水下聲波傳播過程的時(shí)域間斷Galerkin有限元方法

李瑞敏, 郭 攀*, 張景飛, 武文華, 王 飛

(1.鄭州大學(xué) 力學(xué)與安全工程學(xué)院，鄭州 450000；2.大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 工程力學(xué)系，工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

1 引 言

由于聲壓力波水下良好的傳播性能，聲波技術(shù)廣泛應(yīng)用于海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)、海洋軍事、海洋航運(yùn)、海洋科學(xué)等領(lǐng)域[1]。尤其是在水下發(fā)射、水下爆炸、水下爆破和水下氣泡射流等問題中，近場(chǎng)強(qiáng)間斷、高梯度復(fù)雜多變的沖擊聲壓力波往往引起結(jié)構(gòu)和艦船的毀傷[2]，使得沖擊條件下聲壓力場(chǎng)結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確描述問題成為海洋工程和軍事等領(lǐng)域一直以來的研究熱點(diǎn)[3,4]；另外，梯度變化聲速的海洋聲波傳播問題一直以來是海洋聲學(xué)研究的重點(diǎn)[5-7]；復(fù)雜的海底地形邊界條件下，海底地質(zhì)勘探、障礙物的探測(cè)識(shí)別和目標(biāo)定位等技術(shù)領(lǐng)域的研究近年來從未間斷[8-12]。不難發(fā)現(xiàn)，這些問題往往伴隨著空間或時(shí)域高梯度、強(qiáng)間斷變化的特征。

目前，隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的發(fā)展，在聲場(chǎng)的研究領(lǐng)域出現(xiàn)了諸多數(shù)值計(jì)算方法，如有限體積方法[13]、有限元法、有限差分法[14]、邊界元法[15]以及相關(guān)的混合方法等。其中有限元方法在工程領(lǐng)域中應(yīng)用最多。以往研究表明，在模擬沖擊作用下間斷壓力波的傳播過程時(shí)，通常的時(shí)域連續(xù)Galerkin有限元方法如Newmark法會(huì)在壓力波波后出現(xiàn)虛假的數(shù)值振蕩，誤差的累積使得問題求解的精度大幅降低[16]。時(shí)域間斷Galerkin有限元方法 DGFEM(Discontinuous Galerkin Finite Element Method)方法在沖擊問題中體現(xiàn)了區(qū)別于傳統(tǒng)有限元法的優(yōu)越性，其可以自動(dòng)引入數(shù)值耗散，濾去虛假的高階模式和數(shù)值振蕩。Li等[17,18]在原有DGFEM基礎(chǔ)上，分別采用三次Hermit插值函數(shù)和線性插值函數(shù)對(duì)基本未知量及其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行插值，將基本未知量及其導(dǎo)數(shù)解耦，大幅提高了計(jì)算效率。但是在高頻振動(dòng)的波傳播問題仿真中，這類方法在波前仍有較小的數(shù)值振蕩現(xiàn)象，Guo等[19]針對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，引入高頻波動(dòng)比較敏感的比例剛度阻尼，并將改進(jìn)的DGFEM運(yùn)用到了諸多領(lǐng)域，在層合壓電材料沖擊問題、非傅里葉熱彈性問題及彈性固體沖擊問題等算例的求解中均表現(xiàn)出了該方法的優(yōu)越性[20-22]。

本文在以往研究基礎(chǔ)上，基于聲壓波動(dòng)傳播方程，構(gòu)建出水下聲波傳播問題的改進(jìn)DGFEM(以下簡(jiǎn)稱DGFEM)，針對(duì)幾類典型的水下高梯度和強(qiáng)間斷問題進(jìn)行了探討。

2 聲傳播控制方程及時(shí)域間Galerkin有限元方法

聲傳播方程為

(1)

式中p為流體壓力，c0為流體中的聲速。

對(duì)于聲波傳播方程，流體內(nèi)單元分布可表示為

(2)

式中mf為流體單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，pe為單元的結(jié)構(gòu)點(diǎn)壓力向量，Ni為對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)i的插值函數(shù)。

(3)

(4)

(5)

考慮到聲源和水中阻尼的作用，式(5)可以略去下標(biāo)f，進(jìn)而推廣為

(6)

式中C為阻尼矩陣，Q(t)為各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的聲源向量。聲波傳播方程的時(shí)域可以離散為

0<…

對(duì)任一時(shí)刻tn，其時(shí)刻處的階躍函數(shù)可以表示為

(7)

(8)

(9)

(10)

基本未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)v在時(shí)間步內(nèi)采用線性插值：

(11)

省略上標(biāo)，式(11)可簡(jiǎn)化為

v=vnλ1+vn + 1λ2

(12)

(13)

式(13)分別對(duì)基本未知量及其時(shí)域一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行變分，可得

(14)

式(14)解耦后，可得

(15)

改進(jìn)的時(shí)域間斷Galerkin有限元方法是為了消除DGFEM方法波前虛假數(shù)值振蕩。其基于高頻振蕩敏感于比例剛度阻尼和低頻振蕩敏感于比例質(zhì)量阻尼的原理，在式(15)引入比例剛度阻尼Ck=βK，對(duì)原有DGFEM方法進(jìn)行進(jìn)一步發(fā)展。

其中β為阻尼系數(shù):

β=2ξ/ωn

(16)

ξ為結(jié)構(gòu)的阻尼比，ωn為結(jié)構(gòu)的固有頻率。

式(15)可以改寫為

(17)

