覆水飽和雙相介質(zhì)圓弧場(chǎng)地P波激勵(lì)下散射問(wèn)題的理論解

柳國(guó)環(huán)， 黃偉緯， 李鑫洋

(天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300350)

1 引 言

當(dāng)前國(guó)內(nèi)水域環(huán)境下長(zhǎng)大工程日趨增多，如翔安海底隧道(海域段長(zhǎng)4.2 km)和港珠澳大橋海底隧道(海域段長(zhǎng)5.6 km)等。長(zhǎng)大結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的科學(xué)性依賴于地震動(dòng)輸入的合理性，地震動(dòng)輸入的合理性又直接體現(xiàn)在場(chǎng)地因素對(duì)地震動(dòng)的影響。對(duì)于水域長(zhǎng)大結(jié)構(gòu)抗震研究，需要考慮地震動(dòng)輸入在不同位置的差異性，即空間變異性[1]。因此，準(zhǔn)確反映場(chǎng)地特性的空間相關(guān)多點(diǎn)地震動(dòng)場(chǎng)對(duì)水域長(zhǎng)大結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析至關(guān)重要。

關(guān)于場(chǎng)地因素的地震動(dòng)場(chǎng)研究，Trifunac等[2-4]率先采用Fourier-Bessel級(jí)數(shù)展開(kāi)法研究SH波在圓弧狀峽谷和沉積河谷地下的散射。袁曉銘等[5]給出了圓弧形凹陷地形對(duì)平面SH波散射問(wèn)題的級(jí)數(shù)解答。Cao等[6,7]采用波勢(shì)函數(shù)展開(kāi)法得到了P波和SV波入射凹陷地形的波函數(shù)解析解；梁建文等[8,9]研究了P波和SV波入射圓弧形沉積谷場(chǎng)地下的動(dòng)力響應(yīng)。此后，眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者[10-13]對(duì)更加復(fù)雜地形的地震波場(chǎng)做了進(jìn)一步的研究。柳國(guó)環(huán)[14,15]研究了SH波入射非均勻介質(zhì)V形和圓弧形峽谷的多點(diǎn)地震動(dòng)模擬方法，引入第二類分層效應(yīng)，并開(kāi)發(fā)了相應(yīng)的多點(diǎn)地震動(dòng)模擬程序。該研究在本質(zhì)上考慮的是單相介質(zhì)地震波場(chǎng)，并不完全適合水域長(zhǎng)大結(jié)構(gòu)的抗震研究，但為更加復(fù)雜覆水場(chǎng)地地震動(dòng)理論研究奠定了基礎(chǔ)。對(duì)覆水場(chǎng)地地震動(dòng)模型進(jìn)行研究，需要在單相介質(zhì)地震動(dòng)研究的基礎(chǔ)上引入Biot理論[16]，并考慮場(chǎng)地非平坦效應(yīng)。李偉華等[17,18]基于飽和圓弧凹陷地形給出了P波和SV波的地表位移解析解。Liu等[19-21]提出一種有效的模擬地震地下運(yùn)動(dòng)的方法，并針對(duì)無(wú)覆水以及覆水飽和多層場(chǎng)地生成了地下多點(diǎn)地震動(dòng)模型。目前，現(xiàn)有研究成果對(duì)于更加復(fù)雜水域地形(同時(shí)考慮覆水層、雙相介質(zhì)、分層效應(yīng)和非平坦等場(chǎng)地特性)地震波場(chǎng)的討論還比較少。

為了給復(fù)雜水域地形環(huán)境下的長(zhǎng)大結(jié)構(gòu)提供科學(xué)合理的地震動(dòng)輸入，本文研究了P波入射覆水飽和雙相介質(zhì)圓弧場(chǎng)地地震響應(yīng)的理論解。研究的基本思路為，(1) 在直角坐標(biāo)系下推導(dǎo)并得到覆水多層平坦場(chǎng)地的地震波場(chǎng)分布，并用Fourier-Beseel級(jí)數(shù)展開(kāi)為自由波場(chǎng)； (2) 在極坐標(biāo)系下采用波函數(shù)展開(kāi)法，代入邊界條件，求解含有待定系數(shù)的散射波場(chǎng)； (3) 通過(guò)自由波場(chǎng)和散射波場(chǎng)得到場(chǎng)地地表位移幅值分布。研究旨在為復(fù)雜水域地形環(huán)境下長(zhǎng)大結(jié)構(gòu)的抗震分析提供理論基礎(chǔ)。

