一種求算結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的新方法

夏 雨， 張澤俊， 余穎燁， 劉敬敏

(廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，柳州 545006)

1 引 言

在結(jié)構(gòu)分析中，材料、載荷和幾何特性都存在不確定性。因此，為了對(duì)工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行有意義的分析，必須考慮不確定性[1-3]。結(jié)構(gòu)可靠性理論是將不確定性影響引入分析過程的工具[4]。

在可靠度計(jì)算問題的分析中，工程的失效概率可歸結(jié)于多元變量區(qū)域積分問題，通常涉及到隨機(jī)變量的多維積分會(huì)使計(jì)算非常困難，特別是在大而復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或具有低失效概率的結(jié)構(gòu)中。而一般的模擬方法通常很費(fèi)時(shí)費(fèi)力[5]。將功能函數(shù)線性化的一次二階矩法(JC法)應(yīng)用在工程結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算中公認(rèn)為一種有效的方法[6]，但其只適用于功能函數(shù)非線性較低的情況，非線性程度較高時(shí)，該方法往往不收斂，給結(jié)構(gòu)的可靠性分析帶來困難。

為了實(shí)現(xiàn)可靠度及結(jié)構(gòu)最可能失效的設(shè)計(jì)點(diǎn)MPP有效而快速的求解，None[7]提出該點(diǎn)位于極限狀態(tài)曲面上，它與標(biāo)準(zhǔn)法向坐標(biāo)系或u-空間(所有變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差)之間的距離最小。設(shè)計(jì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為β表示的可靠性指標(biāo)。利用β的幾何意義，將可靠度求解歸結(jié)于求解含約束的最優(yōu)問題[8]

(1)

式中Y=(y1,y2,…,yn)Τ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，Y*為設(shè)計(jì)點(diǎn)，G(Y)為結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)。G(Y)<0和G(Y)>0分別為結(jié)構(gòu)的失效域和安全域，G(Y)=0為極限狀態(tài)面。

對(duì)此Hasofer等[9]根據(jù)基本隨機(jī)變量的分布信息擴(kuò)展了迭代公式，提出HLRF法，但還沒解決極限狀態(tài)函數(shù)非線性程度高時(shí)迭代不收斂的問題。Zhang等[10]提出用Armijo算法和Wolfe條件來選擇步長(zhǎng)的改進(jìn)HLRF法(iHLRF法)，Keshtegar等[11,12]提出通過使用松弛HL-RF擬合二階函數(shù)來提高FORM公式的魯棒性，同時(shí)引入共軛梯度法提高HLRF法的收斂速度。周生通等[13]提出一種新的搜索準(zhǔn)則，利用已有信息估算計(jì)算參數(shù)的aHLRF法，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)計(jì)算可靠度指標(biāo)，收斂性得到保證。但這些算法對(duì)初始參數(shù)的選取敏感性較高，不同的初始參數(shù)值對(duì)迭代速度影響較大。

貢金鑫等[14,15]在迭代點(diǎn)沿負(fù)梯度方向以一定的步長(zhǎng)限制迭代的發(fā)散，提出有限步長(zhǎng)法，但該方法在初始步長(zhǎng)選擇不當(dāng)時(shí)并不能收斂。對(duì)此吳狄等[16]提出自動(dòng)變步長(zhǎng)的搜索方法，避免了步長(zhǎng)的試算，但該方法相對(duì)在收斂速度方面有一定影響。周凌等[17]引入黃金分割法求解合適的步長(zhǎng)，但同時(shí)引入更多的初始參數(shù)，增加了收斂的不確定性。

本文在可靠度指標(biāo)β的幾何意義的基礎(chǔ)上，提出一種新的求解可靠的指標(biāo)和設(shè)計(jì)點(diǎn)的方法。該算法不同于有限步長(zhǎng)法和HLRF法的步長(zhǎng)搜索方式，采取曲面搜索，不需要預(yù)先設(shè)置初始參數(shù)，簡(jiǎn)單有效，具有較強(qiáng)的魯棒性。

2 算 法

2.1 算法原理

本文在求解式(1)時(shí)，由于目標(biāo)函數(shù)的特殊性，使用針對(duì)性的方法而不依賴于現(xiàn)代優(yōu)化方法。式(1)可理解為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，求一最小值β,以β為半徑，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)o為球心的超球體相切于極限狀態(tài)面。當(dāng)可靠度指標(biāo)收斂時(shí)，如圖1所示，點(diǎn)y*和原點(diǎn)o的連線I必與極限狀態(tài)面正交，即線I與極限狀態(tài)函數(shù)在y*處的法向量n共線，根據(jù)此特點(diǎn)，本文提出一種求解可靠度思想，該思想分為兩部分，一是當(dāng)超球體與極限狀態(tài)面相離時(shí)，迭代點(diǎn)在安全域中向極限狀態(tài)面靠近，可靠度指標(biāo)β增加，該過程即是超球體的擴(kuò)張過程，一直持續(xù)到超球體與極限狀態(tài)面相切或相交；二是當(dāng)超球體與極限狀態(tài)面相交時(shí)，沿極限狀態(tài)面搜索求得另一設(shè)計(jì)點(diǎn)，該設(shè)計(jì)點(diǎn)相對(duì)上一迭代點(diǎn)與原點(diǎn)o的距離更小，可靠度指標(biāo)β減少，該過程即是超球體的縮小過程，一直持續(xù)到超球體與極限狀態(tài)面相切，得出最終的驗(yàn)算點(diǎn)和可靠度指標(biāo)。

