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    基于熱固耦合問(wèn)題的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

    2021-04-30 02:10:48魏兆棟高仁璟王長(zhǎng)生
    關(guān)鍵詞:微結(jié)構(gòu)宏觀耦合

    魏兆棟, 高仁璟,2, 王長(zhǎng)生*,2

    (1.大連理工大學(xué) 汽車工程學(xué)院,工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024;2.大連理工大學(xué) 寧波研究院,寧波 315033)

    1 引 言

    拓?fù)鋬?yōu)化是一種按照既定的設(shè)計(jì)要求和約束條件,在給定的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)對(duì)材料分布進(jìn)行優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法和工具,改變了依據(jù)經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。隨著理論研究的不斷完善,拓?fù)鋬?yōu)化的研究涉及到多學(xué)科多物理領(lǐng)域并取得了巨大的成果,如熱傳導(dǎo)[1-3]問(wèn)題和靜力學(xué)[4-6]問(wèn)題等。然而在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中,機(jī)械結(jié)構(gòu)不僅承受外載荷,還經(jīng)常面臨高溫的工作環(huán)境,因此考慮如何對(duì)這類結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理拓?fù)鋬?yōu)化是十分必要的。近些年來(lái),利用逆均勻化方法按照優(yōu)化意圖對(duì)材料微結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)充分挖掘材料微結(jié)構(gòu)的使用潛力受到關(guān)注,如何在材料微結(jié)構(gòu)和宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間建立橋梁,充分發(fā)揮材料和結(jié)構(gòu)的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)并應(yīng)用到熱固耦合結(jié)構(gòu)問(wèn)題是值得研究的熱點(diǎn)。在微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面,Sigmund[7]首次采用逆均勻化方法,基于拓?fù)鋬?yōu)化手段對(duì)復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)極端性能進(jìn)行研究設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)了泊松比在區(qū)間[-1,1]的微結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì),這項(xiàng)研究開啟了設(shè)計(jì)具有特定彈性屬性微結(jié)構(gòu)的先河,此后又設(shè)計(jì)了具有極端熱膨脹系數(shù)的三相材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。Zhang等[8]以材料體積分?jǐn)?shù)為約束條件,基于拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)復(fù)合材料極端熱傳導(dǎo)性能進(jìn)行優(yōu)化,獲得在不同體分比下微結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果。以上文獻(xiàn)是采用均勻化方法對(duì)材料微結(jié)構(gòu)有效屬性進(jìn)行預(yù)測(cè),針對(duì)預(yù)測(cè)材料等效屬性問(wèn)題,Xia等[9]提出了一種基于能量均勻化方法設(shè)計(jì)微結(jié)構(gòu)的方法。Gao等[10]提出了三維的能量均勻化方法,并結(jié)合參數(shù)化水平集優(yōu)化方法對(duì)三維微結(jié)構(gòu)材料的彈性性能進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。能量均勻化方法和漸進(jìn)均勻化方法在預(yù)測(cè)微結(jié)構(gòu)材料等效屬性方面的結(jié)果是相似的,兩者區(qū)別在于測(cè)試應(yīng)變場(chǎng)處理,漸進(jìn)均勻化方法的應(yīng)變場(chǎng)是由單位測(cè)試應(yīng)變場(chǎng)和由于單胞的非均質(zhì)性引起的應(yīng)變場(chǎng)疊加形成,而基于能量均勻化方法的應(yīng)變場(chǎng)是由直接施加在邊界上單位測(cè)試應(yīng)變場(chǎng)引起的,在實(shí)際編程操作和公式推導(dǎo)中,能量均勻化方法對(duì)于處理微結(jié)構(gòu)的周期性以及材料的應(yīng)變場(chǎng)問(wèn)題是比較清晰和簡(jiǎn)潔的,這也是本文選用該方法的考慮點(diǎn)。在多物理場(chǎng)耦合拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域,Sigmund[11,12]研究了涉及電、熱和機(jī)械等多物理場(chǎng)耦合時(shí)柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)方法。Deaton等[13]提出了基于應(yīng)力約束的熱固耦合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。李冬梅等[14]提出了一種基于概率約束的可靠性熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。Zuo等[15]探討熱固耦合場(chǎng)結(jié)構(gòu)的控制方程,建立了基于SIMP法的耦合場(chǎng)拓?fù)淠P汀ao等[16]基于雙材料進(jìn)行了質(zhì)量約束下的熱固耦合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Zhao等[17]建立了基于Ordered-RAMP模型的多材料插值模型,對(duì)熱固耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),建立了綜合散熱弱度與結(jié)構(gòu)柔度的多目標(biāo)加權(quán)設(shè)計(jì)方案。占金青等[18]提出一種非均勻溫度場(chǎng)下的熱固耦合多相材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,通過(guò)集成多相材料的方式來(lái)提升結(jié)構(gòu)的性能。孟慶軒等[19]提出了一種在溫度場(chǎng)均勻改變作用下的熱固耦合結(jié)構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化方法。上述文獻(xiàn)的優(yōu)化尺度均停留在宏觀結(jié)構(gòu)方面,沒(méi)有考慮材料微結(jié)構(gòu)的優(yōu)化層次,這對(duì)于充分發(fā)掘材料性能是一種損失。Anaya[20]基于漸進(jìn)均勻化方法計(jì)算微結(jié)構(gòu)的等效屬性,同時(shí)結(jié)合雙向進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(BESO)提出了一種多尺度熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化算法。與其相比,本文采用能量均勻化方法計(jì)算材料等效屬性,并將其嵌入SIMP優(yōu)化方法中建立一種熱固耦合并行化優(yōu)化方法,對(duì)于宏觀結(jié)構(gòu)的溫度變化量的處理,本文不再將其設(shè)置為一個(gè)常數(shù),而是依賴于離散單元節(jié)點(diǎn)的溫度;此外進(jìn)一步研究了該并行化優(yōu)化方法對(duì)宏觀結(jié)構(gòu)位移和溫度的影響,以期改善結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。總體來(lái)說(shuō),針對(duì)熱固耦合結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題,如何利用拓?fù)鋬?yōu)化手段且不使用優(yōu)異性能材料以有效地改善結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能仍是目前研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)。