2 場(chǎng)地模型與基本理論

2.1 覆水飽和雙相介質(zhì)圓弧場(chǎng)地模型

場(chǎng)地模型如圖1所示，在圓弧場(chǎng)地的圓心處建立平面直角坐標(biāo)系。一列圓頻率為ω，入射角為α1d的P波由底部入射覆水飽和雙相介質(zhì)圓弧場(chǎng)地，入射波的勢(shì)函數(shù)Ψi(x,y)表示為

Ψi=ei (ω t -k1d x sin α1d+k1d y cos α1d)

(1)

本文場(chǎng)地模型的最上層為覆水層，中間的u層和底部的d層均為彈性和各向同性且均勻的飽和土層(雙相介質(zhì))。

圖1 覆水飽和雙相介質(zhì)圓弧場(chǎng)地

2.2 飽和雙相介質(zhì)波動(dòng)方程基本理論

依據(jù)Biot多孔介質(zhì)波動(dòng)理論[15]，雙相介質(zhì)波動(dòng)方程可以表示為

(2)

飽和雙相介質(zhì)中的波勢(shì)函數(shù)表示為

(n=1，2)(3)

式(2,3)的波數(shù)和波速通過(guò)式(4)計(jì)算得到，

(4)

雙相介質(zhì)中位移和應(yīng)力分別表示為

(5)

(6)

σi j=(Ae+Qξ)δi j+2Nei j

(7)

式中x表示水平方向，y表示豎直方向，σi j為應(yīng)力，δi j為Kronecker系數(shù)，當(dāng)i=j時(shí)，δi j=1，否則δi j=0，e=·u,ξ=·U，為孔隙水壓力，β為液相勢(shì)函數(shù)和固相函數(shù)的比值，下標(biāo)1，2和3分別代表P1波、P2波和SV波，其可通過(guò)文獻(xiàn)[21]計(jì)算求得。

覆水層中P波的波勢(shì)函數(shù)可以表示為

Fwei (ω t -kp wx sinαp w -kp wy cosαp w)

(8)

覆水層中的位移和應(yīng)力表示為

(9)

2.3 覆水場(chǎng)地邊界條件

場(chǎng)地存在三種邊界面，分別是土-水分界面、飽和土層分界面和覆水層表面。

(1) 土-水分界面上，滿足應(yīng)力和位移連續(xù)條件

(ux)u=(Ux)w, (uy)u=(Uy)w

(σy y+τ)u=(-p)w, (σx y)u=0

(10)

(2) 在飽和土層之間的分界面上，除滿足應(yīng)力和位移連續(xù)外，還滿足孔隙水壓和流量連續(xù)。

(ux)u=(ux)d, (uy)u=(uy)d

(σy y+τ)u=(σy y+τ)d

(σx y)u=(σx y)d，pu=pd

(11)

(3) 在覆水層自由表面處壓力為0,即

(12)

3 場(chǎng)地波場(chǎng)分布及求解

復(fù)雜場(chǎng)地波函數(shù)的求解需要分為兩個(gè)步驟，首先求解自由波場(chǎng)，其次求解散射波場(chǎng)。

3.1 自由波場(chǎng)

假定覆水場(chǎng)地中不存在圓弧地形，則P1波自下而上入射覆水分層介質(zhì)場(chǎng)地，在飽和土層分界面處發(fā)生反射和透射現(xiàn)象，產(chǎn)生反射P1波、P2波和SV波，以及透射P1波、P2波和SV波。波函數(shù)分別為

(13)

將式(13)代入邊界條件(11)，經(jīng)簡(jiǎn)化得

S=TH

(14)

式中H=[F1dF2dF3dE1uE2uE3u]，T和S分別為6×6階和6×1階矩陣(篇幅所限，本文略去矩陣具體形式)。

通過(guò)求解方程(14)獲得P1波入射飽和土層分界面的反射和透射系數(shù)，即得到勢(shì)函數(shù)的幅值系數(shù)F1d，F(xiàn)2d，F(xiàn)3d，E1u，E2u和E3u。

在飽和土u層中，下行波勢(shì)函數(shù)表示為

(15)

其中

(16)

式中rm n為反射系數(shù)，m和n代表入射波和反射波，如rP 1P 2為當(dāng)P1波入射土-水分界面時(shí)P2波的反射系數(shù)。

覆水層中的上下行波勢(shì)函數(shù)可以表示為

(17)

其中

(18)

