基于廣義隨機有色Petri網(wǎng)的測試性建模方法

翟禹堯， 史賢俊， 韓露， 呂佳朋

(海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院， 山東 煙臺 264001)

0 引言

測試模型的優(yōu)劣決定了測試性設(shè)計水平的高低，當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的模型當(dāng)屬多信號模型，信息流模型緊隨其后[1-2]。信息流模型主要考慮故障與測試之間的關(guān)系，忽視系統(tǒng)功能，致使其描述能力有限，阻礙了提升的空間。多信號模型解決了上述模型的一些不足，簡化了故障模式，采用信號描述故障和測試之間關(guān)系有效降低了建模難度。陳春良等[3]建立了某坦克火控系統(tǒng)的多信號模型，并對其進行測試性分析，提高了火控系統(tǒng)的測試性水平。孔令寬等[4]采用多信號模型對衛(wèi)星電源進行了測試性建模與分析，提出了基于多信號模型的實時故障診斷技術(shù)。孫智等[5]采用分層多信號流圖對飛機空調(diào)系統(tǒng)進行了故障診斷，取得了不錯的效果。張曄等[6]對雷達機內(nèi)測試(BIT)的測試能力進行了評估，并建立了多信號模型。

多信號模型雖然解決了信息流模型的不足，但其仍有一些弊端。例如：系統(tǒng)故障與測試之間的關(guān)系僅用0和1描述，其內(nèi)在聯(lián)系不能完整地表達出來，并且面向機電、控制系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)不再適用；忽略大量有用信息，如漏檢和虛警的影響、延時性以及故障間的邏輯關(guān)系，導(dǎo)致模型不夠完備，所得測試性分析結(jié)果不夠全面準確。不少學(xué)者針對上述不足做了以下研究，楊鵬[7]、陳希祥等[8]對模型進行了改進研究，添加了一定的不確定性知識。陳希祥等[9]還提出基于本體的描述模型。徐星光等[10]將測試性結(jié)構(gòu)模型和測試性貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型相結(jié)合，融合了先驗知識和實際試驗結(jié)果，利用不確定信息提高了裝備測試性水平。

綜合看來，不少專家對當(dāng)前模型進行了一定改進及調(diào)整，使模型具備了表達不確定信息等功能，但這些方法沒有從根本上解決測試性建模問題，如測試時延、故障間的邏輯關(guān)系以及故障嚴酷度等信息。Petri網(wǎng)描述系統(tǒng)狀態(tài)的同時還表現(xiàn)其行為，由于自身特點使其在很多領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[11]。故障Petri網(wǎng)在可靠性、安全性方面應(yīng)用較多[12]，本文不做研究。隨機Petri網(wǎng)是Petri網(wǎng)的進一步擴展[13]，可以描述系統(tǒng)狀態(tài)及其動態(tài)變化。王瑤[14]對可靠性、安全性、維修性、測試性工作開展了深入研究，將系統(tǒng)正常狀態(tài)、故障狀態(tài)、功能失效狀態(tài)引入隨機Petri網(wǎng)中，起到了良好的效果。文獻[15]采用廣義隨機有色Petri網(wǎng)(CGSPN)建立系統(tǒng)層次測試性模型，對系統(tǒng)層次劃分進行了詳細闡述，添加了編碼方式和嚴酷度信息，增強了模型的可視化并豐富了模型的內(nèi)容，但是沒有考慮測試和故障之間的不確定性問題。

本文在文獻[15]基礎(chǔ)上對故障間的復(fù)雜性進行分析，完善測試性模型的構(gòu)建；利用專家評分的先驗知識與小樣本測試數(shù)據(jù)的后驗知識對模型中的不確定信息進行處理，引入三角模糊數(shù)算法獲取專家知識，計算關(guān)于故障檢測率的先驗條件概率分布以歷史測試數(shù)據(jù)作為后驗條件，由貝葉斯公式更新故障檢測率的概率分布，解決了數(shù)據(jù)容量小的問題。

