基于持續(xù)同調(diào)的邊坡破壞過程的拓撲特征研究

陳龍飛， 游世輝, 劉小飛, 趙小英

(1.湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湘潭 411105; 2.棗莊學(xué)院 機電工程學(xué)院，棗莊 277160;3.莫斯科大學(xué)，莫斯科)

1 引 言

邊坡失穩(wěn)問題廣泛存在于巖土工程、環(huán)境科學(xué)和交通運輸?shù)戎T多領(lǐng)域。邊坡受到雨水沖刷、地震以及撞擊作用時會發(fā)生失穩(wěn)造成滑坡，從而給社會和人民造成巨大的經(jīng)濟損失和生命威脅。因此，邊坡失穩(wěn)問題的研究具有非常重要的理論和科學(xué)意義。

邊坡失穩(wěn)問題的研究主要有實驗和數(shù)值分析法等。數(shù)值分析法包含離散元法[1]和有限法等。數(shù)值分析法的優(yōu)勢在于低成本、可重復(fù)和可模擬復(fù)雜地質(zhì)條件。目前，國內(nèi)外學(xué)者利用離散元對巖體及邊坡穩(wěn)定性問題進行了大量的研究。Fakhimi 等[2-5]通過模擬單軸壓縮試驗對巖體的變形破壞特性、宏觀性質(zhì)和微觀特征進行了研究。楊冰等[6-10]基于PFC2D和EDEM軟件對邊坡失穩(wěn)過程的宏觀響應(yīng)進行了研究和探討。蘇永華等[11]利用雙強度折減法對邊坡的極限承載力進行了研究；潘敏等[12]提出了基于稀疏網(wǎng)格配點法的邊坡可靠度分析方法，為進行復(fù)雜的邊坡可靠度分析提供了一條有效的途徑。

早期對于邊坡破壞的研究都是通過實驗的方式進行的，但這種方法只涉及一種尺度，而邊坡破壞是一個動態(tài)的多尺度的破壞過程，涉及到從微孔洞的損傷積累到宏觀的裂縫形成，微觀和宏觀之間相互影響，微觀的力學(xué)演化是導(dǎo)致宏觀力學(xué)演化的根源。宏細觀系統(tǒng)存在跨尺度的關(guān)聯(lián)性、層次性和隨機性，所以需要找到一種能覆蓋所有尺度的研究方法，而持續(xù)同調(diào)就是一種可以覆蓋連續(xù)尺度的拓撲化描述方法。所以用持續(xù)同調(diào)方法可以分析邊坡從裂縫生成到發(fā)生失穩(wěn)破壞的整個過程，找到失穩(wěn)臨界狀態(tài)對應(yīng)的持續(xù)同調(diào)拓撲特征，從而為邊坡破壞預(yù)測提供新的工具。

目前，離散單元法等非連續(xù)變形方法在國內(nèi)獲得了推廣[13]，在邊坡穩(wěn)定性定量評價方面尚不成熟，更沒有將拓撲特征分析應(yīng)用于邊坡破壞過程表征的例子。所以本文引入持續(xù)同調(diào)理論，對邊坡進行拓撲特征描述。這具有極為重要的工程和科學(xué)意義。工程方面，運用離散元方法和持續(xù)同調(diào)理論，可以對邊坡處于外荷載作用下的破壞特征進行研究，從而可以更好地了解邊坡的破壞機理，為工程防護提供理論依據(jù)。其科學(xué)意義在于，通過在邊坡上應(yīng)用持續(xù)同調(diào)理論，研究其拓撲特征，將持續(xù)同調(diào)拓撲特征與邊坡失穩(wěn)特征聯(lián)系，推廣了理論的應(yīng)用范圍，驗證了理論的正確性及適用性。

近年來，持續(xù)同調(diào)在圖像處理和目標識別等領(lǐng)域取得了很大的進展。張景亮等[14]運用持續(xù)同調(diào)和單純復(fù)行同調(diào)群的計算方法對圖像進行分類和識別。通過計算單純復(fù)形的同調(diào)得到相應(yīng)的條形碼，基于該條形碼來獲取圖像的拓撲特征以及相應(yīng)的幾何結(jié)構(gòu)信息。

