結構可靠性分析的自適應共軛非線性近似方法

邱繼偉， 羅海勝

(中國兵器工業(yè)標準化研究所， 北京 100089)

0 引言

可靠性作為通用質量特性的核心，長久以來制約著我國兵器裝備及其相關技術向更高層次推進，致使我國目前的裝備質量水平相對于歐美軍事強國有較大差距。提升兵器裝備的通用質量特性，必須將強化其可靠性水平作為重要目標，因此系統(tǒng)、深入地開展可靠性相關工作仍將是當前及未來相當長時期內(nèi)我國兵器裝備領域研究的重點，也是提升裝備通用質量特性的關鍵。

兵器裝備是典型的機電產(chǎn)品，機械產(chǎn)品占有較大比重。因此，針對機械類產(chǎn)品和零部件進行的可靠性分析、設計等工作對提升裝備整體通用質量特性具有重要作用。機械產(chǎn)品可靠性分析的主要目標是計算其在規(guī)定工況下的失效概率Pf[1]：

(1)

式中：X為基本隨機變量所組成的向量，X=[x1,x2,…,xn]T；g(X)為產(chǎn)品可靠性極限狀態(tài)函數(shù)，g(X)≤0表示產(chǎn)品處于不可靠狀態(tài)；fX(x1,x2,…,xn)為隨機向量X各分量的聯(lián)合概率密度函數(shù)；上述及下文中，n∈N.

實際工程中，基本隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)fX(x1,x2,…,xn)難以得到，同時，(1)式中的多重積分也難以求解。通常情況下，可采用兩類方法進行機械產(chǎn)品失效概率的近似計算，即解析方法和數(shù)值模擬方法。解析方法中以1階可靠性方法[2-4](FORM)和2階可靠性方法[5-6](SORM)最為實用，兩類方法在本質上都是利用梯度和曲率等幾何條件，對極限狀態(tài)函數(shù)進行局部近似，進而求得所需的可靠度系數(shù)。數(shù)值模擬方法以蒙特卡洛仿真[7-8](MCS)為基礎，通過抽樣方法對(1)式中的多重積分進行近似求解；對于無法獲得顯式極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性分析問題，可通過構建代理模型[9-13]對產(chǎn)品的真實極限狀態(tài)函數(shù)進行近似，進而采用數(shù)值模擬方法計算其失效概率。

目前，求解結構可靠性分析問題解析方法均不同程度地以FORM中經(jīng)典的Hasofer-Lind and Rackwitz-Fiesslen(HL-RF)方法[14]或有限步長法[15](FSLM)為基礎，利用迭代設計點的極限狀態(tài)函數(shù)值及其梯度等單點局部信息，近似求解響應的可靠度系數(shù)。Santosh等[16]基于Armijo準則，通過設計有限迭代步長對HL-RF算法進行了改進。Yang[17]利用穩(wěn)態(tài)變換方法(STM)，并基于混沌反饋控制算法改進了經(jīng)典FORM算法的穩(wěn)定性。雖然FSLM、STM和方向STM[18]等方法相對于HL-RF方法具有較高的計算穩(wěn)定性，但迭代步長和控制參數(shù)的選擇會顯著影響上述3類方法的計算效率[19]。同時，一些改進的HL-RF方法，例如松弛HL-RF方法[20]、混合松弛HL-RF方法[20]、混沌共軛穩(wěn)定性變換方法[21]等，雖然可以改善計算過程的穩(wěn)定性，然而線性或弱非線性問題的求解效率則遠遠低于HL-RF方法。

基于經(jīng)典FORM進行結構可靠性分析時，關鍵在于對非線性問題求解的高效性及穩(wěn)定性。前述方法在迭代求解可靠度系數(shù)時，僅利用了單一迭代設計點的極限狀態(tài)函數(shù)值與梯度值等局部信息，極易導致計算的不穩(wěn)定性。因此，本文在兩點自適應非線性近似(TANA)方法的基礎上，通過構建共軛搜索方向，并利用當前迭代設計點和以往若干步迭代設計點的信息(包括精確極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值)，提出一種自適應共軛非線性近似(SACS-TANA)方法，在迭代過程中自動調(diào)整近似模型的非線性指數(shù)和搜索方向，提高對非線性可靠性問題求解的效率和穩(wěn)定性。最后，通過3個案例驗證了所提方法的適用性。

1 FORM概述

應用FORM進行結構可靠性分析的最終目標是根據(jù)其極限狀態(tài)函數(shù)，在標準正態(tài)隨機變量所張成的空間(以下簡稱標準空間)中尋找結構的最可能失效點(MPP)[22]，即極限狀態(tài)函數(shù)所表示的曲面上與標準空間原點距離最近的點，也稱為設計點。因此MPP的搜索問題可以表述為如下最優(yōu)化問題[19]：

(2)

式中：β表示結構極限狀態(tài)曲面上的點與標準空間原點的歐式距離；g(P)=0為標準空間中的極限狀態(tài)曲面方程；P表示隨機變量X在標準正態(tài)空間內(nèi)的映射，通常需要由物理隨機空間變換到標準正態(tài)空間。該優(yōu)化問題的最優(yōu)解用P*表示，其意義為MPP點。MPP點對應可靠度系數(shù)即為β*，則β*=‖(P*)TP*‖。