式中tm為透射系數(shù)，m為入射波，如tP 1為當(dāng)P1波入射土-水分界面時(shí)P1波的透射系數(shù)。

上述土-水分界面的反射和透射系數(shù)可以通過(guò)邊界條件(10)確定，得到

I|n=DR|n

(19)

式中下標(biāo)n表示P1波、P2波或SV波，如當(dāng)入射波為P1波時(shí)，R|P 1=[rP 1P 1rP 1P 2rP 1S VtP 1],D和I分別為4×4階和4×1階矩陣。

解方程組(19)，獲得P1波入射土-水分界面的反射和透射系數(shù)。同理，可獲得P2波以及SV波入射土-水分界面的反射和透射系數(shù)，進(jìn)而得到所有土層以及覆水層上行和下行波函數(shù)的幅值系數(shù)。

為了便于求解，將上述自由波場(chǎng)勢(shì)函數(shù)轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系中，具體方法可參考文獻(xiàn)[6]。

3.2 散射波場(chǎng)

研究P波入射覆水飽和雙相介質(zhì)圓弧場(chǎng)地散射波場(chǎng)分布時(shí)，需要考慮地震波在圓弧場(chǎng)地邊界產(chǎn)生散射P1波、P2波和SV波，在(r,θ)坐標(biāo)系中，波函數(shù)分別為

為了便于求解，分別采用一個(gè)半徑很大的大圓弧替代水平自由表面、土-水分界面和飽和土層分界面。當(dāng)大圓弧的半徑足夠大時(shí)，大圓弧邊界就可以近似看成是水平界面，如圖2所示。

圖2 考慮大圓弧邊界的場(chǎng)地示意圖

在(r1,θ1)坐標(biāo)系中，大圓弧邊界的存在產(chǎn)生了散射波場(chǎng)，波函數(shù)分別為

上述由圓弧地形及考慮大圓弧近似假定給出的波函數(shù)分別在(r,θ)和(r1,θ1)坐標(biāo)系給出，為了使波函數(shù)轉(zhuǎn)換在同一坐標(biāo)系下，Graf加法變換公式將(r1,θ1)坐標(biāo)系中圓弧地形邊界產(chǎn)生的散射波場(chǎng)函數(shù)轉(zhuǎn)換到(r,θ)坐標(biāo)系中；同樣，把(r1,θ1)坐標(biāo)系中的大圓弧邊界產(chǎn)生的散射波場(chǎng)函數(shù)轉(zhuǎn)換到(r,θ)坐標(biāo)系中。經(jīng)過(guò)上述轉(zhuǎn)化，能夠在同一坐標(biāo)系中對(duì)波函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

3.3 總波場(chǎng)分布

通過(guò)上述推導(dǎo)及坐標(biāo)變換，能夠獲得覆水飽和雙相介質(zhì)圓弧場(chǎng)地的總波場(chǎng)分布。覆水層中的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)表示為

(20)

飽和土u層中固相和液相的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)，以及固相和液相的矢量勢(shì)函數(shù)分別表示為

(21)

同理，飽和土d層中的固相和液相的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)，以及固相和液相的矢量勢(shì)函數(shù)分別表示為

(22)

3.4 波函數(shù)未知系數(shù)求解

散射波場(chǎng)波勢(shì)函數(shù)含有未知系數(shù)，求解波場(chǎng)分布的關(guān)鍵就在于求解未知系數(shù)。篇幅有限，故略去中間推導(dǎo)過(guò)程，以流程圖的形式給出散射波場(chǎng)的求解流程，如圖3所示。結(jié)合本章前3節(jié)的內(nèi)容，將波函數(shù)代入邊界條件，求出未知系數(shù)，最終得出波場(chǎng)函數(shù)頻域解。

4 驗(yàn)證及分析

4.1 可靠性驗(yàn)證

為了便于分析，先定義無(wú)量綱頻率

(23)

采用峽谷寬度和入射波波長(zhǎng)的比值來(lái)間接描述入射波的頻率。同時(shí)，考慮到數(shù)值計(jì)算時(shí)，大圓弧半徑過(guò)大會(huì)導(dǎo)致貝塞爾函數(shù)值過(guò)小，矩陣出現(xiàn)奇異性，導(dǎo)致計(jì)算溢出。故本文假定大圓弧半徑為

R=100a

(24)