2.2 計(jì)算方法

根據(jù)此思想，提出以下計(jì)算方法：

設(shè)X=(x1,x2,…,xn)Τ是與設(shè)計(jì)問題相關(guān)的n個(gè)原始隨機(jī)變量的向量，分布函數(shù)為Fi(xi)(i=1,2…,n)。設(shè)X表示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

ZX=G(X)

(2)

在變量X的隨機(jī)分布空間中，變量X與之對(duì)應(yīng)的等效標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間(Y空間)的變量Y的函數(shù)關(guān)系為

(i=1,2…,n)(3)

結(jié)構(gòu)功能函數(shù)對(duì)應(yīng)于Y空間有

圖1 二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下設(shè)計(jì)點(diǎn)與極限狀態(tài)面關(guān)系

ZY=G{F-1[Φ(Y)]}=gY(y1,y2,…,yn)

(4)

β(k)=‖y(k )‖

(5)

該點(diǎn)在極限狀態(tài)函數(shù)上的梯度矢量為

(6)

(1) 當(dāng)y(k )在極限狀態(tài)面的安全域時(shí)，g(y(k ))>0。下一迭代以負(fù)梯度方向靠近極限狀態(tài)面，即

g(y(k + 1))=g(y(k )-α(k )gY)=0

(7)

式中α(k )為迭代步長(zhǎng)。在下一迭代點(diǎn)用泰勒級(jí)數(shù)展開，并取一次項(xiàng)：

(8)

求解式(8)可得步長(zhǎng)

(9)

下一迭代點(diǎn)為

(10)

(2) 當(dāng)y(k )在極限狀態(tài)面時(shí)，g(x(k ))≈0。有經(jīng)過該點(diǎn)的切平面，方程為

Q(Y)=(y-y(k ))ΤgY=0

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

下一迭代點(diǎn)為

(18)

(19)

式中λ∈(0，1)。對(duì)λ的求解，其實(shí)是簡(jiǎn)單固定方向的一維線性搜索，即對(duì)于該類問題一般可以用黃金分割法、二分法和最速下降法或Newton法等方法均可有效求解。也可展開泰勒級(jí)數(shù)一次項(xiàng)，有

(20)

求解式(20)得

(21)

圖時(shí)迭代過程

圖時(shí)迭代過程

內(nèi)循環(huán)過程。經(jīng)驗(yàn)表明[6,13,18]，取ε2<1e -5即可保證點(diǎn)y(k + 1)基本在極限狀態(tài)面上。

‖y(k + 1)-y(k )‖<ε

(23)

式中ε為收斂精度，可取ε=0.001。

2.3 算法迭代步驟

綜上所述，迭代步驟如下。

(1) 將原始隨機(jī)變量X空間替換為等效標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)Y空間。

(2) 選取初始點(diǎn)y(0)(一般取均值點(diǎn))，精度ε>0,ε1>0,ε2>0,k=0,t=0。

(3) 由式(10)得點(diǎn)y(k )，k=k+1。

(4) 檢驗(yàn)y(k )是否滿足g(y(k ))<ε1,若滿足，轉(zhuǎn)步驟(5)；否則，轉(zhuǎn)步驟(3)。

(7) 由式(15，17)求解β(k + 1)。

(8) 由式(18)求得y(k + 1)，k=k+1。

(9) 檢驗(yàn)是否滿足式(23)，若滿足，停止迭代，由式(5)得到β；否則，轉(zhuǎn)步驟(5)。

(11) 由式(21)求得步長(zhǎng)λ,并由式(19)得到y(tǒng)(k + 1),t=t+1。

3 數(shù)值算例

算例1和算例2選自文獻(xiàn)[15]，收斂精度取ε=0.001,本文方法ε1取0.001，ε2取1×10-5。

算例1設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)為

式中x1和x2為相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且x1～N(3.0，1),x2～N(2.9，1)。將原始正態(tài)變量x1和x2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量y1和y2,其對(duì)應(yīng)Y空間的功能函數(shù)為

