一道解析幾何習(xí)題的解法及教學(xué)啟示

趙海莉

[摘 要]最值是高中數(shù)學(xué)解析幾何中的常考問題，涉及的知識點較多且具有一定的技巧，對學(xué)生的分析、計算能力要求較高.因此，很多學(xué)生遇到最值問題沒有思路，在測試中失分嚴(yán)重.針對這一情況，教學(xué)中教師應(yīng)做好最值問題的深入分析，結(jié)合具體例題向?qū)W生展示不同解法，并做好不同解法的評價.

[關(guān)鍵詞]解析幾何;最值;解法;啟示

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0020-02

在解析幾何最值問題教學(xué)中，多數(shù)教師采用先講解例題后進(jìn)行訓(xùn)練的教學(xué)思路，對習(xí)題本身缺乏深入的分析，導(dǎo)致部分學(xué)生在稍微改變習(xí)題的條件時，便不知所措.究其原因在于學(xué)生對習(xí)題缺乏全面的認(rèn)識，對解題方法缺乏深入的分析，教師在教學(xué)中缺乏針對性引導(dǎo).

一、習(xí)題及解法

解答：（1）題目給出A、B兩點的坐標(biāo)以及圓C的方程，要證明AB為圓C的直徑.可運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)“直徑所對的圓周為直角”證明，而直角在高中可使用向量的積為0進(jìn)行體現(xiàn)，通過“OA+OB=OA-OB”找到A、B兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，并設(shè)以AB為直徑的圓上任意一點M，運(yùn)用[MA·MB=0]，求出該圓的方程，當(dāng)其剛好為圓C的方程時即得證.

其剛好為圓C的方程，得證.

（2）解法一：由點到直線的距離，可聯(lián)想到先確定該點即圓心C.運(yùn)用已知條件，求解出圓心C的軌跡，最終求解出p的值.

二、解法分析

第（2）問的解法三最為常規(guī)，通過運(yùn)用點在拋物線圖像上和第（1）問的結(jié)論構(gòu)建點坐標(biāo)之間的關(guān)系.通過點到直線的最值，對相關(guān)的表達(dá)式進(jìn)行整理，借助二次函數(shù)求最值知識求得p的值.該種解題方法適合大多數(shù)學(xué)生.解法一與解法三思路類似，不同的是解法一求出了圓心的軌跡.兩種方法難度相當(dāng)，但解法一的思路不易想到.解法二計算起來相對簡單，解題效率較高，其間接應(yīng)用了直線的平移知識，但該思路很難被學(xué)生想到.綜合來看，三種解法雖有所差異，但殊途同歸.教學(xué)中教師可要求學(xué)生根據(jù)自己的實際情況，認(rèn)真學(xué)習(xí)適合自己的解題方法，并不斷訓(xùn)練，真正掌握.

三、教學(xué)啟示

通過對上述三種解法的分析，筆者從題目考查的知識點以及解法兩方面思考，得到一些啟示.

1.解析幾何最值習(xí)題考查知識的啟示

解析幾何最值習(xí)題看似難度較大，但通過對上述題目的分析可知，其考查的知識點都是學(xué)生熟悉的，如上述例題中涉及的基礎(chǔ)知識有拋物線方程、向量、點到直線的距離等，只不過將知識進(jìn)行了巧妙的整合.最值與解析幾何知識相結(jié)合的題型較多，教學(xué)中教師應(yīng)做好解析幾何最值題型的匯總與分析，與學(xué)生一起分析不同題型考查的知識點，掌握習(xí)題的解題技巧，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中有針對性地做一些綜合性習(xí)題，感受最值、解析幾何知識的綜合應(yīng)用，在夯實基礎(chǔ)知識的同時，提高其思維的靈活性.

2.解析幾何最值習(xí)題解題方法的啟示

解答解析幾何最值習(xí)題時，選擇正確的解題方法尤為關(guān)鍵.通過上述三種解法的對比分析可知，三種解法在計算煩瑣度、解題耗時上還是存在差別的.因此，在以后的教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生多反思解題方法，嘗試著進(jìn)行一題多解，看能否從另外角度入手尋找更為簡便的解題方法，并鼓勵學(xué)生圍繞解析幾何最值習(xí)題的解題方法展開討論，做好解題方法的總結(jié).

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 周云霞.模型構(gòu)建，坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，多解探究：對一道解析幾何題的多解探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（6）：78-80.

[2]? 鐘光霖.常見解析幾何最值問題求解的轉(zhuǎn)化策略[J].青海教育，2020（Z1）：78.

[3]? 蔡旭平.例析解析幾何最值問題的五種策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（5）：65-68.

[4]? 蔡旭平.例析解析幾何最值問題的五種求解策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（5）：16-18.

[5]? 劉小梅.例析解析幾何中最值問題的求解方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（12）：46-48.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）