新型冠狀病毒傳播的數(shù)學(xué)模型研究綜述

王雨 孟鳳娟 施俊 王昊杰 董雯

摘要：以新型冠狀病毒的傳播作為研究對(duì)象，通過(guò)文獻(xiàn)查閱的方式對(duì)病毒的傳播機(jī)制進(jìn)行了研究，查找并梳理了研究新型冠狀病毒傳播的相關(guān)模型，傳播動(dòng)力學(xué)模型和基于時(shí)變參數(shù)的模型;總結(jié)了在不同因素作用下各模型的改進(jìn)，多倉(cāng)室因素下的傳染病動(dòng)力學(xué)模型、多時(shí)段動(dòng)態(tài)時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型、考慮社交隔離的SEIRS模型和引入隱形傳播者的SEIR模型;最后，結(jié)合近期研究的離散模型，介紹了數(shù)據(jù)擬合的方法在離散模型中的應(yīng)用，并說(shuō)明數(shù)學(xué)模型對(duì)疫情防控的重要指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：新型冠狀病毒;數(shù)學(xué)模型;傳播動(dòng)力學(xué)模型;時(shí)變參數(shù);

中圖分類(lèi)號(hào)：O242.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-7394（2021）06-0089-08

新型冠狀病毒肺炎疫情自2019年暴發(fā)至今，仍在全球多個(gè)國(guó)家和地區(qū)肆虐。除生物醫(yī)藥、衛(wèi)生醫(yī)療等直接服務(wù)于疫情控制的學(xué)科和行業(yè)外，其他學(xué)科的學(xué)者也在運(yùn)用專(zhuān)業(yè)知識(shí)積極投身于這場(chǎng)全球疫情阻擊戰(zhàn)。在病毒傳播階段，用合適的數(shù)學(xué)模型可以分析和預(yù)測(cè)其發(fā)展態(tài)勢(shì)，從而為各種防疫措施提供有效參考。當(dāng)前，對(duì)新型冠狀病毒傳播進(jìn)行分析預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型大體可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是運(yùn)用傳播動(dòng)力學(xué)模型（SIR模型、SEIR模型）對(duì)疫情的傳播建模;另一類(lèi)是基于時(shí)變參數(shù)的數(shù)學(xué)模型（一般增長(zhǎng)模型、Logistic模型）對(duì)現(xiàn)有數(shù)據(jù)的擬合。此外，也有學(xué)者通過(guò)引入新的參數(shù)或?qū)深?lèi)模型結(jié)合，從而提出新的思路與見(jiàn)解。

1傳統(tǒng)模型的改進(jìn)

1.1傳播動(dòng)力學(xué)模型

1.1.1SIR模型

SIR模型是最為普遍的數(shù)學(xué)模型，其基本思想是將所有人分為3種：易感者S，代表未被感染且不具有免疫力的群體;感染者I，代表具有一定傳染力的群體;移除者R，表示隔離、死亡及治愈且具有免疫力的群體，這部分人已退出傳染系統(tǒng)。這三類(lèi)群體會(huì)以一定的概率發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移，從而形成了“易感態(tài)—感染態(tài)—康復(fù)態(tài)”的動(dòng)力學(xué)模型，如式（1）所示：

其中，N為人口總數(shù)，β為感染者與易感染者的接觸傳染率，γ為感染者被治愈速率。

喻孜等人[1]認(rèn)為，此次的新型冠狀病毒傳播相比曾暴發(fā)過(guò)的SARS、MERS冠狀病毒有特殊之處，主要表現(xiàn)在總?cè)丝跀?shù)的穩(wěn)定性、人口流動(dòng)因素（非封閉性）、隔離措施、潛伏期因素和初期的診斷能力等幾個(gè)方面。所以，SIR模型在運(yùn)用方面有一定局限性，需要根據(jù)疫情發(fā)展的實(shí)際情況進(jìn)行合理地修正。