本文采用離散元軟件UDEC，對邊坡穩(wěn)定性進行了研究，分析了其失穩(wěn)破壞過程，并分析了不同時間段邊坡的力學(xué)行為。最后對邊坡進行拓撲分析，運用軟件自帶的強度折減法得出邊坡整體的安全系數(shù)來判別穩(wěn)定性，把邊坡看成是由各巖塊組成的多尺度結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò),并借助持續(xù)同調(diào)理論分析邊坡的拓撲特征，獲得條碼圖，然后將持續(xù)同調(diào)理論和支持向量機的方法結(jié)合，對邊坡條碼圖進行特征提取，保留了與其類別相關(guān)的主要特征，建立了邊坡失穩(wěn)與其拓撲特征的聯(lián)系，并基于條碼圖參數(shù)來描述邊坡的損傷演化規(guī)律。具體執(zhí)行流程如下。

由于持續(xù)同調(diào)研究的是拓撲特征，不同的邊坡在材料、所處狀態(tài)及邊界約束條件等方面可能不盡相同，但都會經(jīng)歷一個從裂縫生成、積累演化到致使邊坡最終失穩(wěn)破壞的過程。如果將整個邊坡看成一個由巖塊組成的網(wǎng)絡(luò)，那么這個網(wǎng)絡(luò)的演化規(guī)律是一致的，即其內(nèi)在的拓撲特征是相同的。將本文結(jié)果與強度折減法等傳統(tǒng)失穩(wěn)判據(jù)相比，結(jié)果也具有一致性。所以該研究方法及結(jié)果具有廣泛適用性。

2 持續(xù)同調(diào)理論

2.1 單純復(fù)形

單純復(fù)形是通過不同的單純形連接起來而構(gòu)成的，其邊界即表面。RN空間中，單純復(fù)形滿足如下定義。

K包含K中單形的每一個面；

K中任何兩個單形的交是其每個單形的面。

由定義可知，單純復(fù)形中兩個不同的單純形，其交點必須是公共點。如本文可以用線段(一維單純形)連接兩個三角形(二維單純形)來形成一個單純復(fù)形。構(gòu)成單純復(fù)形的最高維單純形的維數(shù)就是它的維度。顯然圖1的復(fù)形就是二維單純復(fù)形，因為構(gòu)成它的最高維單純形為二維的三角形。

同時要注意區(qū)分特殊的單純形和單純復(fù)形。如同樣是三角形，一個是三條邊首尾相接，那么該單純復(fù)形就是由1維單純形構(gòu)成的。而如果把這個三角形內(nèi)部填滿，即可以取到內(nèi)部的每一個點，那就是2維單純形，它是一個單純形。這就凸顯了涂色的重要性。

單純形的表面是其邊界，當描述單純形或復(fù)形的時候，傳統(tǒng)地在單純形表面染色使其清楚地表明它是固體。如在畫圖時，本文將三個1維單純形首尾相接后仍是1維單純復(fù)形，盡管其看起來很像2維單純形。如果在表面涂上色，那就可以確定它是一個得到填充的2維單純形，如圖3所示。

2.2 同調(diào)群

群是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用來描述所有具有對稱概念的東西，如今已發(fā)展成為一個完整的數(shù)學(xué)體系群論。群是一個很普遍的概念，可以應(yīng)用在很多對象上。如數(shù)學(xué)中的等邊三角形具有對稱軸，而且在旋轉(zhuǎn)120°以后可以回到原來的結(jié)構(gòu)，那么這種幾何結(jié)構(gòu)就可以用群來描述，群論為表述這類操作提供了很好的工具。群的準確定義為

一個集合G以及其上定義的一個二元運算就構(gòu)成了群，該二元運算將a,b∈G映射到c∈G,寫作a*b=c(?a,b,c∈G)。當這個集合和定義的二元運算滿足以下三個條件時，便是有效的群。

圖1 2維單純復(fù)形

圖2 涂色區(qū)別

圖3 各維單純形

(1) 結(jié)合律

?a,b,c∈G,(a*b)*c=a*(b*c)

(2) 單位元。存在一個元素e∈G，G的元素a與e進行二元運算以后，仍映射回集合G中該元素本身，即a*e=e*a=a成立。而且該元素是唯一的，那么本文把e稱為單位元素。