1 基于CGSPN的測試性模型

1.1 Petri網(wǎng)基本理論

定義1滿足下列條件的4元組PN=(P,T;F,M0)構(gòu)成Petri網(wǎng)，其中：P表示庫所，T表示變遷，F(xiàn)為弧權(quán)函數(shù)，M0為初始標識。

1)N為基本網(wǎng)。

2)M為系統(tǒng)狀態(tài)標識，M:P→Z，Z為自然數(shù)。

3)變遷發(fā)生規(guī)則：

①變遷t∈T，若?P∈t*，M(P)≥1，則t可被觸發(fā)，記作M[t>，其中t*為變遷t的后置集，M(P)為庫所標識。

②M′為觸發(fā)后標識，則

記作M[t>M′. 其中p為某種故障模式的故障檢測率；*t為變遷t的前置集；標識M可以用1個非負整數(shù)的m維向量表示，向量元素滿足M(i)=M(Pi)，Pi為一個庫所，i=1,2,…,m.

可達性(見定義2)是Petri網(wǎng)建模過程中分析的重要方式。

定義2Petri網(wǎng)PN=(P,T；F,M0)，系統(tǒng)標識?M1,M2,…,Mi,…,Mk，使得?1≤i≤k，對于任意變遷?ti∈T:[ti>Mi+1，則稱變遷序列σ=t1,t2,…,ti,…,tk在M1下是使能的，Mk+1從M1是可達的，記作M1[σ>Mk+1標識。

廣義隨機Petri網(wǎng)(GSPN)由一個7元組構(gòu)成[15-16]，記為GSPN=(P,T;F,M0,I,O,λ)，其中：I和O為輸入矩陣、輸出矩陣；λ表示變遷速率或概率。

表1所示為GSPN元素的基本含義以及其符號表示方法。

1.2 故障模式在Petri網(wǎng)表達方式

1.2.1 故障模式編碼、嚴酷度等級劃分

在實際工作中，嚴酷度較高的故障一旦發(fā)生，會帶來嚴重后果，在模型中根據(jù)顏色可以清楚地看到每個庫所(故障模式)的嚴酷度，密切關(guān)注嚴酷度較高的故障并設(shè)置相應(yīng)的測試，會為后續(xù)的故障診斷提供方便，有效保護裝備系統(tǒng)。根據(jù)國家軍用標準GJB/Z 1391—2006 故障模式影響及危害性分析指南[17]，故障模式的嚴酷度分為：災(zāi)難級、嚴重級、輕度級和輕微級4類[18]，分別對應(yīng)紅色(R)、橙色(O)、黃色(Y)和藍色(B)。應(yīng)當(dāng)說明的是，除了上述4類故障模式外，本文還定義了一種功能失效狀態(tài)，對于具有n種功能模式的元件，其功能失效狀態(tài)亦有n種。不同于上述故障模式，功能失效狀態(tài)稱為失效級，用白色(W)表示。

表1 GSPN模型的圖形化表示Tab.1 Graphical representation of GSPN

本文定義的顏色屬性用于區(qū)別模型中各故障模式的嚴酷度，為后續(xù)測試優(yōu)化選擇的研究提供方案。值得注意的是該顏色屬性與傳統(tǒng)有色Petri網(wǎng)的概念不同[19]，模型結(jié)構(gòu)不會因為有色屬性的消失而改變。

對復(fù)雜系統(tǒng)建模，需要考慮某個故障可能存在多個故障模式，為了降低建模難度并提高系統(tǒng)測試性，本文采用以下編碼方案[15]：編碼方案：XXX-XXX-XXX-OO.x. 其中，XXX代表系統(tǒng)、現(xiàn)場可更換單元(LRU)和車間可更換單元(SRU)等，可以繼續(xù)劃分到元器件；OO.x中OO為不同嚴酷度的顏色，x∈n為元件的故障模式種類。

