運(yùn)動(dòng)電荷的電/磁場(chǎng)高斯定理的直接驗(yàn)證

周國(guó)全 祁 寧

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

電荷之間的庫(kù)侖力,是自然界中已知的兩種典型的平方反比有心力系統(tǒng)之一,這類有心力系統(tǒng),除了滿足一般有心力系統(tǒng)所具有的普遍性質(zhì),還滿足平方反比有心力系統(tǒng)所獨(dú)具的Runge-lenz(隆格-楞次)守恒矢量和高斯定理[1-5]。關(guān)于平方反比的有心力系統(tǒng)的Runge-lenz守恒矢量性質(zhì)及其應(yīng)用,文獻(xiàn)[6-8]作了詳盡介紹。靜電場(chǎng)的高斯定理,證明簡(jiǎn)單,應(yīng)用廣泛,深入人心[1-5]。通過(guò)引入在洛倫茲規(guī)范下的四維矢勢(shì)Aμ,μ=1,2,3,4和電磁場(chǎng)二階張量Fμν,(μ,ν=1,2,3,4),電磁場(chǎng)的相對(duì)論協(xié)變性理論得以完備建立,麥克斯韋方程組也得以改寫為相對(duì)論協(xié)變的張量形式,這已然保證高斯定理對(duì)任何慣性參考系均能成立[2]。也就是說(shuō)高斯定理的微分與積分形式,無(wú)論對(duì)于靜止電荷還是運(yùn)動(dòng)電荷,都已自然成立,原本無(wú)須額外的專門證明。然而在大學(xué)物理教學(xué)中,廣大師生對(duì)此定理與慣性參考系的無(wú)關(guān)性仍然缺乏直接的驗(yàn)證和直觀的體會(huì)。這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)有教材鮮有提及,更少?gòu)?qiáng)調(diào)[1-4]。為使學(xué)習(xí)和講授大學(xué)物理課程的廣大師生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)有完整而清晰的思路和掌握,本文分享一點(diǎn)作者的教學(xué)心得,針對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電/磁場(chǎng)的高斯定理的相對(duì)論協(xié)變性進(jìn)行直接驗(yàn)算。

1 電磁場(chǎng)的高斯定理的相對(duì)論協(xié)變形式

在洛倫茲規(guī)范下引入四維電磁矢勢(shì)Aμ=(A1,A2,A3,A4)=(A,iφ/c)=(Ax,Ay,Az,iφ/c),其中(Ax,Ay,Az)為電磁矢勢(shì)A;φ為電磁標(biāo)勢(shì);而電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感強(qiáng)度B與矢勢(shì)A、標(biāo)勢(shì)φ之間關(guān)系為:

它可以改寫為四維協(xié)變形式。定義電磁場(chǎng)二階張量

其中xμ=(x,y,z,ict)=(x1,x2,x3,x4)為四維空間坐標(biāo),電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感強(qiáng)度B的分量正是反對(duì)稱二階電磁場(chǎng)張量Fμν的六個(gè)獨(dú)立分量。麥?zhǔn)戏匠探M的四個(gè)方程可以改寫為協(xié)變形式

其中Jμ=(jx,jy,jz,icρ)是四維電流密度矢量。而電場(chǎng)高斯定理的微分形式

正是(4a)的第四個(gè)分量等式(μ=4分量);而磁場(chǎng)的高斯定理的微分形式

正是協(xié)變方程(5a)式當(dāng)μ,ν,λ分別取1、2、3時(shí)的分量等式(還有另外5個(gè)分量等式亦然)。

我們知道,在Minkowski四維空間中,只要把電磁學(xué)物理量寫為相應(yīng)的四維張量形式,電磁學(xué)規(guī)律方程就自然地表達(dá)為四維協(xié)變形式的方程。根據(jù)四維張量方程的協(xié)便理論,當(dāng)它從一個(gè)慣性系S變換到另一慣性系S′后,它將自然地保持?jǐn)?shù)學(xué)形式不變。因此式(4a)、(5a)在慣性系S′依然成立:于是在慣性系S′依然成立:張量方程(4b)的第四個(gè)分量等式(μ=4分量)就是S′系電場(chǎng)的高斯定理的微分形式?′E′=ρ′/ε0;張量方程(5b)當(dāng)μ,ν,λ分別取1、2、3時(shí)的分量等式就是磁場(chǎng)的高斯定理的微分形式?′B′=0。這就是電磁學(xué)規(guī)律的相對(duì)性協(xié)變規(guī)律。從而電磁場(chǎng)的高斯定理在任何慣性系都成立。再用散度定理可以證明式(6)、(7)對(duì)應(yīng)的積分形式的高斯定理在S′系也形式不變。然而這并非高斯定理的直接驗(yàn)算,讀者未能得到直觀的感受。

2 勻速運(yùn)動(dòng)電荷的電/磁場(chǎng)

我們首先借助于電磁場(chǎng)二階張量的相對(duì)論變換,從靜止點(diǎn)電荷的純電場(chǎng)出發(fā),求出勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電、磁場(chǎng)[2-3]。

一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷在慣性系S中以速率v沿X軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)。與帶電粒子相對(duì)靜止的本體參考系為S′,它沿S系X軸以速率v勻速運(yùn)動(dòng)。再設(shè)在t=t′=0時(shí),兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,則在S′系中r′(x′,y′,z′)處帶電粒子激發(fā)的電磁場(chǎng)為

