǎn)到另外一點(diǎn)的平行移動(dòng)不是通常三維平直空間中的平移,因?yàn)檫@樣平移后的矢量通常不在曲面的切平面內(nèi),因此需要重新建立平行移動(dòng)的概念。

如圖9所示,考慮曲面上的沿著曲線C上的矢量場(chǎng),它由參數(shù)方程a(t)=a1(t)r1(t)+a2(t)r2(t)給出。假設(shè)我們知道它在P點(diǎn)的矢量為a,在它鄰近一點(diǎn)P′處的矢量為a′=a+da,若將其按照通常意義下的空間平移移動(dòng)到P點(diǎn),則a′一般不在P點(diǎn)的切平面內(nèi)。如圖9所示,將其分解為沿著切平面的部分和垂直于切平面的部分。垂直切平面的部分可以表示成,因?yàn)閍是在切平面內(nèi),所以·a=0,所以沿著法線的分量為。從a+da中減去垂直切平面的分量,得到其在切平面的分量,記為(a+da)t,即(a+da)t=a+da-。然后我們把在P點(diǎn)(a+da)t與a的差叫做矢量場(chǎng)a(t)從P點(diǎn)沿曲線C移動(dòng)到點(diǎn)P′的絕對(duì)微分(也叫協(xié)變微分),用Da來(lái)表示

圖9 曲面上矢量沿一曲線的平行移動(dòng)示意圖

可以看出Da仍然是P點(diǎn)處切平面中的矢量。

當(dāng)Da=0時(shí),表示矢量a從點(diǎn)P沿C的方向移動(dòng)到點(diǎn)P′時(shí),微分da沿法線的方向,或者說(shuō),把矢量a+da投影到點(diǎn)P的切平面時(shí),我們得到矢量a,這時(shí)稱矢量a+da是矢量a從點(diǎn)P沿C方向經(jīng)過(guò)平行移動(dòng)到P′點(diǎn)。這樣定義的平行移動(dòng),也叫做列維-奇維塔(Levi-Civita)平行移動(dòng),它依賴于連接P,P′的曲線。如果所考慮的曲面是平面,列維-奇維塔平行移動(dòng)將回到我們所熟悉的平行移動(dòng)。

利用定義式(10)也很容易推導(dǎo)出絕對(duì)微分的解析式,根據(jù)a(t)的表達(dá)式有

如果考慮a沿著某一已知曲線xi=xi(t)作有限的平移,可以得到a分量所滿足的微分方程為。這是一個(gè)關(guān)于ai的線性方程組,由微分方程的理論知道,方程的解是存在且唯一的,因此矢量沿已知曲面上一條曲線做平行移動(dòng)總是可以唯一的實(shí)現(xiàn)。

6 二維曲面理論的應(yīng)用

梯度、散度、旋度是刻畫(huà)矢量場(chǎng)性質(zhì)的三個(gè)重要物理量。人們也很容易從它們的定義看出物理意義,在大多的教材中給出了在三維直角坐標(biāo)系中如何通過(guò)定義來(lái)得到它們的微分表達(dá)式[5]。然而如何根據(jù)定義推導(dǎo)在曲線坐標(biāo)系乃至彎曲空間中的表達(dá)式,據(jù)我們所知,還沒(méi)有看到這樣的推導(dǎo)。在下面我們將推導(dǎo)這些算符在曲面上的表達(dá)式,這些表達(dá)式能夠很自然的推廣到高維。最后再將討論如何將這些理論運(yùn)用到肥皂膜上的流體力學(xué)。

7 二維曲面上梯度、散度、旋度公式

梯度:在三維正交坐標(biāo)系中,我們知道標(biāo)量函數(shù)f(x,y,z)沿著以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線C:{x(s),y(s),z(s)}的方向?qū)?shù)可以表示成

考慮到對(duì)于標(biāo)量函數(shù)的協(xié)變微分與偏微分是等價(jià)的[4],上式也可以表達(dá)成

其中Di≡gijDj。(16)式是梯度算符適用所有維度的一般表達(dá)式。

散度:回憶電磁學(xué)及流體力學(xué)中的知識(shí),三維空間中散度的定義為[6],即它等于在矢量場(chǎng)f(x,y,z)中穿出某一無(wú)限小體積元表面的通量與該體積元的比值。如果該比值不等于零,則說(shuō)明該體積元所在點(diǎn)存在“源”(對(duì)于電場(chǎng),源就是產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷;對(duì)于流體,源就是流體產(chǎn)生或消失的地方)。