1.2.2 故障傳播分析

系統(tǒng)故障傳播具有橫向性、縱向性、復(fù)雜性、時間性以及邏輯復(fù)雜性等。故障會逐級傳遞，從底層元件傳遞至系統(tǒng)層[14]。對裝備進行分層處理就完成了故障傳播的橫向性、縱向性處理；考慮到導(dǎo)彈長期貯存、一次性使用的特點，其故障模式特點與飛機等常規(guī)武器裝備不同，時間性特點并不明顯?？紤]到篇幅，邏輯復(fù)雜性在本文暫不作研究，只對故障模式的復(fù)雜性展開論述。

一般來說，導(dǎo)彈故障模式存在相容和相斥兩種形式。相容模式在模型中表達如下：1個庫所表示一種故障模式，令牌流入某個庫所，則代表該故障發(fā)生。根據(jù)1.2.1節(jié)所述為庫所編號，并根據(jù)故障模式、影響和危害性分析(FMECA)中故障嚴酷度等級為庫所賦予顏色。此外庫所與故障模式共用1個編號，以確保庫所在模型中的唯一性。圖1(a)所示為相容模式的簡單實例，第2個庫所編號為001-001-001-O.1，表示系統(tǒng)的元件編號為001-001-001，其嚴酷度等級為嚴重級。

圖1 故障模式在Petri網(wǎng)中的表現(xiàn)形式Fig.1 Failure modes in Petri net

對于相斥模式，其表示方法可分為以下兩個步驟：

1)表達方式與相容模式相同，首先賦予庫所顏色屬性以及編碼方案。

2)與相容模式不同之處在于使用了禁止弧。假設(shè)系統(tǒng)存在故障模式A和B，若A與B相斥，則在系統(tǒng)中找出B庫所的前置變遷集合T，在A庫所與變遷ti(ti∈T)之間添加禁止弧，表示A發(fā)生后B禁止發(fā)生。若B發(fā)生后A禁止發(fā)生，則在庫所B以及A庫所的前置變遷間添加禁止弧即可。圖1(b)所示為3個故障模式相斥時的Petri網(wǎng)。

本文在模型中設(shè)置正常狀態(tài)庫所，并為延時變遷賦予相應(yīng)的隨機分布，目的是使CGSPN具有表達元件由正常到故障這一隨機過程。實際工作中，用綠色表示正常狀態(tài)。若某個元件具有K種故障模式，則需要在模型中設(shè)置K個正常狀態(tài)庫所，使得正常庫所與故障模式的庫所一一對應(yīng)。圖2所示為元件4種故障模式的簡單實例。從圖2中可以看出：變遷點火變化前，令牌存在于001-001-001.G.x(x=1,2,3,4)中呈現(xiàn)綠色，系統(tǒng)正常；滿足點火條件后，庫所001-001-001.R.1、001-001-001.O.1、001-001-001.Y.1、001-001-001.B.1存在令牌，系統(tǒng)出現(xiàn)故障。

圖2 變遷在CGSPN中的表達形式Fig.2 Expression of transition in CGSPN

1.3 構(gòu)建思路

在測試性模型中，某個測試點與測試項沒有明確對應(yīng)關(guān)系，本文對其不做研究。假設(shè)測試點與測試項一一對應(yīng)，故障檢測率、故障隔離率的計算與該假設(shè)無關(guān)。以該假設(shè)為前提，將測試項信息添加到CGSPN模型中：

1)測試項庫所的建立：為每個測試項建立1個庫所。

2)故障與測試之間的關(guān)系用有向流和瞬時變遷表示。定義測試庫所的顏色為黑色(B)，目的是與模型中的其他庫所區(qū)分。

其基本構(gòu)建思路如下：

1)建立庫所，元件對應(yīng)的庫所包括故障模式、功能失效和正常狀態(tài)3種狀態(tài)；子系統(tǒng)級別以上包括故障和正常2種狀態(tài)。