為了說(shuō)明理論推導(dǎo)的正確性，本文模型與Li模型做了對(duì)比。 Li模型具有圓弧凹陷地形和飽和介質(zhì)場(chǎng)地的特點(diǎn)，而本文模型具有半圓弧凹陷地形、覆水層和飽和雙相介質(zhì)綜合屬性。因此，設(shè)置覆水層的高度為0，并將兩層介質(zhì)物理參數(shù)設(shè)置一致，同時(shí)設(shè)置Li模型的參數(shù)，將其圓弧凹陷地形設(shè)置成半圓弧凹陷地形，則本文模型可以退化成Li模型。本文退化模型和Li模型在P波入射下的算例對(duì)比情況如圖4所示。結(jié)果表明，不論是低頻入射還是高頻入射，對(duì)于x方向位移幅值，本文退化模型和Li模型顯示出了較高的吻合度；對(duì)于y方向，兩模型之間的位移幅值也具有良好的一致性，進(jìn)一步證明了理論推導(dǎo)的正確性。

圖3 圓弧場(chǎng)地波場(chǎng)求解流程

4.2 地表位移分析

進(jìn)一步分析入射角和入射波頻率對(duì)場(chǎng)地地表位移的影響。

圖5給出了P波垂直入射(θ=0°)覆水場(chǎng)地時(shí)，分層介質(zhì)與非分層介質(zhì)地表位移的對(duì)比情況。結(jié)果表明，P波垂直入射峽谷場(chǎng)地時(shí)，分層介質(zhì)的地表位移和非分層介質(zhì)的地表位移有著顯著的區(qū)別。不論在x方向還是y方向，分層介質(zhì)與非分層介質(zhì)的地表位移幅值相比會(huì)放大或縮小一定值，從而使得分層介質(zhì)場(chǎng)地地表位移波動(dòng)變得更加劇烈。這是由于入射P波在飽和分層介質(zhì)分界面發(fā)生波形轉(zhuǎn)化現(xiàn)象，衍生的P1，P2和SV波與峽谷非平坦表面產(chǎn)生的散射波互相影響，使得空間波場(chǎng)分布更加復(fù)雜，這些復(fù)雜平面波之間彼此產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，在峽谷表面的某處產(chǎn)生位移的疊加或相消，使得分層介質(zhì)的地表位移幅值高于或者低于非分層介質(zhì)。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，分層與非分層介質(zhì)在峽谷兩側(cè)x和y方向的地表位移均具有良好的對(duì)稱性，且在峽谷中心點(diǎn)x方向的位移幅值為0。這種現(xiàn)象是由于P波垂直入射峽谷分層介質(zhì)分界面時(shí)，并未產(chǎn)生耦合的SV波，從而只有垂直方向的運(yùn)動(dòng)；同時(shí),在峽谷邊界的散射波也由于地形的對(duì)稱性，使水平方向的位移相互抵消，最終導(dǎo)致峽谷底部中心點(diǎn)的水平方向位移為0，且峽谷兩側(cè)地面運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出對(duì)稱性。

圖6給出了更加常見(jiàn)情況下的位移幅值對(duì)比,即P波斜入射(θ=30°)覆水圓弧場(chǎng)地時(shí)，分層介質(zhì)與非分層介質(zhì)地表位移幅值的對(duì)比。與垂直入射相比，斜入射P波的峽谷兩側(cè)地表位移不再具有對(duì)稱性。對(duì)比圖5可以看出，不論波是垂直入射還是斜入射，分層介質(zhì)會(huì)明顯地改變地表的震動(dòng)特性。震動(dòng)特性改變程度一方面受分層介質(zhì)物理性質(zhì)的影響,兩層介質(zhì)物理性質(zhì)差異越大，其與單層介質(zhì)的地表位移差異也就越大；另一方面，受到入射波特性的影響,入射波頻率和角度等指標(biāo)不同，會(huì)改變場(chǎng)地波場(chǎng)的分布，進(jìn)而發(fā)生不同的干涉現(xiàn)象，從而使得地震地面運(yùn)動(dòng)幅度發(fā)生較大的變化。