    本文提出一種基于穩(wěn)態(tài)熱源作用下的熱固耦合結(jié)構(gòu)多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),基于能量均勻化結(jié)合 SIMP插值方法建立并行化拓?fù)鋬?yōu)化模型,以結(jié)構(gòu)剛度作為目標(biāo)函數(shù),以材料體積分?jǐn)?shù)作為約束條件,為了便于數(shù)值計(jì)算,利用直接法推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)及約束的靈敏度,同時(shí)采用Heaviside非線性密度過(guò)濾技術(shù)抑制優(yōu)化過(guò)程的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象,將OC準(zhǔn)則用于優(yōu)化問(wèn)題求解。

    2 熱固耦合結(jié)構(gòu)分析

    對(duì)非均勻溫度場(chǎng)下的熱固耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,溫度場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)系統(tǒng)用有限元方程(1)進(jìn)行描述:

    (1)

    式中Km和Kt分別為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣和熱剛度矩陣,T為結(jié)構(gòu)的溫度向量,U為結(jié)構(gòu)的位移向量,F(xiàn)t為加載在結(jié)構(gòu)上的熱通量向量,F(xiàn)m為結(jié)構(gòu)所承受的機(jī)械外載,F(xiàn)ε為由于熱應(yīng)變產(chǎn)生的熱載荷向量。

    由文獻(xiàn)[21]可知,結(jié)構(gòu)受熱膨脹引起的初始熱應(yīng)變?chǔ)?可表示為

    ε0=αΔTΦT

    (2)