2)建立延時變遷，設(shè)置在正常庫所和故障庫所之間，完成系統(tǒng)中元件由正常狀態(tài)到故障發(fā)生的描述。

3)建立兩類瞬時變遷，第1類設(shè)置在故障庫所與故障庫所之間；第2類設(shè)置在故障庫所與測試庫所之間。

4)為起始庫所設(shè)置令牌。

1.4 基于CGSPN的測試性模型

CGSPN定義為一個9元組Σ=(P,T;F,K,M0,α,β,η,Fs)，其中：

1)P={PG,PS,PF,Pt}為庫所集合，PG、PS、PF分別對應(yīng)正常、故障和功能失效的庫所集合，Pt為測試庫所集合；

2)T={Td,Ti,Tf},Td為正常庫所到故障庫所間的延時變遷集合,Ti為故障庫所到故障庫所間的瞬時變遷集合，Tf為故障庫所到測試庫所間的瞬時變遷集合；

3)F為弧權(quán)函數(shù)；

4)K:P映射為{0,1}，是Σ中庫所容量函數(shù)；

5)M0與前文含義相同；

6)α為一個映射，表示顏色屬性，α:PG映射為{G},PS映射為{R,O,Y,B},PF映射為{W}，Pt映射為{B}；

7)β為一個映射，β:Td為延時變遷服從的分布類型及函數(shù)，表明Σ存在隨機性，如Weibull(α，β)、Exp(λ)等；

8)η為一個映射，η:Ti,Tf為瞬時變遷；

9)Fs為已觸發(fā)的變遷序列集合，系統(tǒng)未運行時Fs=?；Fs可以避免系統(tǒng)陷入循環(huán)，并記錄令牌的傳播路徑[19]，對于模型分析至關(guān)重要。

需要注意的是，本文主要針對測試性模型開展研究，在建模中只需要考慮故障和測試之間的關(guān)系，得到相關(guān)性矩陣即可，元件由正常向故障衍化的隨機過程不做考慮，故在仿真前將PG類庫所及后置延時變遷刪除。

1.5 可達性算法

故障- 測試相關(guān)性矩陣(DM)簡稱D矩陣，D的獲取是測試性設(shè)計至關(guān)重要的一步。根據(jù)定義2對故障傳播過程進行可達性分析，獲得D矩陣的算法，簡稱可達性算法，其基本原理如下：

首先將系統(tǒng)庫所的初始狀態(tài)記為0，然后根據(jù)仿真需求設(shè)置令牌于某個初始庫所中，滿足變遷條件后該令牌會進行流動，最后將其經(jīng)過的庫所做出相應(yīng)的標記如下：將令牌到達的故障庫所或測試庫所標記為1，并將該庫所作為起始庫所，讓令牌繼續(xù)傳播。其具體步驟在文獻[15]種給出具體描述，本文不做贅述。

2 不確定信息處理方法

在實際工程中，測試與故障存在不確定性問題，為了描述故障與測試之間不確定性問題，用三角模糊函數(shù)確定先驗專家知識，與實驗獲得的測試數(shù)據(jù)作相結(jié)合，完成故障- 測試不確定相關(guān)性矩陣的確定。

2.1 貝塔分布

貝塔分布是[0,1]區(qū)間上的連續(xù)概率分布，其與二項分布共軛先驗，利用該性質(zhì)可以將專家的先驗信息和實際的測試數(shù)據(jù)相結(jié)合。

通常認為故障檢測率的計算模型服從二項分布，則故障檢測率p的先驗分布可用Beta(a,b)表示，p的概率密度函數(shù)記為f(p;a,b)。Beta(a,b)為標準化函數(shù)，其概率密度積分等于1，a、b為β分布的組成參數(shù)。

p(t|f)為故障f由測試t檢測的先驗概率，則有

p(t|f)=f(p;a,b)，

(1)

Beta(a,b)分布表達式為

(2)

其期望和方差為

(3)

(4)

根據(jù)(3)式和(4)式可得

(5)