1.1.2SEIR模型

SEIR模型以SIR模型為基礎(chǔ)，考慮了傳染病的潛伏期因素，且假定潛伏期內(nèi)患者不具有傳染力。萬(wàn)時(shí)雨等人[2]認(rèn)為，新型冠狀病毒在潛伏期就具有傳染性，因此SEIR模型不能很好地模擬新型冠狀病毒的傳播趨勢(shì)。因此，學(xué)者們根據(jù)新型冠狀病毒的傳播特征，對(duì)SEIR模型進(jìn)行了改良。Musa Salihu S.等人[3]認(rèn)為，對(duì)輕度和重度病例采取不同的隔離措施，對(duì)疫情傳播發(fā)展具有重大影響，于是在SEIR模型中考慮了輕癥和重癥的隔離因素。朱翌民等人[4]認(rèn)為，針對(duì)不同類(lèi)型的感染者所需的防控措施應(yīng)有所不同，因此考慮了隔離措施和潛伏期感染者的特點(diǎn)，改進(jìn)了SEIR模型，在原有的四類(lèi)群體中加入了被隔離的患者。李棟等人[5]認(rèn)為，此次的新型冠狀病毒在潛伏期具有較強(qiáng)的感染能力，無(wú)法用SEIR模型描繪，于是構(gòu)建了具有更好靈活性的SISR模型。

1.2基于時(shí)變參數(shù)的模型

如果不考慮新型冠狀病毒的傳播機(jī)制，而直接從數(shù)據(jù)入手進(jìn)行擬合，則擬合效果與真實(shí)情況穩(wěn)合度一般不高。張琳[6]假設(shè)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率會(huì)隨著累計(jì)感染人數(shù)的變化而變化，然后再把這個(gè)變化的函數(shù)關(guān)系帶入感染人數(shù)增長(zhǎng)的微分方程，并擬合少量參數(shù)。

1.2.1一般增長(zhǎng)模型

在新型冠狀病毒傳播初期，因?yàn)閭鞑サ募s束性較低，因而累計(jì)確診人數(shù)通常呈指數(shù)型增長(zhǎng)，見(jiàn)式（2）：

y′（t）=ry（t）。（2）

張琳[6]認(rèn)為，在很多已經(jīng)暴發(fā)的傳染病中，相比于指數(shù)增長(zhǎng)，次指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)在疫情傳播初期更為常見(jiàn)，如HIV/AIDS、埃博拉和手足口病等;通過(guò)引入可調(diào)參數(shù)p（增長(zhǎng)率的負(fù)加速度參數(shù)），得到預(yù)測(cè)累計(jì)感染人數(shù)的一般增長(zhǎng)模型，見(jiàn)式（3）：

y′（t）=ry（t）^p。（3）

通過(guò)對(duì)疫情發(fā)展關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)的劃分，全國(guó)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的擬合可分為三個(gè)階段。在這三個(gè)階段中，由方程（3）分別擬合參數(shù)r、p，可通過(guò)查詢(xún)某日累計(jì)確診病例數(shù)得到初期感染人數(shù)y₀。

1.2.2Logistic模型

Logistic模型最初用來(lái)模擬種群變化，但該模型同樣也可模擬傳染病的增長(zhǎng)趨勢(shì)。劉勝等人[7]認(rèn)為，該模型主要分為加速上升和減速上升至不變兩個(gè)階段，充分反映了傳染病中病毒傳播特性與人為干預(yù)對(duì)感染的影響，因此，Logistic模型能很好地描述新型冠狀病毒的傳播規(guī)律。

但Logistic模型只能預(yù)測(cè)累計(jì)感染人數(shù)，對(duì)現(xiàn)有確診人數(shù)則無(wú)法做到模擬。馮苗勝等人[8]在Logistic模型的基礎(chǔ)上，綜合考慮到SEIR模型可以模擬傳染病傳播過(guò)程中各類(lèi)人群數(shù)量的變化，于是對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了調(diào)整，提出Logistic與SEIR結(jié)合的模型;該模型既克服了Logistic模型不能預(yù)測(cè)確診人數(shù)的缺點(diǎn)，也克服了SEIR模型調(diào)參太多的缺點(diǎn)。

2考慮特殊因素的改進(jìn)數(shù)學(xué)模型

2.1多倉(cāng)室因素下的傳染病動(dòng)力學(xué)模型

作為研究傳染病傳播機(jī)理的定量方法，動(dòng)力學(xué)模型的發(fā)展有著舉足輕重的作用。學(xué)者們通常以SIR、SEIR模型作為基礎(chǔ)，構(gòu)建基于某種傳染病傳播特點(diǎn)及防控措施的傳染病模型。