3 算例及結(jié)果分析

算例1選取結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度為50 m，截面積為0.5 m2的一維流體區(qū)域，如圖1所示。在區(qū)域最左端為完全反射邊界條件，最右端受到脈沖階躍荷載的作用，如圖2所示。流體介質(zhì)密度為1000 kg/m3，聲波在該流體中的傳播速度為1500 m/s。結(jié)構(gòu)劃分為100個(gè)單元，時(shí)間步為0.000 1 s，分別采用 Newmark 方法與改進(jìn)的DGFEM進(jìn)行模擬。

圖1 流體區(qū)域受沖擊作用模型

Fig.1 Model of fluid region by impact action

圖2 外載階躍荷載

圖3給出了傳統(tǒng)的Newmark方法與改進(jìn)的DGFEM方法在0.005 s，0.01 s和0.02 s時(shí)水中壓力波分布的情況。可以看出，壓力波從右向左傳播，傳統(tǒng)的Newmark法計(jì)算得到的壓力波在波后和波前均出現(xiàn)了虛假的數(shù)值振蕩，而且從波前和波后數(shù)值振蕩的區(qū)域分布來看，這類數(shù)值振蕩隨著時(shí)間增長(zhǎng)數(shù)值振蕩范圍不斷增加，誤差累積不斷增大，這勢(shì)必降低問題求解的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。而改進(jìn)的DGFEM方法可以很好地濾去不同時(shí)刻波前和波后虛假數(shù)值振蕩，相對(duì)較好地保證了這類間斷聲波傳播問題求解的精度和穩(wěn)定性。

算例2為了驗(yàn)證新方法在復(fù)雜邊界問題求解中的可靠性，考慮到水下障礙物的聲探測(cè)技術(shù)，設(shè)計(jì)了如圖4所示的模型。隨機(jī)分布的孔表示水中的障礙物，設(shè)定為全反射邊界。在數(shù)值模擬中，流體的密度為1000 kg/m3，聲音在流體中的傳播速度為1500 m/s，模擬區(qū)域的尺寸為20 m×20 m，將模型劃分為1681個(gè)單元，時(shí)間步長(zhǎng)為1.0×10-4s。聲源位于點(diǎn)O(10.8 m,10.8 m)，聲壓力荷載如圖5所示。

圖3 不同時(shí)刻下壓力波傳播情況

圖4 含障礙物二維聲傳播模型網(wǎng)格劃分

圖5 外載階躍荷載

圖6和圖7是在t=0.002 s，0.005 s，0.008 s，0.01 s四個(gè)不同時(shí)刻，DGFEM和Newmark方法所模擬的流體區(qū)域中聲壓分布情況。可以看出，聲源激發(fā)聲波后，向周圍傳播，當(dāng)它們接觸障礙物時(shí)，聲波發(fā)生反射并繼續(xù)傳播。當(dāng)采用Newmark方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，數(shù)值振蕩較為明顯，區(qū)域內(nèi)壓力碎片狀分布相對(duì)無序。壓力波傳播過程勢(shì)必會(huì)受到大型虛假數(shù)值振蕩的干擾，而壓力信號(hào)真實(shí)分布特征受到擾亂。使用改進(jìn)的DGEFM進(jìn)行模擬時(shí)，壓力波整個(gè)時(shí)程清晰明確。從云圖可以明顯觀察到壓力波擴(kuò)散傳播過程中反射和疊加等特征。

圖6 不同時(shí)刻聲壓分布情況(Newmark)

圖7 不同時(shí)刻聲壓分布情況(DGFEM)

圖8 層合液體網(wǎng)格劃分

圖9比較了Newmark方法和改進(jìn)的DGFEM在t=0.003 s，t=0.006 s，t=0.01 s，t=0.013 s，t=0.016 s，t=0.02 s時(shí)的聲波傳播情況?？梢钥闯?，Newmark方法得到的結(jié)果隨著壓力波的傳播出現(xiàn)了數(shù)值振蕩，當(dāng)壓力波到達(dá)層合界面處時(shí)，層合界面處表現(xiàn)出更強(qiáng)的數(shù)值振蕩，隨著壓力波的傳播，這種數(shù)值振蕩不斷增強(qiáng)，誤差累積增大。而改進(jìn)的DGFEM可以很好濾除具有間斷特征的壓力波傳播過程以及層合介質(zhì)間斷面兩側(cè)出現(xiàn)的數(shù)值振蕩，三維壓力波梯度結(jié)構(gòu)明確，壓力波間斷特征較好描述。

4 結(jié) 論

本文構(gòu)建了水下聲波傳播問題的改進(jìn)時(shí)域間斷Galerkin有限元方法，并針對(duì)具有強(qiáng)間斷、高梯度變化特征的水下含多障礙物復(fù)雜邊界問題以及層合液體問題進(jìn)行了求解。結(jié)果表明，通常的時(shí)域連續(xù)Galerkin有限元方法如Newmark方法求解這類問題時(shí)會(huì)在波前波后出現(xiàn)虛假的數(shù)值振蕩現(xiàn)象，隨著波的傳播，數(shù)值振蕩范圍會(huì)不斷擴(kuò)大，誤差累積也不斷增大，影響問題計(jì)算精度。而改進(jìn)的DGFEM能較好地消除聲波在不同時(shí)刻以及不同介質(zhì)層合間斷面處波前波后的數(shù)值振蕩，使整個(gè)傳播過程清晰明確，具有較高的精度和可靠性。問題的求解，為進(jìn)一步流固聲耦合問題研究奠定了基礎(chǔ)。

圖9 不同時(shí)刻聲壓分布情況