針對上述最優(yōu)化問題，Hasofer等[23]首先提出了HL方法，采用迭代公式(3)式求得標準空間中的設計點P*：

(3)

HL方法以及在此基礎上的各種改進迭代算法(如HL-RF方法、STM、FSLM等)對于極限狀態(tài)函數(shù)進行了基于泰勒技術展開的線性近似，且僅利用了標準空間中單點處的局部信息，包括其極限狀態(tài)函數(shù)值與梯度向量。然而，當極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度較高時，基于單點函數(shù)值及梯度值的迭代算法極易出現(xiàn)求解結果振蕩或陷入局部最優(yōu)，迭代過程難以繼續(xù)，導致結構可靠度計算結果失真甚至錯誤。

2 基于自適應共軛搜索方向的TANA方法

2.1 TANA方法基本原理

TANA模型由Wang等[24]提出，在對(2)式表示的最優(yōu)化問題進行迭代計算的過程中，采用當前迭代點和上一迭代點的函數(shù)值和梯度信息構建近似極限狀態(tài)函數(shù)，并利用自適應干涉變量的泰勒級數(shù)展開式進行近似。構建TANA模型的主要步驟如下：

1) 在原始隨機變量所張成的空間(以下簡稱原始空間)中，構建真實極限狀態(tài)曲面的近似函數(shù)為

(4)

2) 利用前次迭代點的信息計算(4)式中的自適應非線性指數(shù)ρ為

(5)

(6)

式中：μxi和σxi分別為隨機變量xi的均值與標準差。

由此可以看出，TANA方法在構建近似極限狀態(tài)函數(shù)的過程中，利用了前次迭代設計點的極限狀態(tài)函數(shù)值信息，通過自動調(diào)整ρ值，獲得最優(yōu)的近似。TANA方法所構建的模型對于非線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù)具有較好的局部近似能力[22]。

2.2 結構可靠度計算的SACS-TANA方法

經(jīng)典FORM(例如HL方法、HL-RF方法、有限步長法等)在計算結構可靠度的過程中，僅采用了當前迭代設計點的梯度信息，對于非線性程度較高的結構極限狀態(tài)函數(shù)，(3)式中的γk向量在迭代計算過程中很可能與之前迭代設計點處的梯度向量共線，進而造成迭代過程具有周期性，計算結果難以收斂于真實的設計點。因此，本文在基于TANA模型的基礎上，借鑒FR共軛方法[25](FRCM)，提出一種自適應共軛搜索非線性近似計算方法，利用當前迭代設計點以及以往兩步迭代設計點的極限狀態(tài)函數(shù)值和梯度信息，在計算過程中對迭代搜索方向進行自適應調(diào)整，避免求解過程的周期性，提高計算結果的穩(wěn)定性和精確性。

本文所提出的SACS-TANA方法具體步驟如下：

步驟1基本隨機變量的等效正態(tài)化處理。等效正態(tài)化處理后基本隨機變量所組成的向量表示為X=[x1,x2,…,xn]T.

步驟2進行第1次迭代過程。選擇等效正態(tài)化后的各隨機變量均值點作為初始迭代設計點，利用1階泰勒展開構建初值點處的近似極限狀態(tài)函數(shù)，并計算初值點處的極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值。

步驟3采用均值點法求解初始可靠度指標β1及相應的方向余弦γ1=[γ11,γ12,…,γ1n]T，并計算新的設計點X1=[x1,1,x1,2,…,x1,n]：

x1,i=μxi+β1σxiγ1i，

(7)

式中：[μx1,μx2,…,μxn]T=μ和[σx1,σx2,…,σxn]T=σ分別為隨機向量X所對應的均值向量和標準差向量。

步驟4重復步驟2、步驟3，得出新的迭代設計點Xk、Xk+1(k≥2)，并計算相應的極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值。

步驟5根據(jù)TANA方法的(4)式，在原始空間中利用設計點X2、X3的極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值構建近似極限狀態(tài)函數(shù)，并基于(5)式計算自適應非線性指數(shù)ρ.

步驟6利用(6)式將原始空間中的近似極限狀態(tài)函數(shù)變換到標準空間中，用上標c表示標準空間。

步驟7在標準空間中，構建如下共軛搜索方向：

(8)

式中：ηk為共軛搜索方向向量，

(9)

系數(shù)ξk和θk分別定義如下：

(10)

(11)

步驟8計算得到新的設計點。根據(jù)(12)式迭代計算得出標準空間中新的設計點Pk+1=[pk+1,1,pk+1,2,…,pk+1,n]：

(12)

步驟9將標準空間中的設計點變換到原始空間中：

xk+1,i=μxi+σxipk+1,i.

(13)

步驟11得出結構可靠度指標β=βk+1=‖Pk+1‖2.