桑茂盛等人[9]在倉(cāng)室傳染病模型的基礎(chǔ)上，考慮到新冠病毒的特征及其傳播特點(diǎn)，綜合新冠疫情中潛伏期的隔離情況、感染者癥狀的顯隱性等分類(lèi)，建立了一種新傳染病模型;結(jié)合COVID-19的傳播特點(diǎn)，作出如下基本假設(shè)：（1）新冠病毒感染者中有一部分無(wú)癥狀感染者，具備傳染性，無(wú)癥狀感染者不計(jì)入確診病例且經(jīng)過(guò)發(fā)病周期后自愈;（2）新冠病毒肺炎存在潛伏期，潛伏期的病毒攜帶者具有傳染性卻沒(méi)有病征;（3）新冠病毒有變異的可能，治愈者具備一定時(shí)間的免疫周期，超過(guò)免疫周期之后再次感染率較小;（4）感染者在醫(yī)院里治療時(shí)，有感染醫(yī)護(hù)人員的可能，但傳染的比率較小。

該模型建立了8個(gè)倉(cāng)室：易感染者（S）、未隔離潛伏感染者（E）、已隔離潛伏感染者（Q）、確診感染者⑴、無(wú)癥狀感染者（A）、確診治愈者（R）、無(wú)癥狀治愈者（F）、未治愈病死者（D）。其中：確診感染者（I）指已被感染且由醫(yī)學(xué)檢測(cè)確診的人群;確診治愈者（R）是指確診感染者經(jīng)治療后康復(fù)的人群;無(wú)癥狀治愈者（A）是指無(wú)癥狀感染者在一個(gè)發(fā)病周期后自行康復(fù)的人群。各倉(cāng)室之間的傳播狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示。

根據(jù)以上8個(gè)倉(cāng)室之間的關(guān)系，設(shè)定一系列參數(shù)構(gòu)建模型。8個(gè)倉(cāng)室代表著傳染周期中的不同人群，其隨時(shí)間的增長(zhǎng)率可用式（4）表示：

其中：γ₁、γ₂分別為未隔離潛伏期感染者被確診的速率和被隔離的速率;γ₃、γ₄分別為已隔離的潛伏期感染者被確診的速率和治愈者再次感染的速率;η是潛伏期感染者無(wú)癥狀的概率;B_A是無(wú)癥狀感染者的恢復(fù)速率;ω、ε分別指治愈者變?yōu)橐赘腥巳旱母怕?、醫(yī)院就診過(guò)程醫(yī)護(hù)人員被感染的概率;間接參數(shù)λ、α分別指潛伏期感染者隔離率和未隔離感染者病毒傳染率;β、κ分別為感染者被治愈的速率和比率。現(xiàn)存確診病例I（t）、累計(jì)治愈病例R（t）和累計(jì)死亡病例D（t）這幾組數(shù)據(jù)都可以從官方公布的信息中獲得，而累計(jì)確診病例由累計(jì)確診感染者cI（t）決定。通過(guò)搜集官方數(shù)據(jù)，代入式（5）對(duì)式（4）進(jìn)行驗(yàn)證：

cI′（t）=（1-λ）ηγ₁₁E（t）+γ₃Q（t）。（5）

該模型運(yùn)用多倉(cāng)室模型，考慮到潛伏期、未隔離感染者等特殊情況，能較準(zhǔn)確地揭示疫情傳播的機(jī)理;相比經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型，模擬精度更高，且對(duì)于不同地區(qū)的疫情預(yù)測(cè)具有普適性。但是，由于現(xiàn)實(shí)中疫情的傳播存在模糊性，與模型中界限明確的倉(cāng)室劃分不完全吻合，加之各國(guó)對(duì)疫情的管控能力、管理措施不盡相同，因此明確、絕對(duì)的倉(cāng)室劃分在實(shí)際運(yùn)用中還是存在一些缺陷。