對(duì)于二維曲面,考慮定義在曲面上的某一足夠光滑的矢量場(chǎng),A(u,v)=Aueu+Avev。類似于三維空間,曲面上的散度定義為

即它等于在矢量場(chǎng)A(u,v)中穿過(guò)某一無(wú)限小曲面邊界的“通量”與該面積元的比值。注意dl⊥表示垂直邊界且指向面積外部的矢量線元。從該定義同樣可以清楚的看出二維曲面上散度的物理意義。

現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)?S·A的具體表達(dá)式。為此,如圖10所示在曲面上作一個(gè)由坐標(biāo)線圍成的面積元(可看作四邊形),所以穿過(guò)四邊形微元邊界的通量可以分別在四個(gè)邊上給出為

圖10 由坐標(biāo)線所圍成的無(wú)窮小面元ABCD(陰影區(qū)域)

根據(jù)前面我們對(duì)各量的定義,結(jié)合AB與CD上的通量得到

結(jié)合BC與AD上的通量得到

結(jié)合式(18)與式(19)并利用面元的定義得到穿個(gè)整個(gè)邊界的通量為

對(duì)比散度的定義式(17),得到在二維曲面上矢量場(chǎng)的散度為

結(jié)合我們的討論并運(yùn)用和三維情況類似的論證方法[5],可以得到在曲面上的高斯公式為

同樣這個(gè)式子對(duì)于高維情況也是成立的,并且可以證明該表達(dá)式用協(xié)變導(dǎo)數(shù)表達(dá)出來(lái)為?S·A=DiAi,可以參考文獻(xiàn)[4]。值得注意的是此表達(dá)式和三維平直空間的情況完全類似,只需把協(xié)變導(dǎo)數(shù)變成偏導(dǎo)數(shù)即可。

旋度:與三維情況類比,曲面上的旋度定義為,,dl‖是沿著邊界L切線方向的矢量線元。矢量場(chǎng)A(u,v)在某一點(diǎn)沿著垂直該點(diǎn)切平面方向的旋度為,沿著圍繞該點(diǎn)的無(wú)窮小邊界矢量場(chǎng)的環(huán)量與該邊界所包圍的面積的比值。旋度在有些教材上也被形象地叫做渦度,因?yàn)閺纳厦娴亩x式容易看出,如果流體中存在旋渦,則圍繞旋渦中心的旋量不為零,即在旋渦中心處旋度不為零。所以旋度是刻畫(huà)流體中存在旋渦的強(qiáng)弱的物理量。

與散度的推導(dǎo)類似,如圖10所示同樣選擇一個(gè)由坐標(biāo)線圍成的無(wú)窮小面積元,分別計(jì)算在四邊形每個(gè)一個(gè)邊上對(duì)環(huán)量的貢獻(xiàn)

CD上的旋量:-A(u,v+dv)·eu(u,v+dv)du

AB上的旋量:A(u,v)·eudu

BC上的旋量:A(u+du,v)·ev(u+du,v)dv

AD上的旋量:-A(u,v)·ev(u,v)dv

后一個(gè)等式利用了聯(lián)絡(luò)在作差后會(huì)消失的性質(zhì),所以可用協(xié)變導(dǎo)數(shù)代替偏導(dǎo)數(shù)。同樣,對(duì)應(yīng)的也有曲面上的斯托克斯公式為

拉普拉斯方程:在三維直角坐標(biāo)系中,拉普拉斯方程定義為?·(?φ)=0。方程左邊表示對(duì)標(biāo)量函數(shù)φ取梯度得到矢量函數(shù)后再取其散度,對(duì)于二維曲面也是同樣的定義,代入在前面得到的梯度和散度表達(dá)式可以得到此時(shí)的拉普拉斯方程形式為

最后需要指明的是,利用上面得到的梯度、旋度、散度公式可以推出在正交曲線坐標(biāo)下的梯度、散度及旋度的表達(dá)式。以球坐標(biāo)為例,其度規(guī)張量為grr=1,gθθ=r2,gφφ=r2(sinφ)2,其他矩陣元為零。在代入公式時(shí)需要注意的有兩點(diǎn):首先,把前面得到的公式推廣到三維,即求和指標(biāo)換作i=1,2,3。其次,在通常的球坐標(biāo)系中矢量場(chǎng)展開(kāi)的基通常是單位矢量,應(yīng)該將其變換到自然標(biāo)架的基上,即,所以,代入公式的各分量分別是Ar,

8 二維曲面理論的應(yīng)用——肥皂膜上的流體力學(xué)

