基于坐標(biāo)變換精確計(jì)算近奇異積分的雙向sinh變換法

謝貴重， 董云橋， 鐘玉東， 周楓林

(1.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082；2.鄭州輕工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 河南省機(jī)械裝備智能制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450002；3.南華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，衡陽(yáng) 421001)

1 引 言

在典型的積分類型數(shù)值方法,如邊界元法和擴(kuò)展有限元法中[1-6]，由于采用奇異基本解或者奇異形函數(shù)，導(dǎo)致被積函數(shù)具有近奇異性。如果不能精確有效地計(jì)算這類積分，該類方法的計(jì)算精度會(huì)受影響甚至?xí)斐慑e(cuò)誤的結(jié)果。

圍繞近奇異積分的精確計(jì)算產(chǎn)生了許多方法，如解析和半解析方法[7,8]、自適應(yīng)細(xì)分方法[9-11]及非線性變換方法(包括sinh變換和距離變換)[12-17]。解析與半解析方法具有很高精度，然而需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，限制了該方法的應(yīng)用范圍。自適應(yīng)細(xì)分方法是一種穩(wěn)定且通用的方法，但是需要引入額外的積分點(diǎn)，計(jì)算量巨大，這種方法在計(jì)算超薄型結(jié)構(gòu)時(shí)會(huì)嚴(yán)重降低計(jì)算效率。非線性變換也是應(yīng)用較廣的一種方法，在非線性變換中，sinh變換是一種比較有數(shù)學(xué)含義的方法，可以用迭代將積分點(diǎn)集中在近奇異點(diǎn)附近，以達(dá)到改善積分精度的目的。

在傳統(tǒng)的sinh變換方法中，首先需要對(duì)其進(jìn)行極坐標(biāo)變換和坐標(biāo)變換。文獻(xiàn)[18]指出，在最近點(diǎn)靠近角點(diǎn)或者積分邊界的時(shí)候，被積函數(shù)在經(jīng)過極坐標(biāo)變換后的環(huán)向或經(jīng)過坐標(biāo)變換后的兩個(gè)方向仍然具有很明顯的近奇異性，需要特別關(guān)注。sinh變換結(jié)合環(huán)向變換是一種有效的方法，但是積分單元需要?jiǎng)澐侄鄠€(gè)三角形，并且在環(huán)向需要2倍的高斯積分點(diǎn)，導(dǎo)致計(jì)算效率受到影響。因此，本文采用一種可以將近奇異性在兩個(gè)方向進(jìn)行分離的(α,β)坐標(biāo)變換法[3]，再根據(jù)復(fù)變函數(shù)極點(diǎn)理論，讓兩個(gè)方向的sinh變換分別在極點(diǎn)處實(shí)施。最后，給出幾個(gè)不同類型單元上近奇異積分的數(shù)值算例，結(jié)果對(duì)比表明，雙向sinh變換結(jié)合坐標(biāo)變換可以明顯提高近奇異積分的計(jì)算精度，并且具有較好的穩(wěn)定性，同時(shí)讓近奇異積分對(duì)最近點(diǎn)的敏感性降低。

2 近奇異積分形式及積分子單元?jiǎng)澐?/h2>

2.1 近奇異積分形式

在三維邊界元法中，邊界積分形式為

(λ>0)(1)

式中f(F,S)為標(biāo)量函數(shù)，其數(shù)值積分可以通過標(biāo)準(zhǔn)的高斯積分求得。F為場(chǎng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為(x,y,z)。S為源點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為(x0,y0,z0)。λ取值為0.5或1。為了簡(jiǎn)單起見，考慮積分區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)落在XY平面上的三角形，設(shè)源點(diǎn)到該三角形的最近點(diǎn)為(x0,y0,0)。將源點(diǎn)到最近點(diǎn)的距離定義為r0。則式(1)可以變形為

(2)

式中由于代入了場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)坐標(biāo)，f(F,S)的形式變換為f1(x-x0,y-y0,z0)。

(3)

式中θ1,θ2和R(θ)可以從文獻(xiàn)[18]找到。

為與文獻(xiàn)[18]的方法進(jìn)行對(duì)比，本文考慮如式(4)類型的積分，

(4)

2.2 與近奇異積分結(jié)合的單元?jiǎng)澐?/h3>

在近奇異積分單元的劃分中，首先找到源點(diǎn)到積分單元的最近點(diǎn)。如果最近點(diǎn)落在單元內(nèi)部，將四邊形單元?jiǎng)澐譃樗膫€(gè)積分子單元如圖1(a)所示；如果最近點(diǎn)落在四邊形單元邊上，將四邊形單元?jiǎng)澐譃槿齻€(gè)積分子單元如圖1(b)所示，故最多分出四個(gè)三角形子單元。

3 結(jié)合(α,β)坐標(biāo)變換的雙向sinh變換法

3.1 (α,β)坐標(biāo)變換法

從圖2可以看出，一個(gè)三角形積分子單元通過(α,β)坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的四邊形，具體變換如下，