2.2多時(shí)段動(dòng)態(tài)時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型

國(guó)外疫情暴發(fā)初期，人們不夠重視，同時(shí)確診檢測(cè)不及時(shí)，造成了記錄數(shù)據(jù)與實(shí)際感染人數(shù)差異較大的問(wèn)題，不利于疫情的分析。針對(duì)這種狀況，張李盈等人[10]基于中國(guó)真實(shí)疫情數(shù)據(jù)建立了多階段動(dòng)態(tài)模型。該模型以經(jīng)典的SEIR模型為基礎(chǔ)，將病毒傳播周期劃分為6個(gè)階段，用某一時(shí)刻的瞬時(shí)值處理各階段，因而可用于對(duì)國(guó)外疫情的分析。

該模型假設(shè)：（1）潛伏期的感染者可以傳播病毒，其感染性低于確診的感染者;（2）不考慮二次感染;（3）在政府的管控下，能及時(shí)診斷并隔離所有感染者。假設(shè)確診感染者一天內(nèi)接觸到的易感者數(shù)量為Q₁（t），潛伏期感染者一天內(nèi)接觸到的易感者數(shù)量為Q₂（t），兩者都是關(guān)于時(shí)間的遞減函數(shù)且具有指數(shù)形式，則Q₁（t），Q₂（t）的分時(shí)段表達(dá)如式（6）、式（7）所示：

其中：n₁、n′₁分別代表第一階段確診感染者和潛伏期感染者每天接觸到的易感者人數(shù);n₂、n₃分別代表第二階段、第二階段后期確診感染者每天接觸到的易感者最小值;n'2、n'3分別代表第二階段、第二階段后期潛伏期感染者每天接觸到的易感者最小值;κ₁、κ₂分別代表階段二、階段三確診者的指數(shù)遞減速率;κ′₁、κ′₂分別代表階段二、階段三潛伏期感染者的指數(shù)遞減速率。

不同階段的疫情傳播狀況和政策實(shí)施決定感染者的有效接觸率，根據(jù)以上不同時(shí)段的傳播特征參數(shù)，有模型（8）：

其中，α_1i、α_2m（i=1，2，3;m=1，2，3）分別指確診感染者、潛伏期感染者每天接觸易感者數(shù)量，β_1j、β_2n（j=1，2，3;n =1，2，3）分別指不同時(shí)期易感者接觸確診感染者、潛伏期感染者的概率。式（6）和式（7）的區(qū)別在于，不同疫情防控階段對(duì)應(yīng)的系數(shù)α_1i、α_2m、β_1j、β_2n不同：第一階段為暴發(fā)初期，設(shè)定確診感染者的傳染率為β₁₁，有效接觸人數(shù)為α₁₁，潛伏期感染者的傳染率為β₂₁，有效接觸人數(shù)為α₂₁;第二階段為隔離政策下的傳播期，由于政策的有力實(shí)施，感染者接觸健康人群使其感染的概率降低，其中潛伏感染者和確診感染者的有效接觸率分別為β₁₂，β₂₂;第三階段為緊急預(yù)防期，由于上一階段政策的實(shí)施，隔離力度加大，感染者的接觸率降低，潛伏感染者和確診感染者的有效接觸率分別為β₁₃、β₂₃;第四階段為強(qiáng)烈干預(yù)期，這一階段的隔離力度沒(méi)有改變，但隨著潛伏期的過(guò)渡，感染者的人數(shù)達(dá)到峰值，感染系數(shù)不變;第五階段為緩和期，緩和期的醫(yī)療資源得到一定的保障，感染人數(shù)的下降和治愈率的提高使疫情的傳播及預(yù)防控制的形勢(shì)得到改善，此時(shí)易感者接觸確診感染者和潛伏感染者的分別為α₁₂、α₂₂;第六階段為相持期，感染人數(shù)快速下降，各方面表現(xiàn)均為緩和期的優(yōu)化，易感者接觸確診感染者和潛伏感染者的分別為α₁₃、α₂₃。