相信幾乎每個(gè)人的童年都玩過(guò)肥皂泡,然而小小的肥皂泡卻包含了豐富的物理。人們對(duì)肥皂膜的研究可以追溯到牛頓時(shí)代。在陽(yáng)光下,仔細(xì)觀察一個(gè)肥皂泡的表面,可以看到許多彩色條紋。這些彩色條紋是由于薄膜干涉產(chǎn)生的,屬于等厚干涉現(xiàn)象。如果多觀察一段時(shí)間,可以看到這些條紋在不停地變化著。這說(shuō)明肥皂膜的厚度時(shí)刻在發(fā)生變化,或者說(shuō)肥皂膜中的液體時(shí)時(shí)處于流動(dòng)的狀態(tài)。導(dǎo)致皂膜上液體流動(dòng)的外部驅(qū)動(dòng)力,一部分來(lái)自于重力,一部分來(lái)自于空氣流動(dòng)所造成的力。這些外部力與皂膜內(nèi)部的表面張力以及粘滯力一起決定了皂膜上的液體流動(dòng)。又因?yàn)樵砟し浅５谋?所以皂膜上的流體也可以看作二維曲面上的流體。對(duì)二維流體的研究已經(jīng)存在著非常多的文獻(xiàn)[7,8,9,10]。本文主要介紹如何將曲面理論與流體力學(xué)相結(jié)合,運(yùn)用到固定曲面上的二維流體(即,曲面不隨時(shí)間發(fā)生變化),得到控制流體演化的方程。

采用文獻(xiàn)[7]中謝錫麟等人的觀點(diǎn),在皂膜上一點(diǎn)處的液體面密度表示成為ρ=hρV,其中ρV表示液體的體密度(假設(shè)為常數(shù)),h表示皂膜的厚度。因此,如果知道皂膜的面密度ρ(u,v,t),便能從理論上預(yù)言其上的條紋分布。假設(shè)在皂膜上的速度分布為V(u,v,t),根據(jù)質(zhì)量守恒可以得到連續(xù)性方程為

其中S為皂膜上任意選擇的一個(gè)面積,L是S的邊界。因此上式的物理意義是,S中單位時(shí)間內(nèi)面密度的增量,等于單位時(shí)間內(nèi)流入到S中的質(zhì)量。利用前面得到的在曲面上的高斯定理可以得到連續(xù)性方程的微分表達(dá)式為

然后,將牛頓第二定律運(yùn)用到皂膜上的某一個(gè)面積微元上,采用和前面曲面上梯度定義類似的討論,可得到微元的動(dòng)量改變?yōu)?/p>

在上面的矢量方程中只取了與曲面相切的分量,因?yàn)槠浯怪狈至恐惶峁┍３智娌蛔兊钠胶饬?不改變切速度的大小。另一點(diǎn)值得注意的是,在曲面上,高斯曲率結(jié)合曲面上的流速場(chǎng)一起產(chǎn)生等效的力,參與動(dòng)量的平衡。

從上面的討論可以看到描述固定曲面上流體狀態(tài)需要四個(gè)量,速度V的兩個(gè)分量,以及表面張力γ和流體面密度ρ兩個(gè)熱力學(xué)量。因此,完整的流體力學(xué)方程組應(yīng)該包括四個(gè)方程。方程(27-28)式提供了三個(gè)方程,分別是連續(xù)性方程與納維-斯托克斯方程。第四個(gè)方程是曲面保持不變的平衡方程[10]。

9 黎曼幾何及廣義相對(duì)論簡(jiǎn)介

黎曼幾何:受高斯的影響,黎曼進(jìn)一步思考對(duì)于物理空間究竟什么是最本質(zhì)的。黎曼認(rèn)為我們只能局部地了解周圍的空間。這一點(diǎn)不像前面討論二維曲面時(shí)的情形,在那里我們可以把它嵌入到三維空間中觀察它形狀的變化。我們卻很難想象在四維空間中嵌入三維曲面,來(lái)研究三維空間的彎曲,我們能夠確定的是在三維空間中兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離。因此黎曼在題為《幾何學(xué)基礎(chǔ)所依據(jù)的假設(shè)》中將高斯的曲面理論推廣到n維流形[13,14]。

假如流形上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)記為（x1,x2,…xn）,線元為,ds2=gij(x)dxidxj,正如前面所討論的,流形上的幾何量(如線元,面元,夾角,高斯曲率)都可以由gij給出。在黎曼看來(lái),我們不需要第二基本形式,因?yàn)樗皇强臻g的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)。