為了進(jìn)一步說(shuō)明入射頻率和入射角度等對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)特性的影響，圖7給出了分層介質(zhì)情況下，入射波頻率和地表位移的關(guān)系。結(jié)果表明，隨著入射波頻率的增大，地表位移幅值也逐漸增加，并且地表位移的波動(dòng)性也隨之增加。入射波頻率增加意味著能量增加，所以高頻波地表位移幅值明顯大于低頻波地表位移幅值。此外，當(dāng)入射波頻率較低時(shí)，x和y方向的地表位移幅值均較小，波動(dòng)也較小。隨著入射波頻率增大，波對(duì)場(chǎng)地介質(zhì)的不均勻性(分層特性)變得較為敏感，使得位移幅值顯著增加，峽谷不同點(diǎn)的位移差，即波動(dòng)性也增加。特別如圖7(b)所示，當(dāng)P波從峽谷底部左側(cè)向峽谷右側(cè)斜入射時(shí)，峽谷左側(cè)直接受到入射波作用，因而左側(cè)圓弧地表(-1≤x/a≤0)的位移均明顯大于峽谷右側(cè)圓弧地表(0

表1 飽和土的物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of saturated soil

圖4 本文退化模型與Li模型對(duì)比情況

圖5～圖7表明，地震波垂直入射和斜入射覆水場(chǎng)地時(shí)，會(huì)對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生不同影響。圖8給出了分層介質(zhì)情況下，不同入射角對(duì)地表位移幅值的影響,進(jìn)一步證明了無(wú)論入射角如何變化，P波從峽谷底部左側(cè)向右側(cè)斜入射時(shí)，峽谷左側(cè)圓弧地表由于受到地震波的直接作用，故其左側(cè)圓弧地表位移幅值大于右側(cè)?？v觀整個(gè)峽谷地表場(chǎng)地，當(dāng)入射角較大時(shí)，峽谷地表的水平方向位移幅值也較大；而對(duì)于豎直方向的峽谷地表位移，入射角度較大的豎直地表位移幅值反而較小。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，在入射波總能量一定時(shí)，隨著P波入射角度的增加，其質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向從只有豎直振動(dòng)向同時(shí)有豎直和水平振動(dòng)轉(zhuǎn)變，使得水平振動(dòng)所分配的能量逐漸增加，豎直振動(dòng)所分配的能量相對(duì)減少。無(wú)論是水平方向還是豎直方向，入射角的改變對(duì)位移幅值的最大值和最小值的影響并不顯著，但是其對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)分布特性影響較大，因而不能忽略入射角對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的影響。

圖5 垂直入射下(θ =0°)分層與非分層介質(zhì)對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的影響

圖6 斜入射下(θ =30°)分層與非分層介質(zhì)對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的影響

圖7 場(chǎng)地分層情況下入射頻率對(duì)地表位移的影響

圖8 場(chǎng)地分層情況下 =0.5)入射角對(duì)地表位移的影響

5 結(jié) 論

本文率先針對(duì)具有覆水層、飽和雙相介質(zhì)、非平坦以及第二類分層(場(chǎng)地跨越分層界面)等復(fù)雜特征場(chǎng)域在壓縮波入射下的地震反應(yīng)進(jìn)行研究。主要工作包括:

(1) 推導(dǎo)并得到了覆水圓弧飽和雙相介質(zhì)場(chǎng)地的自由波場(chǎng)。引入覆水層對(duì)雙相飽和介質(zhì)場(chǎng)地的影響，推導(dǎo)出地震波在飽和土層分界面和土-水分界面的反射和透射系數(shù)；確定了每一層介質(zhì)中的上行波和下行波，得到覆水圓弧飽和雙相介質(zhì)場(chǎng)地的地震波自由場(chǎng)。

(2) 推導(dǎo)并得到了覆水圓弧飽和雙相介質(zhì)場(chǎng)地的散射波場(chǎng)。引入非平坦特性對(duì)場(chǎng)地波場(chǎng)的影響，獲得場(chǎng)地的所有波場(chǎng)分布；利用場(chǎng)地邊界條件，嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到待定系數(shù)的值。

(3) 得到并分析了場(chǎng)地的地表位移。得到覆水圓弧飽和雙相介質(zhì)場(chǎng)地的地表位移；通過(guò)和其他算例對(duì)比，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的可靠性；分析了場(chǎng)地分層介質(zhì)和非分層介質(zhì)的地震地面運(yùn)動(dòng)特性以及不同入射頻率和入射角對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)特性的影響，結(jié)果表明，分層介質(zhì)有著與非分層介質(zhì)完全不同的波場(chǎng)分布，會(huì)顯著改變地震地面運(yùn)動(dòng)特性，因此必須考慮分層效應(yīng)對(duì)波場(chǎng)的影響；入射波頻率的增大會(huì)明顯提升地震地面運(yùn)動(dòng)幅值，并加強(qiáng)其波動(dòng)性，同時(shí)入射角的改變對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)特性也有較大影響。