上述模型運(yùn)用離散時(shí)間的方法，改進(jìn)了多時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型，刻畫(huà)了不同疫情防控階段的疫情傳播情況，適用于對(duì)各國(guó)新冠疫情傳播過(guò)程的模擬。但該模型未考慮境外輸入等人員流動(dòng)情況，在疫情進(jìn)入第六個(gè)階段或者一個(gè)周期結(jié)束后，將可能迎來(lái)下一個(gè)周期，此時(shí)的病毒往往會(huì)發(fā)生變異，如德?tīng)査《?，因此模型還需在考慮外界因素的基礎(chǔ)上進(jìn)行不斷優(yōu)化。

2.3滾動(dòng)SEIR模型

在疫情傳播過(guò)程中，人們會(huì)經(jīng)歷從“不重視”到“自我保護(hù)”兩個(gè)階段。第一階段的基本再生數(shù)可認(rèn)為是經(jīng)典SEIR模型中的常數(shù)，第二階段各種防治措施開(kāi)始完善、自我保護(hù)意識(shí)增強(qiáng)，使得基本再生數(shù)有所下降，所以第二階段的基本再生數(shù)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。

由此，謝家榮等人[11]提出了一種基本再生數(shù)會(huì)變化的SEIR模型，即滾動(dòng)SEIR模型，見(jiàn)式（9）：

用計(jì)算機(jī)算法求解，即可預(yù)測(cè)出確診人數(shù)。

該模型在經(jīng)典的SEIR模型基礎(chǔ)上通過(guò)變化基本再生數(shù)這個(gè)參數(shù)，能夠?qū)δ骋粐?guó)家或地區(qū)在人群采取自我保護(hù)措施后感染人數(shù)的預(yù)測(cè)起到重要作用。但是，該模型未考慮時(shí)間滯后性（檢測(cè)能力和醫(yī)療狀況能力不充足導(dǎo)致的時(shí)間差異）、輸出病例對(duì)其他城市的影響等因素，因此也存在一些局限性。

2.4考慮社交隔離的SEIRS模型

由于潛伏者和治愈者均存在二次感染的可能，社交隔離是有效控制疫情傳播的手段之一。為此，黃夢(mèng)瑤等人[12]提出研究模型應(yīng)該按照“S—E—I—R—S”的順序進(jìn)行，基于不同的社交隔離方案會(huì)對(duì)疫情變化產(chǎn)生不同影響的認(rèn)識(shí)，將隔離時(shí)間、隔離程度等因素引入模型。

該模型在4類(lèi)基本人群的基礎(chǔ)上，將感染者進(jìn)一步細(xì)化為非住院患者、住院非重癥患者和住院重癥患者。鑒于不同國(guó)家的醫(yī)療狀況和人口規(guī)模對(duì)疫情變化發(fā)展的不同作用，該模型選取了具有一定代表性的國(guó)家，如德國(guó)、中國(guó)、美國(guó)和印度的數(shù)據(jù)，對(duì)傳統(tǒng)的SEIRS模型參數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)：（1）非重癥患者向康復(fù)者的轉(zhuǎn)化速率用δ_H表示;（2）未來(lái)重癥住院患者向重癥患者的轉(zhuǎn)化速率用δ_c表示;（3）重癥患者向康復(fù)者的轉(zhuǎn)化速率用ξ_H表示。

一般而言，醫(yī)療狀況較好的國(guó)家，如德國(guó)，δ_H會(huì)更大、δ_c會(huì)更小、ξ_H會(huì)更大;而對(duì)于醫(yī)療物資匱乏、醫(yī)務(wù)人員缺乏的國(guó)家，如印度，這三個(gè)參數(shù)則會(huì)相反;對(duì)于中國(guó)、美國(guó)這類(lèi)國(guó)家，這三個(gè)參數(shù)則不做調(diào)整。因此，三個(gè)參數(shù)的取值見(jiàn)表1。同時(shí)，需要考慮不同國(guó)家疾病傳染率的最大值R_0max和死亡率α，這兩個(gè)值根據(jù)各國(guó)公布的數(shù)據(jù)分析得出，見(jiàn)表2。