(3) 逆元。若任意a∈G，存在一個元素b∈G，使得a*b=b*a=e成立，其中e為單位元素，則b為a的逆元。如整數(shù)集和加法運算就可以構(gòu)成一個群。因為兩個數(shù)相加交換律(a+b)+c=a+(b+c)，而且整數(shù)集中存在單位元0，任何數(shù)和0相加都得到其本身。任何元素的相反數(shù)就是其逆元，因為相反數(shù)與原數(shù)相加的和為單位元0。

(4) 同調(diào)群。第k個同調(diào)群是商群Hk=Zk/Bk。第k個同調(diào)群的序列稱為第k個貝蒂數(shù)，并且滿足βk=rankHk=rankZk-rankBk。

直觀地來看，b0表示連通件的個數(shù)，b1表示一維孔洞數(shù)，b2表示由面圍成的三維孔洞，更高維的依次類推。如一個環(huán)面的貝蒂數(shù)應(yīng)該是b0=1，b1=2，b2=1。分別表示一個連接組件，兩個一維孔，一個三維孔。

2.3 持續(xù)同調(diào)

持續(xù)同調(diào)是在同調(diào)的基礎(chǔ)上引入了持續(xù)性，是同調(diào)的推廣。同調(diào)是一個靜態(tài)概念，而持續(xù)同調(diào)是一個變化的動態(tài)的過程。同調(diào)計算是在單純復(fù)形上進行的，而持續(xù)同調(diào)則是在過濾嵌套復(fù)形上進行計算的，是一個持續(xù)的變化過程。持續(xù)同調(diào)的計算與同調(diào)群是密切相關(guān)的。

3 數(shù)值仿真

3.1 計算模型

離散元模型的建立參照江坪河水電站廠房后巖質(zhì)邊坡的實際情況，該邊坡因臨空面傾角很大，風(fēng)化卸荷裂隙發(fā)育，最低處高程約為 380 m，坡高 100 m～120 m，垂直河流方向發(fā)育。邊坡主要為厚層灰?guī)r和泥灰?guī)r經(jīng)風(fēng)化和雨水侵蝕作用下形成的邊坡。強風(fēng)化巖體水平深度 5 m～10 m，斷層與層面以小角度傾向坡內(nèi)，組成不穩(wěn)定楔體的可能性不大。在各類結(jié)構(gòu)面中，順坡向陡傾角卸荷裂隙發(fā)育，其深度為 1 m～10 m，是影響邊坡穩(wěn)定的控制性結(jié)構(gòu)面。本文參照上述實際邊坡，采用離散元軟件UDEC對邊坡失穩(wěn)過程進行了數(shù)值模擬計算，離散元模型如圖4所示，本文設(shè)置的整個巖質(zhì)邊坡高20 m，寬25 m，危巖高20 m，危巖設(shè)有豎直和水平兩個方向的節(jié)理，間距2 m。巖塊可以平移和轉(zhuǎn)動，而節(jié)理則可以壓縮和分離。所以該模型還允許產(chǎn)生巖塊脫落等大變形。巖體和節(jié)理的物理力學(xué)參數(shù)列入表1和表2。

圖4 巖質(zhì)邊坡模型

3.2 巖體動態(tài)響應(yīng)分析

把危巖的右側(cè)和底部設(shè)置為粘性接觸，頂部和左側(cè)為自由邊界，不施加約束。然后在底部施加一個大小為10 MPa，頻率為30 Hz的余弦地震波。然后通過UDEC軟件進行計算。圖5～圖12是多次加載下巖體的變化響應(yīng)。

通過分析破壞過程，可以看到當進行第一次加載時，最外層的三個巖塊已經(jīng)發(fā)生了輕微的滑移，內(nèi)部巖體由于外層巖體的約束作用，基本上處于穩(wěn)定狀態(tài)，而且靠得比較緊密，沒有出現(xiàn)大的分離。當進行第二次加載時，可以看到最外層巖塊發(fā)生了較大滑移，靠里一層的頂部也稍有下陷。第三次加載作用下，這兩層巖塊破壞趨勢進一步明顯。當進行第四次加載時，邊坡基本發(fā)生滑移破壞，最外層巖塊紛紛掉落。從整體的位移云圖也可以看出，隨著荷載作用次數(shù)的增加，邊坡整體位移增大，只不過最外層的位移增長要明顯快于邊坡內(nèi)部。同時還可以看出，帶有節(jié)理的巖質(zhì)邊坡發(fā)生滑移破壞時，會形成明顯的滑移帶。