2.2 基于三角模糊數(shù)的專家知識處理方法

在裝備測試性設(shè)計初期，相關(guān)測試性信息不夠充分，一些信息需要依賴專家知識進行確定。本文采用三角模糊函數(shù)對專家知識進行處理，以確保專家知識的權(quán)威性和可靠性。l位專家對p的評分結(jié)果為1(s1,q1,u1;θ1),2(s2,q2,u2;θ2),…，j(sj,qj,uj;θj)，…,l(sl,ql,ul;θl)。其中，sj(j=1，2，…，l)為p的下限，qj為p的可能最大值，uj為p的上限，θj為第j位專家的評分權(quán)重。令ωj為歸一化處理后的權(quán)重，

(6)

專家的平均評分模糊數(shù)為

(7)

式中：s為p的下限期望；q為p的可能最大值的期望；u為p的上限期望。

基于上述處理后，p的先驗期望和方差為

(8)

(9)

式中：n=1,2，….

可通過(8)式、(9)式和(10)式計算β分布的組成參數(shù)a、b：

(10)

式中：V(p)為分布方差。

最后根據(jù)先驗信息得到Dpt|f，

(11)

式中：元素ptl|fk為故障由測試檢測到的概率，tl|fk表示故障fk由測試tl檢測，k為總的故障個數(shù)。

2.3 融合測試數(shù)據(jù)的后驗分布確定方法

結(jié)合成敗型數(shù)據(jù)(x,N)，根據(jù)貝葉斯理論及(1)式，得到p的后驗分布為

pb(t|f)=f(p;a+x,b+N-x)，

(12)

式中：N表示測試次數(shù)；x表示通過測試的次數(shù)。推理過程可參考文獻[19]，則經(jīng)實際測試數(shù)據(jù)修正后的D矩陣為

(13)

矩陣中的元素可由(12)式計算得到，含義為故障可由測試檢測的后驗概率。根據(jù)Dpbt|f開展測試性評價工作，用FDRg表示fg的故障率，用Ag表示測試檢測故障的事件，假設(shè)各個測試檢測同一故障的事件是相互獨立的，則有

FDRg=pb(t1+t2+…+tl|fg)=
pb[(t1|fg)+(t2|fg)+…+(tl|fg)]=
pb(A1+A2+…+Ag)，

(14)

式中：g=1,2,…,k，從而有

(15)

3 實例分析

本文選擇文獻[10]的例子進行建模分析，導(dǎo)彈測試性指標一般要求故障檢測率FDR≥0.95，故障隔離率FIR≥0.92. 圖3所示為某型飛航導(dǎo)彈系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，系統(tǒng)分為系統(tǒng)級、分系統(tǒng)級和設(shè)備器件3個層級。表2所示為故障模式及其編碼，包含8個故障模式，故障率單位為10-6. 測試有6個，分別為電氣狀態(tài)字檢查t1、電子控制單元(ECU)狀態(tài)字檢查t2、繼電器動作遙測指示t3、發(fā)動機IO輸出線路電壓測量t4、發(fā)動機點火信號的輸出頻率采集t5、發(fā)動機轉(zhuǎn)速表狀態(tài)指示t6. 文獻[10]沒有提到故障模式相斥，經(jīng)查閱資料和相關(guān)FMECA，確定發(fā)動機點火繼電器故障與發(fā)動機點火裝置故障相斥。故障之間關(guān)系有利于測試的設(shè)置，有效減少測試個數(shù)。例如兩種關(guān)鍵故障需要同時設(shè)置2個測試進行檢測，但是兩種故障模式相斥，不會同時發(fā)生，因此只需設(shè)置1個測試即可，從而為多故障診斷奠定了基礎(chǔ)。

圖3 某型飛航導(dǎo)彈的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of a winged missile system

表2 故障模式及其編碼Tab.2 Failure modes and codes

考慮到故障傳播縱向性，高層次系統(tǒng)的故障一般源于低層次子系統(tǒng)故障，而文獻[10]中實例模型的傳播方向相反，與實際不符。采用本文所提模型重新建立該系統(tǒng)的測試性模型，如圖4所示。圖4中，Pt表示導(dǎo)彈由其子系統(tǒng)的故障模式而引起的功能失效。由圖4可見，相比于文獻[10]以及多信號模型，本文模型不僅可以描述故障傳播過程，還可以描述故障的嚴酷度以及故障模式的復(fù)雜性等屬性。