該模型假設(shè)：以上4個(gè)國(guó)家從同一起始時(shí)間暴發(fā)疫情，且有相同的初始現(xiàn)有確診人數(shù)、潛伏人數(shù)和康復(fù)人數(shù);考慮到各個(gè)國(guó)家對(duì)此次疫情的重視程度以及實(shí)施社交隔離的時(shí)間，將中國(guó)和印度設(shè)置為發(fā)現(xiàn)病例兩周后開(kāi)始隔離，德國(guó)和美國(guó)設(shè)置為發(fā)現(xiàn)病例四周后開(kāi)始隔離;在不同隔離時(shí)間的隔離方案中，設(shè)置多種不同隔離程度（隔離人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比）來(lái)擬合各個(gè)國(guó)家的確診人數(shù)，以此體現(xiàn)不同國(guó)家的防疫效果。

通過(guò)該模型的研究發(fā)現(xiàn)，短期（時(shí)間≤12月）或長(zhǎng)期（時(shí)間>12月）隔離在人口總數(shù)和醫(yī)療狀況不同的國(guó)家效果差異明顯。短期社交隔離時(shí)：時(shí)間超過(guò)6個(gè)月、程度小于50%的隔離方案對(duì)醫(yī)療狀況好、人口總數(shù)少的國(guó)家效果較好;時(shí)間短于6個(gè)月、程度大于50%的隔離方案對(duì)醫(yī)療狀況差、人口數(shù)多的國(guó)家效果較好。長(zhǎng)期社交隔離時(shí)，時(shí)間越長(zhǎng)、程度為50%的隔離方案防控效果最好。該模型從隔離時(shí)間、隔離程度、國(guó)情等多方面進(jìn)行分析，能夠?yàn)楹笠咔闀r(shí)代各國(guó)防疫措施的改進(jìn)提供參考，但也存在未考慮各國(guó)防疫方案的調(diào)整及不同隔離程度、隔離場(chǎng)景的區(qū)別等因素。

2.5引入隱形傳播者的SEIR模型

大部分的新型冠狀病毒傳播數(shù)學(xué)模型沒(méi)有考慮“隱形傳播者”，即那些攜帶病毒而未被進(jìn)行隔離或醫(yī)學(xué)觀察，仍能傳播易感者的人。為此，林俊峰[13]在傳統(tǒng)SEIR模型的基礎(chǔ)上引入隱形傳播者要素，并修改相關(guān)定義，在預(yù)測(cè)和數(shù)據(jù)擬合上收到了很好的效果。相關(guān)修改和假設(shè)如下：（1）修改潛伏者（E）為有可疑跡象;（2）修改感染者⑴為潛伏者中被確診并被醫(yī)院隔離治療的人群;（3）引人隱形傳播者（U）;（4）隱形傳播者和潛伏者的傳播率恒定;（5）治愈率和死亡率是時(shí)間的函數(shù);（6）忽略被隔離14天后未顯示出癥狀的病毒攜帶者。于是，得到的SEIR示意圖，見(jiàn)圖2;建立相應(yīng)的微分方程，見(jiàn)式（11）：

式中：λ₁、λ₂分別表示一位潛伏者在單位時(shí)間內(nèi)將易感者變?yōu)闈摲叩娜藬?shù)，以及一位隱形傳播者在單位時(shí)間內(nèi)將易感者變?yōu)闈摲叩娜藬?shù);p₁、p₂、p₃分別表示攜帶病毒的潛伏者在所有潛伏者中的占比、發(fā)現(xiàn)隱形傳播者的概率和攜帶病毒的潛伏者在單位時(shí)間中轉(zhuǎn)為感染者的概率;p_c，t和P_D，t分別表示第t天新增出院人數(shù)、新增死亡人數(shù)占前一天感染者的比例;治愈率P_c和死亡率P_D用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)采用冪函數(shù)進(jìn)行擬合得出。考慮離散變化情形，將上述微分方程轉(zhuǎn)為差分方程，求解差分方程即可預(yù)測(cè)出相關(guān)人數(shù)。

該模型指出了隱形傳播者和留醫(yī)觀察人員的區(qū)別，適用于擬合疫情早期的情形，在預(yù)測(cè)和數(shù)據(jù)擬合上精度較高;隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，后期擬合精度有所下降，可采用分段擬合改進(jìn)模型。總體上，引人隱形傳播者的SEIR模型比傳統(tǒng)的SEIR模型對(duì)研究疫情傳播更具有優(yōu)越性。