gY(y)=(3.0+y1)3+(2.9+y2)3-4.0

JC法和本文方法的外循環(huán)迭代過程如圖4所示，可以看出該算例的非線性程度還是比較高的，JC法和HL-RF法無法收斂。但是使用本文的方法，卻可以平穩(wěn)收斂。由表1可知，本文方法的外循環(huán)迭代次數(shù)8次，相對(duì)于其他方法，本文方法的迭代次數(shù)大大減少；內(nèi)循環(huán)迭代7次，此過程為一維固定方向的尋優(yōu)過程，其他方法則是步長(zhǎng)的調(diào)整過程。較其他方法，本文在此環(huán)節(jié)上是比較輕松的。文獻(xiàn)[14]的有限步長(zhǎng)法不需要進(jìn)行內(nèi)循環(huán)，但取不同參數(shù)時(shí)迭代次數(shù)會(huì)大幅度增長(zhǎng)，如取步長(zhǎng)調(diào)整系數(shù)為1.2，則步長(zhǎng)取為5時(shí)需迭代280次才能收斂，取步長(zhǎng)為10和2時(shí)則不收斂；取步長(zhǎng)為1時(shí)，取步長(zhǎng)調(diào)整系數(shù)為1.3需要39次才能收斂，取步長(zhǎng)調(diào)整系數(shù)為1.5需22次才收斂。文獻(xiàn)[10]的iHLRF法和文獻(xiàn)[13]的aHLRF法同樣受參數(shù)干擾很大，不同的參數(shù)對(duì)其內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)有較大的影響。如圖5所示，本文方法取外循環(huán)部分，同 JC法和有限步長(zhǎng)法相比有更高的穩(wěn)健性。

圖4 算例1的迭代點(diǎn)分布

圖5 算例1的可靠度指標(biāo)迭代分布

本文方法最終驗(yàn)算點(diǎn)為(-1.7269，-1.6536)，該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線和極限狀態(tài)函數(shù)在該點(diǎn)處的法線夾角θ=0.0144°,功能值為g(y(8))=3.0119×10-7,而文獻(xiàn)[15]方法的夾角θ=0.127°,θ值越小，計(jì)算結(jié)果的精度越高。說明本文方法在相同精度下，能夠得到更接近精確驗(yàn)算點(diǎn)的迭代點(diǎn)。本文方法在精度和效率上都有足夠的優(yōu)勢(shì)。

算例2設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為

GX(x)=(1/P)ln{exp[P(1+x1-x2)]+

exp[P(5-5x1-5x2]}

式中x1和x2服從標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布且相互獨(dú)立。P為該功能函數(shù)的參數(shù)，當(dāng)取P不同值時(shí)，極限狀態(tài)面如圖6所示，極限狀態(tài)函數(shù)的非線性隨P值增大而提高，可以看出，在P=1和10時(shí)，驗(yàn)算點(diǎn)附近的都有很高的非線性。

算例2使用JC法和HLRF法都無法收斂，本文提出的方法則表現(xiàn)良好，計(jì)算結(jié)果列入表2。

表1 算例1計(jì)算結(jié)果

表2 算例2計(jì)算結(jié)果Tab.2 Results of example 2

aHLRF法較iHLRF法有更高的效率，本文方法與aHLRF法對(duì)比可知，本文的方法在極限狀態(tài)函數(shù)的非線性越高時(shí)，效率上的優(yōu)勢(shì)更明顯，當(dāng)P=10時(shí)，本文方法的迭代速度是aHLRF的十幾倍。本文方法的不足之處在于內(nèi)循環(huán)的迭代次數(shù)較多，但可以通過其他尋優(yōu)方法解決，精度一致時(shí)，并不影響外循環(huán)的迭代次數(shù)和結(jié)果。

有限步長(zhǎng)法選擇不同的參數(shù)有不同的收斂性和收斂速度，取步長(zhǎng)為1，當(dāng)P=1時(shí)迭代17 次，θ=2.3740°，P=10時(shí)迭代36次，θ=13.91°，本文方法計(jì)算的結(jié)果精度更高。迭代過程如圖7和 圖8 所示?？梢钥闯?，本文方法的迭代更穩(wěn)健，且并不會(huì)因?yàn)楣δ芎瘮?shù)非線性程度高而分散迭代點(diǎn)。

圖6 算例2中不同P值對(duì)應(yīng)的失效面

圖7 P=1時(shí)的迭代點(diǎn)分布

圖8 P=10時(shí)的迭代點(diǎn)分布

4 結(jié) 論

在可靠性分析中，JC法是一種推薦和廣泛使用的確定可靠度指標(biāo)和工程設(shè)計(jì)點(diǎn)的方法，但該方法在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)非線性程度較高時(shí)容易不收斂。本文提出一種新的迭代算法，該算法通過沿曲面搜索得到更合適的設(shè)計(jì)點(diǎn)來保證收斂性。這里迭代點(diǎn)的位置是由輔助點(diǎn)控制的，不需要通過步長(zhǎng)的調(diào)整來保證收斂，因此可以避免其他算法對(duì)初始參數(shù)的嘗試過程和不同的參數(shù)帶來的收斂效率的影響。算例表明本文方法具有良好的收斂速度和計(jì)算精度，特別在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)非線性高時(shí)很有效。在具有高非線性的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)工程的設(shè)計(jì)點(diǎn)計(jì)算和可靠性分析中有很好的應(yīng)用前景。