圖5 第一次加載破壞

圖7 第二次加載破壞

圖8 第二次加載位移

圖10 第三次加載位移

圖11 第四次加載破壞

圖12 第四次加載位移

4 拓撲特征的選擇及持續(xù)同調(diào)與邊坡破壞關(guān)聯(lián)性的建立

4.1 特征選擇

為了在支持向量機中實現(xiàn)拓撲方法，本文參考文獻[15]的11條條碼圖統(tǒng)計量來表征邊坡的拓撲結(jié)構(gòu)信息。從貝蒂0和貝蒂1條碼信息中選擇不同的統(tǒng)計量表征邊坡類型特征信息。條碼的長度和位置值以埃為單位。

4.2 持續(xù)同調(diào)與邊坡破壞關(guān)聯(lián)性的建立

得到了邊坡在地震荷載作用下的動態(tài)破壞過程以后，接下來就要找到以上有代表性的幾個時刻，找到土顆粒的質(zhì)心坐標，用Javaplex進行計算，并繪制條碼圖。

第一次加載時的破壞圖可以看出外層巖體出現(xiàn)了微小滑移，內(nèi)部巖體基本處于穩(wěn)定狀態(tài)。通過觀察對應(yīng)的條碼圖，發(fā)現(xiàn)0維貝蒂數(shù)大多在1附近，少部分超出了1。說明在地震載荷的作用下，最外層巖塊發(fā)生松動，位移有所增大。再看1維貝蒂數(shù)，線條多且持續(xù)時間短，第一次加載時，巖塊之間靠得相對緊密，圍成的孔洞較小。

表3 支持向量機中使用的拓撲特征

從第二次加載的條碼圖可以看出，相對于第一次加載，最長貝蒂1有所變長，同時線條更稀疏。這說明部分細裂紋已貫通合并，形成數(shù)量較少但更寬的宏觀裂縫。

0維貝蒂數(shù)增長，說明邊坡的巖塊整體上發(fā)生了松動，位移有所增長。1維貝蒂數(shù)仍然較為稀疏，貝蒂1最長值起于1.35，止于2.1，長度為0.75，最長貝蒂1長度有所增長。比較圖13和圖14可以看出，對邊坡裂隙起主導(dǎo)作用的最長貝蒂1的終止值迅速后移，長度也變長。說明決定邊坡最終穩(wěn)定性的主裂隙寬度迅速增加，此時邊坡整體上已經(jīng)處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)。

圖13 第一次加載條碼

圖14 第二次加載條碼

從圖16可以看出，0維貝蒂數(shù)條碼底部增長明顯，頂部基本維持在1.5～2.5。1維貝蒂數(shù)中相比于圖15根數(shù)基本沒變，但底部的幾根線條變長，說明隨著第四次荷載的作用，孔洞數(shù)沒變，但是原來較小的孔洞有所變大。同時較遠處出現(xiàn)了一個持續(xù)時間較短的線條，1維條碼發(fā)生突變，說明邊坡此時形成了更大的孔洞。邊坡此時發(fā)生了滑移破壞。

現(xiàn)分別就4個過程的貝蒂0和貝蒂1的條碼，選取幾個有代表性的特征，即特征5、特征6及特征8進行分析。原則上，特征選取是根據(jù)其每個特征所反映的側(cè)重點的不同，結(jié)合邊坡這類工程特征實際，選取最能反映其變化過程以及本質(zhì)的特征。之所以選這三個特征，是因為通過對比上述拓撲特征可以發(fā)現(xiàn)，它們有一個共同的特點，即都與邊坡的裂縫有關(guān)，而裂縫是決定邊坡穩(wěn)定性的最關(guān)鍵的因素。特征5反映主裂縫的持續(xù)時間以及變化特征，特征6反映邊坡的最大主裂縫的大小及變化趨勢，特征8反映邊坡整體的裂縫發(fā)育水平。