3基于數(shù)據(jù)擬合的離散模型

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，國(guó)家內(nèi)部及國(guó)家之間人口流動(dòng)性加強(qiáng)，使得病毒傳播也變得愈加復(fù)雜，因此傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的預(yù)測(cè)效果有所下降。隨著人工智能和計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)的快速發(fā)展，有學(xué)者開(kāi)始利用人工智能算法直接對(duì)新冠病毒傳播的數(shù)據(jù)本身進(jìn)行擬合。疫情初期，指數(shù)模型在評(píng)估預(yù)測(cè)中有著重要作用，而金啟軒[14]認(rèn)為由于本次疫情的中間宿主和傳播路徑并未確定，無(wú)法取得確切的量化結(jié)果，所以在此基礎(chǔ)上建立的指數(shù)模型可信度也較低。于是，其對(duì)2020年1月23日之后的增長(zhǎng)率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與建模，發(fā)現(xiàn)2020年2月4日之后的增長(zhǎng)率變化與前幾天的變化有所不同，故從2月4日起進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合;令天數(shù)為t，得到線(xiàn)性回歸方程（12）：

增長(zhǎng)率=15.37%-0.84%t，（12）

該模型所預(yù)測(cè)的結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)高度吻合。

同樣地，ZHAO等人[15]基于傳染病疫情報(bào)告率調(diào)整病例總數(shù)，使用均值7.5、標(biāo)準(zhǔn)差3.4的Gamma分布估計(jì)序列間隔，并且依據(jù)非線(xiàn)性最小二乘法來(lái)擬合指數(shù)增長(zhǎng)的模型。JUNG等人[16]通過(guò)馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法（MCMC）擬合指數(shù)增長(zhǎng)模型，并且根據(jù)擬合的參數(shù)計(jì)算再生數(shù)。LAI等人[17]根據(jù)全球共享所有的流感數(shù)據(jù)倡議，對(duì)提供的52 個(gè)SARS-CoV-2基因組進(jìn)行了分析，由指數(shù)增長(zhǎng)率計(jì)算，從而擬合了指數(shù)增長(zhǎng)模型。

在傳統(tǒng)倉(cāng)室模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的新模型，盡管可以較好地模擬疫情發(fā)展情況，但由于模型涉及的參數(shù)較多，且部分參數(shù)來(lái)源于以往的文獻(xiàn)，所以在一定程度上會(huì)造成模擬結(jié)果的偏差。DANILO等人的直接從意大利隆巴迪大區(qū)疫情暴發(fā)早期的每日新增數(shù)據(jù)人手，用泊松分布對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，較好地模擬了暴發(fā)早期的流行特征。ZHAO等人[19]運(yùn)用SARS與MERS的平均代際間隔，估計(jì)了SARS-CoV2的代際間隔，使用泊松檢驗(yàn)的對(duì)數(shù)似然法估計(jì)指數(shù)增長(zhǎng)率，基于指數(shù)泊松過(guò)程擬合了疫情發(fā)展曲線(xiàn)。

引入時(shí)變參數(shù)，從數(shù)據(jù)方面直接入手，短期內(nèi)進(jìn)行預(yù)測(cè)的精度會(huì)明顯高于固定參數(shù)或者無(wú)機(jī)制模型的擬合方法，但對(duì)于長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)效果則不太理想。如果能建立多階段模型，不同傳播階段用不同的參數(shù)進(jìn)行擬合，那么其長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和短期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性都會(huì)得到提高。

在人類(lèi)與傳染病的斗爭(zhēng)中，數(shù)學(xué)模型發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用?？茖W(xué)合理的數(shù)學(xué)模型，可為疫情的科學(xué)防控提供一定的理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]喻孜，張貴清，劉慶珍，等.基于時(shí)變參數(shù)-SIR模型的COVID-19疫情評(píng)估和預(yù)測(cè)[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，49⑶：357-361.

[2]萬(wàn)時(shí)雨，劉玨，劉民.新型冠狀病毒基本再生數(shù)研究進(jìn)展[J].科學(xué)通報(bào)，2020，65（22）：2334-2341.

[3] Musa Salihu S.，高道舟，趙時(shí)，等.不同隔離措施對(duì)中國(guó)武漢市早期階段的新型冠狀病毒傳播影響的機(jī)理建模研究[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2020，43（2）：350-364.