    式中α為材料的熱膨脹系數(shù),ΔT為單元溫度變化量,在2D情形中,向量Φ=[1,1,0],3D問(wèn)題中Φ=[1,1,1,0,0,0]。

    由溫度場(chǎng)變化產(chǎn)生的熱載荷向量Fε表示為

    (3)

    式中N為離散單元的數(shù)目,B為單元的應(yīng)變矩陣,D0為彈性矩陣。假設(shè)材料為各向同性,平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣具體形式如下,

    (4)

    以2D問(wèn)題為例,對(duì)式(3)展開得熱載荷向量為

    [-1-11-111-11]T

    (5)

    3 多尺度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

    利用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)結(jié)合能量均勻化方法,建立以結(jié)構(gòu)剛度為優(yōu)化目標(biāo)的熱固耦合并行化拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型。將OC準(zhǔn)則用于設(shè)計(jì)變量的迭代更新,即分別在每個(gè)尺度中進(jìn)行設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化更新,利用能量均勻化計(jì)算每一次迭代后微結(jié)構(gòu)拓?fù)涞牡刃傩裕蛊渥鳛閮蓚€(gè)尺度之間的連接橋梁,其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型如下,

    (i=1,2,…,NM;j=1,2,…,Nm)

    s.t.α(uM,vM,DM)=l(vM), ?vM∈H(ΩM,d)

    α(um,vm,Dm)=l(vm), ?vm∈H(Ωm,d)

    (6)

    (7)

    式中f為宏觀結(jié)構(gòu)的體力,h為宏觀結(jié)構(gòu)的Neumann邊界ΓM上的牽引力。宏觀和微觀彈性張量DM和Dm可基于能量均勻化方法求解,根據(jù)修正的SIMP插值方法[4]定義如下,

    (8)

    式中為避免數(shù)值奇異,Emin為孔洞材料彈性模量,p為懲罰因子,根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn),當(dāng)p=3時(shí)能得到好的優(yōu)化結(jié)果。DH為利用能量均勻化方法求得的彈性張量,

    (9)

    4 靈敏度分析

    為了便于數(shù)值計(jì)算,利用有限元技術(shù)對(duì)式(6)的目標(biāo)函數(shù)顯式化,根據(jù)對(duì)熱平衡方程和等效熱載荷的分析,將剛度優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)改寫為

    C=FTU=(Fm+Fε)TU

    (10)

    采用直接法[22]計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)宏觀設(shè)計(jì)變量的敏度信息,同時(shí)結(jié)構(gòu)外載荷Fm是一個(gè)確定常數(shù),與設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān),

    (11)

    以2D情形為例,?Ft h/?xM的求解具體如下,

    [-1-11-111-11]T

    (12)

    對(duì)于離散單元的溫度變化量處理如下,

    (13)

    式中ti為單元節(jié)點(diǎn)溫度,n為離散單元的節(jié)點(diǎn)數(shù),t0為參考溫度,通常情況下取值為0。根據(jù)文獻(xiàn)[23]描述單元節(jié)點(diǎn)溫度ti表達(dá)如下,

    (14)

    (15)

    此時(shí)可以得出離散單元溫度變化對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)為

    (16)

    將式(12,16)代入式(11)整理得到2D情形的目標(biāo)函數(shù)靈敏度,

    (17)

    式中ke為單元的剛度矩陣,ue為單元的位移向量。根據(jù)式(6)求解宏觀設(shè)計(jì)變量的體積靈敏度,

    (18)

    對(duì)于微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的目標(biāo)靈敏度和體積靈敏度求解具體如下,

    (19)

    對(duì)于?DH(xm)/?xm的求解如下,

    (20)

    5 過(guò)濾技術(shù)及優(yōu)化算法

    為了獲得清晰0/1離散分布的拓?fù)鋱D并抑制宏微觀尺度在優(yōu)化過(guò)程中的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象,根據(jù)文獻(xiàn)[24]采用Heaviside非線性密度過(guò)濾技術(shù),修正后的單元密度為