圖2 (α,β)坐標(biāo)變換系統(tǒng)

(5)

將式(5)代入式(2)得

(6)

式中J=αSΔ為(α,β)坐標(biāo)變換的雅克比。SΔ為三角形子單元面積的2倍,g(β)=[(x1-x0)+(x2-x1)β]2+[(y1-y0)+(y2-y1)β]2，為了方便，記g(β)=aβ2+bβ+c。式(6)可以進(jìn)行如下分離，

(7)

3.2 雙向sinh變換及迭代sinh變換法

由式(7)可知，α和β方向的近奇異性都應(yīng)考慮，即需要考慮如下兩種類型的近奇異積分，

(8)

(9)

針對(duì)式(8)近奇異積分的處理，可以使用如下sinh變換,

(10)

根據(jù)g(β)的表達(dá)式，式(9)可以寫為

(11)

(12)

式中β∈[0,1]?e∈[0,1]

使用此sinh變換的雅可比為

最終得到對(duì)式(7)變換之后的積分形式為

(13)

然后對(duì)式(13)分別在ξ和e兩個(gè)方向采用高斯積分，即可得到最終的數(shù)值積分結(jié)果。

4 數(shù)值算例

將與基于極坐標(biāo)的sinh變換及其與環(huán)向變換相結(jié)合的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，來驗(yàn)證本文方法的精確性和有效性，相對(duì)誤差定義為

(14)

式中Inum為使用變換的數(shù)值積分方法，Iexa為參考解，可以通過單元細(xì)分并使用大量高斯積分點(diǎn)的方法來獲得。接近率定義為

(15)

式中r0為最近距離，Saera為積分單元的面積。

在以下算例中，用符號(hào)rsinh表示極坐標(biāo)下單向sinh變換，rsinh2表示極坐標(biāo)下單向迭代sinh變換，αsinhβsinh表示(α,β)變換與雙向sinh變換的結(jié)合(即本文方法)，每一塊積分子單元均使用16×16的高斯積分。

4.1 針對(duì)線性四邊形單元的近奇異積分

考慮XY空間內(nèi)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的四邊形線性等參元，四個(gè)頂點(diǎn)分別為(-1.0,-1.0)，(1.0,-1.0)，(1.0,1.0)和(-1.0,1.0)。最近點(diǎn)在四邊形內(nèi)的參數(shù)坐標(biāo)分別為(0.9,0.9)，(0.5,0.5)，(0.9,0.0)和(0.98,0.98)，本算例f1=1，計(jì)算結(jié)果列入表1和表2。

由表1和表2可知，針對(duì)平面單元的近奇異積分，αsinhβsinh 方法要優(yōu)于其他幾種方法，尤其是最近點(diǎn)靠近邊界的情況。

4.2 針對(duì)二次四邊形單元的近奇異積分

考慮XYZ空間內(nèi)一個(gè)二次的四邊形等參元，其八個(gè)頂點(diǎn)分別為(1.0,1.0,0.1)，(-1.0,1.0,0.1),(-1.0,-1.0,0.1)，(1.0,-1.0,0.1)，(0.0,1.0,0.1)，(-1.0,0.0,0.1)，(0.0,-1.0,0.2)，(1.0,0.0,0.2)，(0.0,0.0,0.2)。最近點(diǎn)在四邊形內(nèi)的參數(shù)坐標(biāo)分別為(0.9,0.9)，(0.5,0.5)，(0.9,0.0)和(0.98,0.98)。本算例f1=1，數(shù)值計(jì)算結(jié)果列入表3和表4。

由表3和表4可知，針對(duì)二次單元的近奇異積分，相比其他方法，αsinhβsinh方法都可以獲得較好的計(jì)算結(jié)果，尤其是最近點(diǎn)靠近邊界時(shí)。

表1 λ =0.5，最近點(diǎn)不同時(shí)平面單元的計(jì)算誤差

表2 λ=1.0，最近點(diǎn)不同時(shí)平面單元的計(jì)算誤差

表3 λ=0.5，最近點(diǎn)不同時(shí)二次單元的計(jì)算誤差

表4 λ=1.0，最近點(diǎn)不同時(shí)二次單元的計(jì)算誤差

5 結(jié) 論

本文提出了一種雙向sinh變換法來計(jì)算四邊形單元的近奇異積分。雙向sinh變換方法主要結(jié)合(α,β)坐標(biāo)變換和sinh變換。首先,利用(α,β)坐標(biāo)變換來分離α方向與β方向的近奇異性;再基于α方向與β方向的近奇異積分形式，構(gòu)造了sinh變換和迭代sinh變換來消除其近奇異性;最后,通過數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的精確性。數(shù)值結(jié)果表明，對(duì)于最近點(diǎn)靠近單元邊界時(shí)引起的積分子單元頂端大張角和邊長(zhǎng)比較大的情況，雙向sinh變換能保持相當(dāng)高的計(jì)算精度和穩(wěn)定性，是一種理想的消除近奇異性的方法。