黎曼的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)是將二維高斯曲率推廣到n維情況,他引入了黎曼曲率張量

我們很難從黎曼曲率張量的定義式(29)直接看出其幾何意義。粗略的來(lái)說(shuō),黎曼曲率張量刻畫(huà)的是將一矢量沿著曲面上某一無(wú)窮小閉合路徑平行移動(dòng),回到原來(lái)位置時(shí)它與原矢量的差別程度[15]。如果是在平坦的空間上,這個(gè)差別為零。二維曲面中的高斯曲率也可以用黎曼曲率張量和度規(guī)張量表示成,或者從這個(gè)式子也可看出高斯曲率完全由度規(guī)張量給出,是曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)。黎曼幾何可以看作是二維曲面理論的直接推廣,在二維曲面論中成立的公式,在n維流形的情況也同樣成立,只需把原來(lái)求和指標(biāo)由i=1,2變?yōu)閕=1,2…n即可。

廣義相對(duì):不同于牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀,在狹義相對(duì)論中,時(shí)間與空間統(tǒng)一為四維時(shí)空,不同慣性系的時(shí)空坐標(biāo)滿足洛倫茲變換。而洛倫茲變換的要求等價(jià)于閔可夫斯基(Minkowski)四維時(shí)空間隔ds2=(cdt)2-(dx)2-(dy)2-(dz)2=ημνdxηdxν在洛倫茲變換下是不變的。其中c為光速,μ,ν=0,1,2,3,(x0,x1,x2,x3)=(ct,x,y,z),ημ,ν=diag(1,-1,-1,-1)是4×4的對(duì)角矩陣,叫做閔可夫斯基度規(guī)。

與曲面理論作對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)對(duì)狹義相對(duì)論的研究事實(shí)上歸結(jié)為對(duì)四維閔可夫斯基空間幾何的研究。需要注意的是,和普通的四維歐幾里得空間不同,時(shí)空間隔可以小于零,所以度規(guī)張量矩陣不是正定的,因此四維閔可夫斯基空間也叫偽歐幾里得空間,它具有最大的對(duì)稱性。當(dāng)考慮引力時(shí),由愛(ài)因斯坦等效原理知,引力場(chǎng)要對(duì)時(shí)空屬性產(chǎn)生影響,四維時(shí)空將會(huì)產(chǎn)生彎曲,此時(shí)描述時(shí)空性質(zhì)的幾何將是黎曼幾何。

在廣義相對(duì)論中,時(shí)空間隔一般可以成為ds2=gμνdxμdxν,其中度規(guī)張量gμν是時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)。時(shí)空的幾何特性都蘊(yùn)涵在度規(guī)張量中,它是由時(shí)空中的物質(zhì)能量分布所決定。愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程便是告訴我們?nèi)绾瓮ㄟ^(guò)空間的物質(zhì)能量分布來(lái)確定時(shí)空的度規(guī)張量。

與曲面理論中完全類似,通過(guò)度規(guī)張量gμν可以構(gòu)造聯(lián)絡(luò),利用聯(lián)絡(luò)又可以得到黎曼曲率張量。它們具有與曲面理論中相同的形式,只是各指標(biāo)取值變成從0到3。愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程由下式給出

10 結(jié)語(yǔ)

我們介紹了二維曲面理論中的第一、二基本形式,曲率,測(cè)地線,平行移動(dòng)的概念,利用這些概念推導(dǎo)了曲面上的梯度、散度、旋度公式。這些公式很容易推廣到高維情況,可以應(yīng)用到數(shù)理方程的建立與求解中。我們也討論了如何將曲面理論應(yīng)用到曲面上二維流體,得到控制流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程和維納-斯托克斯公式。然后我們介紹了將曲面理論推廣到高維中的黎曼內(nèi)蘊(yùn)幾何,以及其在廣義相對(duì)論中的應(yīng)用。通過(guò)這些內(nèi)容的介紹,我們旨在探討如何在數(shù)學(xué)物理方法中引入曲面理論的知識(shí),為本科生打下學(xué)習(xí)更高階微分幾何知識(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然正如我們前面敘述的,微分幾何的知識(shí)體系非常的龐雜,作為數(shù)學(xué)物理方法的一部分內(nèi)容,不可能涉及所有方面。我們盡量選擇作為微分幾何入門(mén)中常遇到的困難概念來(lái)展開(kāi)討論,建立它們?cè)谇嫔系闹庇^圖像,從而為理解更加抽象的概念提供基礎(chǔ)。