3 案例分析

3.1 數(shù)值案例

3.1.1 數(shù)值案例1

考慮非線性極限狀態(tài)函數(shù)為

(14)

式中：隨機變量x1及x2服從相同的正態(tài)分布，二者的均值分別為μx1=10、μx2=9.9，標準差為σx1=σx2=5. 采用HL-RF方法、FR共軛方法、TANA方法與本文所提SACS-TANA方法計算上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應的可靠度系數(shù)，在給定誤差限為0.001的前提下，與1 000 000次MCS結果[22]進行對比，如表1所示。

由表1可以看出，經(jīng)典FORM中的HL-RF方法在迭代21次后結果出現(xiàn)振蕩，且計算結果并未收斂至準確的可靠度系數(shù)；而本文所提出的SACS-TANA方法與未采用共軛搜索方向的經(jīng)典TANA方法，經(jīng)過3次迭代計算即可收斂至準確結果；基于共軛搜索方向的FRCM則經(jīng)過7次迭代收斂得到準確的可靠度系數(shù)。算例表明，采用共軛搜索方向且同時考慮近似模型本身非線性特征的SACS-TANA方法具有較高的精度及計算效率。

3.1.2 數(shù)值案例2

考慮如下高維極限狀態(tài)函數(shù)：

(15)

式中：隨機變量xi,i=1,2,…，n獨立同分布，服從均值為1、標準差σ=0.2的對數(shù)正態(tài)分布。本案例中，取n=100，采用1 000 000次MCS分析，得出上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應的可靠度系數(shù)β=2.923 6[12](對應的失效概率為Pf=1.73×10-3)。在規(guī)定迭代誤差為0.001的基礎上，利用HL-RF方法、FRC方法、TANA方法與本文所提出的SACS-TANA方法近似計算上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應的可靠度系數(shù)，并與MCS分析結果進行對比，如表2所示。

表1 數(shù)值案例1可靠度系數(shù)迭代過程對比Tab.1 Comparative results of different methods for reliability index iteration of numerical example 1

表2 數(shù)值案例2可靠度系數(shù)迭代過程對比Tab.2 Comparative results of different methods for reliability index iteration of numerical example 2

由表2可以看出：經(jīng)典FORM中的HL-RF方法在迭代5次后，計算結果收斂至β=3.842 7(相對誤差為31.44%)；基于共軛搜索方向的FRCM，經(jīng)過7次迭代計算后結果收斂至β=3.106 1(相對誤差為6.24%)；未采用共軛搜索方向的經(jīng)典TANA方法，經(jīng)過5次迭代計算后，結果收斂至β=3.569 0(相對誤差為22.08%)；而本文所提出的SACS-TANA方法，經(jīng)過6次迭代計算即可收斂至準確結果β=2.920 0(相對誤差為0.12%)。綜合數(shù)值案例1、案例2的計算結果，表明本文所提出的SACS-TANA方法對于非線性及高維極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性指標求解均具有較好的適用性。

3.2 結構可靠性分析案例

某錐體結構的尺寸及其受載情況如圖1所示，其中，M和p分別為其所受的彎矩(N·m)和軸向壓力(N)，d為錐體壁厚(m)，α為傾斜角(rad)，ri為錐體內(nèi)徑(m)；ro為錐體外徑(m)。由彈塑性力學理論可知，錐體結構屈曲失效模式所對應的極限狀態(tài)函數(shù)[26]可表示為

圖1 錐體結構示意圖Fig.1 Schematic view of a conical structure

(16)

式中：E和ν分別為錐體材料的彈性模量和泊松比。

錐體結構尺寸和載荷的詳細參數(shù)如表3所示。依據(jù)(16)式及表3中所列隨機參數(shù)的分布信息，分別利用HL-RF方法、FRC方法、TANA方法與本文所提出的SACS-TANA方法近似計算上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應的可靠度系數(shù)，迭代計算結果如圖2所示。

表3 錐體結構尺寸及載荷參數(shù)Tab.3 Structural and loading parameters ofconical structure

圖2 基于不同方法的錐體結構可靠度系數(shù)迭代計算過程Fig.2 Iteration calculation process of reliability index of conical structure based on different methods

由圖2可以看出，4種方法均可以收斂到最終的準確結果(β=4.632 489)，但相對于其他方法，本文所提出的SACS-TANA方法具有更高的計算效率。

4 結論

針對基于經(jīng)典FORM的各類結構可靠性方法在求解非線性問題時的數(shù)值不穩(wěn)定性缺陷，本文提出了一種自適應共軛非線性近似方法，通過3個案例驗證了該方法的適用性。所得主要結論如下：

1) 相對于基于1階泰勒級數(shù)展開并僅利用當前迭代設計點局部信息的各類迭代方法，由于本文所提方法利用以往迭代設計點的信息構建了自適應非線性近似模型，在保證計算效率的基礎上，計算精度較高，對于具有非線性極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性分析問題較為適用。

2) 本文所提出的自適應共軛非線性近似方法，在TANA方法的基礎上，基于以往兩步迭代設計點信息，構建了自適應共軛搜索方向。相比于僅利用最速下降搜索方向的各類方法，本文所提方法在保證計算精度的基礎上，計算穩(wěn)定性更高。