圖15 第三次加載條碼

圖16 第四次加載條碼

首先是特征5，它的內(nèi)容是最長貝蒂1的起始值，其反映的拓撲特征是最長環(huán)形成時的過濾值，即最大的裂縫從開始形成到完全破壞的持續(xù)時間。這四個時刻的最長貝蒂1的起始值分別為1.35，1.4,1.35,1.2，終止值分別為1.75,2,2.1,1.75(均按時間增加順序排列)?，F(xiàn)將起始值和終止值用折線圖的形式表達出來，便于觀察其變化規(guī)律。折線如圖17和圖18所示。

圖17 特征5折線

圖18 特征6折線

可以看出，最長貝蒂1的起始值和終止值開始均有所增加，只不過終止值增加更快，且在第三次加載時達到峰值，然后迅速下降。而起始值開始略微增加，在第二次達到拐點，然后逐漸減小，但變化趨勢較終止值更慢。這種趨勢反映出邊坡里的裂縫逐漸變大，而且有著整體往寬擴張的趨勢，直到第三次加載時，達到峰值，邊坡也處于臨界狀態(tài)，即將發(fā)生失穩(wěn)滑移破壞。

接下來分析特征6即最長貝蒂1條碼的長度，最長貝蒂1表示最大的孔洞的持續(xù)值。而最大孔洞即最大主裂縫，決定著邊坡最終的穩(wěn)定狀態(tài)?？梢钥闯?，最長貝蒂1從初次加載時的0.4逐漸增加，到第三次加載時，達到峰值，此時邊坡處于臨界狀態(tài)。第三次加載后，長度越過最大值 0.75,開始逐漸減小。這說明主裂縫在第三次加載時達到最大，之后邊坡發(fā)生失穩(wěn)破壞。這與前面結(jié)合條碼圖分析得出的結(jié)論一致。

接下來分析特征8所表達的拓撲特征。折線如圖19所示。特征8反映的拓撲特征是邊坡的平均裂縫寬度?？梢钥闯?，最長貝蒂1的平均長度從初次加載開始就逐漸增加，只不過速度比較平緩。而第三次加載后，曲線開始迅速上揚，說明第三次加載時的邊坡狀態(tài)是演變過程中的一個拐點。這說明開始時邊坡整體裂縫增長緩慢，直到荷載加載到第三次時，邊坡達到臨界狀態(tài)，越過這一狀態(tài)，邊坡整體上裂縫迅速發(fā)展，隨即發(fā)生了失穩(wěn)破壞。

圖19 特征8折線

5 總 結(jié)

從以上模擬可以看出，基于支持向量機理論的持續(xù)同調(diào)特征選擇可以很好地解釋邊坡的變化過程以及拓撲特征，主要結(jié)論如下。

(1) 將一種全新的數(shù)學(xué)方法，即持續(xù)同調(diào)，引入邊坡安全設(shè)計與災(zāi)害預(yù)報研究領(lǐng)域，通過外載荷作用下邊坡的破壞特征研究，證明持續(xù)同調(diào)用于邊坡工程領(lǐng)域的可行性和準確性。

(2) 基于離散元法得到邊坡在載荷作用后的動力響應(yīng)和裂縫演化過程，運用持續(xù)同調(diào)數(shù)學(xué)方法對邊坡的破壞特征進行研究。結(jié)果表明，隨著荷載的持續(xù)作用，0 維貝蒂數(shù)發(fā)生少量變化，即外力改變了土顆粒結(jié)構(gòu)分布，0 維e整體呈現(xiàn)變大趨勢，反映出了邊坡在完全失穩(wěn)前逐漸松動，且從 1 維貝蒂數(shù)的孔洞數(shù)可以看出，最長貝蒂1條碼的長度表示拓撲特征中最大孔洞的大小，決定了邊坡的演變特征和失穩(wěn)過程，因而是所有特征中最能直觀反映邊坡破壞程度的。

(3) 貝蒂1條碼的突變意味著邊坡發(fā)生了失穩(wěn)破壞，所以可以通過條碼圖特征對邊坡失穩(wěn)進行預(yù)測。利用探測雷達等手段掃描邊坡的內(nèi)部幾何結(jié)構(gòu)，即可用持續(xù)同調(diào)的方法對其進行拓撲特征分析，還可以將數(shù)據(jù)用到支持向量機和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，即可對邊坡的防護工程設(shè)計和評估進行智能化且精確化研究，這為邊坡安全設(shè)計與災(zāi)害預(yù)報研究提供了一種全新的思路。