    (21)

    式中引入一個(gè)正參數(shù)β來(lái)平滑Heaviside函數(shù),同時(shí)

    (22)

    式中Ne為與單元e的質(zhì)心距離小于過(guò)濾半徑所有單元f的數(shù)目,權(quán)重系數(shù)He f具體如下,

    He f=max.{0,rmin-dist(e,f)}

    (23)

    式中rmin為過(guò)濾半徑,dist(e,f)為單元e和單元f的質(zhì)心距離。

    6 算例分析

    通過(guò)對(duì)熱固耦合并行化拓?fù)鋬?yōu)化算例進(jìn)行分析,驗(yàn)證本文方法拓?fù)鋬?yōu)化的有效性。根據(jù)文獻(xiàn)[9]可知,通常初始設(shè)計(jì)域由均勻分布的密度場(chǎng)組成,以避免出現(xiàn)局部最小值的設(shè)計(jì),然而由于應(yīng)用的周期邊界條件將形成均勻分布的敏度場(chǎng),不能持續(xù)更新變量,因此需要在微結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)域定義一些簡(jiǎn)單的空白區(qū)域,微結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)形狀如圖1所示。宏觀結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)域長(zhǎng)度和寬度分別設(shè)為40 cm和15 cm,離散為80×30的網(wǎng)格,設(shè)計(jì)域頂部施加均勻分布的發(fā)熱熱源,底邊中點(diǎn)加載方向向下的集中載荷,左右兩邊界固定且絕熱,同時(shí)底邊溫度設(shè)置為0 ℃,具體載荷和邊界條件如圖2所示。微結(jié)構(gòu)劃分為50×50的網(wǎng)格,每一個(gè)微結(jié)構(gòu)的尺寸均為5 mm,微結(jié)構(gòu)的尺寸遠(yuǎn)小于宏觀結(jié)構(gòu)的尺寸,符合均勻化理論的要求。過(guò)濾半徑設(shè)置為1.4,其余設(shè)計(jì)參數(shù)列入表1。

    該算例的停止準(zhǔn)則定義為優(yōu)化迭代步數(shù)不小于100步且相鄰迭代的宏微觀設(shè)計(jì)變量最大差值的絕對(duì)值均不超過(guò)0.05。

    圖1 微結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)形狀

    圖2 結(jié)構(gòu)載荷及約束條件

    圖3給出并行化拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)和微結(jié)構(gòu)的彈性張量矩陣和熱傳導(dǎo)系數(shù)矩陣;圖4為非并行化和并行化拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化迭代圖,由于微觀拓?fù)湓趦?yōu)化過(guò)程計(jì)算得到微結(jié)構(gòu)的等效材料屬性的精度問(wèn)題導(dǎo)致并行化優(yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)幾次波動(dòng),但不影響最終的穩(wěn)定性。為了驗(yàn)證所提出的優(yōu)化方法能夠有效地提高結(jié)構(gòu)的剛度性能和散熱性能,給出并行化拓?fù)鋬?yōu)化和非并行化拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)于宏觀結(jié)構(gòu)在x和y方向的位移以及結(jié)構(gòu)溫度分布的對(duì)比云圖,如圖5所示,左側(cè)為并行化拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果,右側(cè)為非并行化的情況,可知非并行化情況下結(jié)構(gòu)的最高溫度大約在4 ℃~5 ℃,沿x方向的最大位移在0.1 cm~0.15 cm,沿y方向的最大位移大于 1 cm;然而經(jīng)過(guò)并行化處理之后的熱固耦合結(jié)構(gòu)的最高溫度為0.3 ℃,在x方向位移大約2.5×10-3cm~3×10-3cm,沿y方向最大位移約為 0.025 cm,數(shù)據(jù)結(jié)果表明,并行化處理之后,結(jié)構(gòu)的溫度分布和位移形變得到大幅度的降低,由此可知所提出的優(yōu)化方法能夠顯著改善結(jié)構(gòu)剛度性能和散熱性能。