表達(dá)式 (12) 等價(jià)于如下等式

至此我們求出了在S系中勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷的電磁場(chǎng)的表達(dá)式。注意以上諸式成立于同一世界點(diǎn)。在t=t′=0時(shí),兩個(gè)慣性參考系的空間坐標(biāo)之間的洛倫茲變換為x′=γx;y′=y;z′=z。

3 勻速運(yùn)動(dòng)電荷的電場(chǎng)的高斯定理的直接驗(yàn)證

然后下一步,我們對(duì)于包圍運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的一個(gè)任意封閉的高斯面σ,對(duì)此勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)、磁場(chǎng)分別作通量積分,直接驗(yàn)證勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電/磁場(chǎng)的高斯定理。由于

因此式(11)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E可以改寫為如下形式:

上式中θ是υ 與r的夾角。

圖1 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線

結(jié)果表明,如圖1所示,在S系中勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電磁場(chǎng),其電場(chǎng)線的分布,再也不具有靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線那樣的球?qū)ΨQ性分布特點(diǎn),而是只剩下以運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檩S的轉(zhuǎn)動(dòng)不變性。易于發(fā)現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)的分布與θ角有關(guān),在平行于v的θ=0 方向,場(chǎng)強(qiáng)E、B有極小值;在垂直于v的θ=π/2方向,場(chǎng)強(qiáng)E、B有極大值。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)速度υ 趨近于光速c時(shí),電、磁場(chǎng)的場(chǎng)線就會(huì)向垂直于υ 的平面靠攏和集中,此時(shí)電磁場(chǎng)就如同一個(gè)沿υ 方向運(yùn)動(dòng)的平面沖擊波。

通過(guò)直接積分,可以證明,在S系中,高斯定律依然成立。對(duì)于包圍運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的一個(gè)任意封閉的高斯面σ,以點(diǎn)電荷在t=0時(shí)刻的位置O點(diǎn)為極坐標(biāo)原點(diǎn),以電荷速度方向?yàn)闃O軸(Z 軸)方向,取定極坐標(biāo)系(r,θ,φ)。對(duì)于高斯面上處于r(r,θ,φ)處的高斯面元矢量dS=dSn,(其中n為面元矢量dS的法向單位矢量),電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)dS的元通量為

其中α=(r/r,n),是兩個(gè)單位矢量之間的夾角;dSr=dScosα是面元矢量dS在垂直于r方向的投影面元大小,在以r為半徑的球面上,面積元dSr=r2sinθdθdφ;因而有

注意以上元通量與r無(wú)關(guān)。對(duì)此封閉高斯面求電場(chǎng)強(qiáng)度的通量積分可得

注意其中的變量代換x=cosθ∈[-1,1],且用到如下積分公式

這就直接驗(yàn)證了勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的高斯定理的積分形式。再運(yùn)用微積分理論中的散度定理,極易將式(10)改寫為相應(yīng)的微分形式:

其中ρ(r)=qδ(r)是點(diǎn)電荷q在S系原點(diǎn)處的電荷體密度。至此我們直接驗(yàn)證了勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的高斯定理的積/微分形式仍然成立。

4 勻速運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)的高斯定理的直接驗(yàn)證

首先對(duì)于以運(yùn)動(dòng)電荷為球心的任意球形高斯面σ,將勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷在S系B的表達(dá)式 (13)代入其高斯通量積分式可得:

根據(jù)三矢量混合積的拉格朗日恒等式,可知

于是

由于點(diǎn)乘對(duì)左右矢量都具有線性性質(zhì),v為常矢量,因此可從積分號(hào)內(nèi)部提取出來(lái),于是

將式(24)代入式(23),即得運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)對(duì)于球形高斯面的高斯定理:

實(shí)際上對(duì)于包圍運(yùn)動(dòng)電荷的任意形狀高斯面Σ,同樣可證磁場(chǎng)的高斯定理成立。再運(yùn)用微積分理論中的散度定理,極易將式(25)改寫為相應(yīng)的微分形式:

至此,我們直接而成功地驗(yàn)證了勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的磁感應(yīng)強(qiáng)度的高斯定理仍然成立。

5 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)電磁場(chǎng)張量的相對(duì)論變換的方式,從靜止點(diǎn)電荷的電、磁場(chǎng)表達(dá)式出發(fā),求得勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷電/磁場(chǎng)的表達(dá)式,然后針對(duì)包圍運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的任意封閉高斯面(包括球形高斯面)情形,用直接積分的方式驗(yàn)證了勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的電/磁場(chǎng)的高斯定理的積分形式,進(jìn)而驗(yàn)證了其微分形式。作為麥克斯韋方程組的一部分,高斯定理成為電磁場(chǎng)與電磁波的理論基礎(chǔ),應(yīng)用廣泛,影響深遠(yuǎn)。直接驗(yàn)證勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的高斯定理的協(xié)變性,會(huì)使理工科大學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)理論的相對(duì)論協(xié)變性有深刻體會(huì),也使大中學(xué)普物教師對(duì)電磁場(chǎng)理論的邏輯脈絡(luò)了然于心,在教學(xué)中運(yùn)用自如。