圖4 某飛航導(dǎo)彈分層CGSPN模型Fig.4 Layered CGSPN model of a winged missile

根據(jù)圖4得到故障相關(guān)性矩陣如表3所示，選定總體、電氣和控制專業(yè)領(lǐng)域?qū)＜以u分，采用三角模糊數(shù)算法統(tǒng)計評分結(jié)果，得出各個故障模式可被檢測的先驗概率為f(p;a,b)，融合先驗信息的概率矩陣為Dpt|f：

限于篇幅，飛行試驗后積累的歷史測試數(shù)據(jù)不一一列舉，根據(jù)表3以及(12)式將測試歷史數(shù)據(jù)與先驗條件概率融合,得到融合后驗信息矩陣Dpbt|f:

表3 相關(guān)性矩陣Tab.3 Correlation matrix

選取矩陣元素期望，得到用于測試性評價的D矩陣：

在MATLAB軟件中編程，以FDR3為例進行計算，以說明(14)式的計算方式，矩陣中各個測試對相同故障檢測的事件相互獨立，根據(jù)p(AB)=p(A)p(B)和(14)式，有

FDRi=pb(t1+t2+…+tl|fi)
FDR3=pb[(t2|f3)+(t4|f3)+…+(t6|f3)]=
pb(A2+A4+A6)=pb(A2)+pb(A4)+pb(A6)-
pb(A2A4)-pb(A2A6)-pb(A4A6)+pb(A2A4A6)=
pb(A2)+pb(A4)+pb(A6)-pb(A2)pb(A4)-
pb(A2)pb(A6)-pb(A4)pb(A6)+
pb(A2)pb(A4)pb(A6)=
0.75+0.71+0.81-0.75×0.71-0.71×
0.81-0.75×0.81+0.71×0.81×0.75=0.986.

經(jīng)過計算，得到每種故障模式的故障檢測率分別為FDR1=0.995，F(xiàn)DR2=0.992，F(xiàn)DR3=0.986，F(xiàn)DR4=0.996，F(xiàn)DR5=0.972，F(xiàn)DR6=0.912，F(xiàn)DR7=0.924，F(xiàn)DR8=0.970故障模式的故障率，并根據(jù)(15)式可以得到裝備總體的故障檢測率FDR=0.968. 矩陣中沒有相同行，故障檢測即可隔離FIR=1，滿足指標要求。

4 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)測試性建模定性描述故障和測試之間關(guān)系的問題，提出了一種新的測試性建模方法。首先在模型中引入嚴酷度等級，完成故障模式的分類、編碼和著色；然后對系統(tǒng)、子系統(tǒng)以及元件在模型中的表達進行了詳細論述，考慮裝備的復(fù)雜性，將系統(tǒng)進行層次劃分，完成模型的構(gòu)建。得到以下主要結(jié)論:

1)相比于文獻[10]以及多信號模型，CGSPN在完成測試性建模的基礎(chǔ)上聚焦于故障模式的嚴酷度、故障模式的復(fù)雜關(guān)系以及故障發(fā)生的隨機過程。在模型中根據(jù)顏色可以清楚地看到每個庫所的嚴酷度，密切關(guān)注嚴酷度較高的故障并設(shè)置相應(yīng)的測試，可以有效避免危害性故障的發(fā)生，也可以為后續(xù)的測試優(yōu)化選擇做好鋪墊。

2) 引入三角模糊數(shù)算法獲取專家知識，將專家數(shù)據(jù)作為先驗信息，與實驗獲得的測試數(shù)據(jù)作為后驗數(shù)據(jù)相結(jié)合，用來解決數(shù)據(jù)量少和不可靠問題。

3)通過實例分析，得到96.8%的故障檢測率和100%的故障隔離率，滿足系統(tǒng)測試行指標要求，驗證了模型的有效性。

4)虛警率的研究和確定將是后續(xù)的研究方向。