    表1 優(yōu)化參數(shù)

    圖3 2D并行化拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

    圖4 拓?fù)鋬?yōu)化迭代

    在2D的基礎(chǔ)上開展3D情形的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),三維懸臂梁的載荷、約束條件以及微結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖6所示,結(jié)構(gòu)場(chǎng)的右邊界固定約束,左邊界底邊施加向下的力,溫度場(chǎng)頂部施加均勻分布熱源,底部溫度設(shè)置為0 ℃。宏觀結(jié)構(gòu)的尺寸為30 cm×10 cm×1 cm,劃分為60×20×2單元;微結(jié)構(gòu)尺寸為5 mm×5 mm×5 mm,劃分為 10×10×10單元。為了能夠進(jìn)行微觀尺度的設(shè)計(jì)變量更新,將微結(jié)構(gòu)的內(nèi)部中心刪除2×2×2個(gè)單元。算例過(guò)濾半徑設(shè)置為1.5,其余優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)列入表2。

    該算例的停止準(zhǔn)則定義為優(yōu)化迭代步數(shù)不小于100步,且相鄰迭代的宏微觀設(shè)計(jì)變量最大差值的絕對(duì)值均不超過(guò)0.02。

    圖7展示了3D情形的并行化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),包括微結(jié)構(gòu)的彈性張量矩陣以及熱傳導(dǎo)系數(shù)矩陣。圖8 是并行化優(yōu)化過(guò)程迭代圖。由于并行化的緣故,宏觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤顚?duì)比于非并行化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有很大改變,如圖9所示。微結(jié)構(gòu)整體上是有兩塊直板構(gòu)成,中間沒(méi)有材料連接的結(jié)構(gòu),但是如果將材料的彈性模量和熱傳導(dǎo)系數(shù)增大,如彈性模量設(shè)置為10 GPa,熱傳導(dǎo)系數(shù)設(shè)置為10 W/(m·℃),其余優(yōu)化參數(shù)不變,具體優(yōu)化結(jié)果如圖10所示。對(duì)比圖7的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),宏觀結(jié)構(gòu)和微結(jié)構(gòu)有很大的變化,由于提高了材料的力學(xué)屬性,宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)明顯少了一些分支,同時(shí)微結(jié)構(gòu)的中間部分有材料連接,因此改變材料參數(shù)會(huì)使得結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤畎l(fā)生較大的變化,側(cè)面說(shuō)明了所提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能夠有效地進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

    圖5 并行化拓?fù)鋬?yōu)化與非并行化的結(jié)果對(duì)比

    表2 優(yōu)化參數(shù)

    圖6 懸臂梁載荷和約束條件以及微結(jié)構(gòu)初始結(jié)構(gòu)

    圖7 3D并行化拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

    圖8 3D并行化優(yōu)化迭代

    圖9 非并行化宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

    圖10 并行化拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

    7 總 結(jié)

    本文利用能量均勻化方法結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)建立了基于穩(wěn)態(tài)熱源作用下的熱固耦合結(jié)構(gòu)多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型,以結(jié)構(gòu)剛度為優(yōu)化目標(biāo),體分比為約束,通過(guò)開展2D和3D的典型數(shù)值算例優(yōu)化設(shè)計(jì),驗(yàn)證了所提出的優(yōu)化方法能夠有效地進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),并且通過(guò)與非并行化熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化做對(duì)比,證明了該優(yōu)化方法能夠顯著地改善結(jié)構(gòu)的剛度性能和散熱性能,順應(yīng)了現(xiàn)代化生產(chǎn)對(duì)工業(yè)產(chǎn)品高強(qiáng)度輕量化的設(shè)計(jì)趨勢(shì),為基于多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題下開展結(jié)構(gòu)/材料多尺度一體化拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了一定的參考價(jià)值和指導(dǎo)意義。

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