[4]朱翌民，黃勃，王忠震，等.隔離措施對(duì)COVID-19疫情控制的模型分析[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2020，66（5）：442-450.

[5]李棟，白瑞瑞.新型冠狀病毒傳播仿真組合模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2020，36（5）：5-10.

[6]張琳.新冠肺炎疫情傳播的一般增長(zhǎng)模型擬合與預(yù)測(cè)[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，49（3）：345-348.

[7]劉勝，王書(shū)昌，修志龍.新型冠狀病毒肺炎的傳染動(dòng)力學(xué)[J].病毒學(xué)報(bào)，2020，36（3）：355-364.

[8]馮苗勝，王連生，林文水.Logistic與SEIR結(jié)合模型預(yù)測(cè)新型冠狀病毒肺炎傳播規(guī)律[J].廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，59（6）：1041-1046.

[9]桑茂盛，丁一，包銘磊，等.基于新冠病毒特征及防控措施的傳播動(dòng)力學(xué)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2021，41（1）：124-133.

[10]張李盈，李東宸，任景莉.多階段動(dòng)態(tài)時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型的COVID-19傳播分析[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（信息科學(xué)版），2020，45⑸：658-666.

[11]謝家榮，孫嘉辰，劉迅，等.新型冠狀病毒傳播的數(shù)學(xué)模型與預(yù)測(cè)[J].科學(xué)通報(bào)，2020，65（22）：2348-2355.

[12]黃夢(mèng)瑤，黃麗達(dá)，袁宏永，等.社交隔離對(duì)COVID-19的發(fā)展影響[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，61（2）：96-103.

[13]林俊鋒.基于引入隱形傳播者的SEIR模型的COVID- 19 疫情分析和預(yù)測(cè)[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，49（3）：375-382.

[14]金啟軒.中國(guó)新冠肺炎疫情預(yù)測(cè)建模與理性評(píng)估[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2020，36（5）：11-14.

[15] ZHAO S，LINQY，RAN J J，et al. The basic reproduction number of novel coronavirus （2019- nCoV）estimation based on exponential growth in the early outbreak in China from 2019 to 2020：a reply to Dhungana[J]. International Journal of Infectious Diseases，2020，94：148-150.

[16] JUNG S M，AKHMETZHANOVAR，HAYASHI K，et al. Real-time estimation of the risk of death from novel coronavirus （COVID-19）infection：inference using exported cases[J]. medRxiv，2020. DOI：10.1101/2020.01.29.20019547.

[17] LAI A，BERGNA A，ACCIARRI C，et al. Early phylogenetic estimate of the effective reproduction number of SARS-CoV-2[J]. Journal of Medical Virology，2020，92 （6）：675-679.

[18] DANILO C，MATTIA M，MARCELLO T，et al. The early phase of the COVID- 19 outbreak in Lombardy，Italy[J]. Epidemics，2021，37：100528.doi：10.1016/J.EPIDEM.2021.100528.

[19] ZHAO S，MUSA SS，LINQY，et al. Estimating the unreported number of novel coronavirus（2019-nCoV）cases in China in the first half of January 2020：a data-driven modelling analysis of the early outbreak[J]. Journal of Clinical Medicine，2020，9（2）：388.

A Review of Mathematical Models for Novel Coronavirus Transmission

WANG Yu，MENG Fengjuan，SHI Jun，WANG Haojie，DONG Wen

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）

Abstract：In this paper，the transmission of novel coronavirus is taken as the research object，and the transmission mechanism of the virus is studied through literature review. Relevant models for the study of novel coronavirus transmission are searched and sorted out：transmission dynamics model and time-varying parameter model. Then，the improvement of the models under the effect of different factors is summarized：the infectious disease dynamics model under the multi- compartment factor，the multi-time dynamic time- delay dynamics model，the SEIRS model with social isolation and the SEIR model with invisible communicators. Finally，the application of the data fitting method in the discrete model is introduced based on the discrete model recently studied，and the important guiding role of the mathematical model in epidemic prevention and control is illustrated.

Key words：novel coronavirus;mathematical model;propagation dynamics model;time-varying parameters