讓數(shù)學(xué)課帶點哲學(xué)的味道

黃夏炎

[摘 要]數(shù)學(xué)教師讓數(shù)學(xué)課堂帶點哲學(xué)味，能開闊學(xué)生視野，提高學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

[關(guān)鍵詞]哲學(xué);數(shù)學(xué)課;味道

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0009-02

歷史上，數(shù)學(xué)是哲學(xué)的一個分支.勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明者畢達哥拉斯是人類歷史上第一個堪稱偉大的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，他從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)去解釋整個世界，這在總體上指引了自然科學(xué)的發(fā)展方向，極大地影響了后來的科學(xué)家;大數(shù)學(xué)家牛頓有一本巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，在這本書中，牛頓不但總結(jié)出了力學(xué)基本原理，還創(chuàng)造性地用微積分學(xué)理論去闡述物體的運動規(guī)律，揭示了哲學(xué)中“運動”這一概念的數(shù)學(xué)解釋，提供了科學(xué)思維體系的樣板.可以這樣說，一切數(shù)學(xué)理論都是從哲學(xué)延伸而來，最后又歸結(jié)于哲學(xué).

既然如此，我們教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不妨讓數(shù)學(xué)課帶點哲學(xué)的味道.

一、數(shù)學(xué)中“普遍聯(lián)系”的思想

哲學(xué)中，“普遍聯(lián)系”是指事物的聯(lián)系具有普遍性.任何事物的各個內(nèi)部要素之間是互相聯(lián)系的，任何事物也與周圍的其他事物相互聯(lián)系著.

一個不太明顯的規(guī)律是“圓的面積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是周長函數(shù)”，這是事物內(nèi)部（此處論域是“圓”）要素之間的聯(lián)系;而球的體積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是球面積函數(shù)，這也是事物內(nèi)部（此處論域是“球”）要素之間的聯(lián)系.而圓與球在“對高維量函數(shù)求導(dǎo)得低維量函數(shù)”上的相似性，則體現(xiàn)出了不同事物間的聯(lián)系.

二、“因果律”的思想

因果律是所有事物間最重要、最直接的關(guān)系.因果律有三大法則.

第一個法則是“果由因生”.這是指事物的發(fā)生有其時間序列性，不能倒置.

第二個法則是“事待理成”.這是指事物的發(fā)展有其客觀性、必然性.中學(xué)數(shù)學(xué)中，“事待理成”主要體現(xiàn)為演繹推理的廣泛使用.數(shù)學(xué)公理的確立是建立在大量直觀事例之上的歸納結(jié)果;定理的證明則是建立在公理之上的演繹結(jié)果.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理，主要是演繹推理;數(shù)學(xué)歸納法雖號稱“歸納法”，其證明過程本質(zhì)上還是演繹推理.事物的發(fā)展條件變了，結(jié)果就可能會變化，“理”不同，則“事”也可能不同.

[例4]判斷“垂直于同一直線的兩條直線平行”是否正確.

因為“同位角相等，則兩直線平行”，所以初中生給出的答案是“正確”.但是，高中階段的結(jié)論是“垂直于同一直線的兩條直線平行或相交或異面”，所以高中生給出的答案是“錯誤”.不同學(xué)段學(xué)生對同一問題的結(jié)論不同的原因，就是推理的初始條件發(fā)生了變化：由“同一平面內(nèi)的兩條直線垂直于同一條直線”變成了“空間中兩條直線垂直于同一直線”.

第三個法則是“有依空立”.這是說，“存在”依托“空無”而得以產(chǎn)生，具體來說，就是“否定之否定”，事物內(nèi)部矛盾雙方對舊事物否定的一方居主要地位時，舊事物就被否定了，新事物就產(chǎn)生了.

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，正難則反的解題策略，補集的思想，反證法，甚至是選擇題中的“排除法”，都是體現(xiàn)了因果律的“有依空立”的法則.

三、運動的觀點

從運動的觀點看，真理是相對的，哪怕數(shù)學(xué)也是如此.“平行線不相交”是歐幾里得幾何學(xué)的基石之一，但這不是絕對真理.在黎曼幾何的理論體系里，平面內(nèi)任何兩條直線均有交點，平行的兩條線也是如此（或者說，在黎曼平面上，過直線外一點無法作出與這條直線不相交的平行線）.黎曼幾何在廣義相對論中有著基礎(chǔ)性的應(yīng)用，而廣義相對論在其誕生以來的諸多實驗中均已得到了驗證.顯然，黎曼幾何與《星際迷航》里的“克林貢語”不一樣，并非只是存在于人腦中的 “思維體操”“空中樓閣”，而是與歐氏幾何并行不悖的真理.這就提示我們，看待一個數(shù)學(xué)結(jié)論，不能認為“除此以外都是錯的”，對“真理”也要“包容匯通”.

不光數(shù)學(xué)結(jié)論是“運動”的，是“發(fā)展演進”的，數(shù)學(xué)方法也是可以且應(yīng)該發(fā)展演進的，最常見的現(xiàn)象是“一題多解”.從學(xué)生認識同一問題的不同解法的心理歷程來說，一定是先想到最常見、最簡單的解法，然后在新的思維角度、新的知識工具的支持下，獲得新的解法，這便是個人角度的數(shù)學(xué)方法的演進.初中數(shù)學(xué)課上，求二次函數(shù)的最值點是用配方法得以解決的;高中數(shù)學(xué)課上，用導(dǎo)數(shù)求二次函數(shù)最值點簡單快捷.高中學(xué)段兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，早先是用兩點間距離公式和余弦定理來推導(dǎo)，在引入向量知識后，則轉(zhuǎn)而采用向量方法“算兩次”來推導(dǎo)，簡單了許多.而余弦定理的證明過程也因為引入了向量作為工具，而進行了一次“升級”，大大精簡了定理的證明過程.

哲學(xué)告訴我們，運動是絕對的，靜止是相對的.紛繁復(fù)雜的不同的問題外殼之下，是否有著一樣的解決之道呢？

[例6]（1）平面上兩兩相交的[n]條直線最多把平面分成幾個部分？

（2）平面上兩兩相交的[n]個圓最多把平面分成幾個部分？

（3）平面上兩兩相交的[n]條拋物線最多把平面分成幾個部分？

（4）空間中兩兩相交的[n]個球面最多把空間分成幾個部分？

在中學(xué)數(shù)學(xué)課上，如果能聊點與教學(xué)內(nèi)容有聯(lián)系的哲學(xué)思想，使之雜糅在數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)策略中，興許能讓學(xué)生跳出數(shù)學(xué)，以更高的觀點來看待數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

（責(zé)任編輯 黃桂堅）