基于能量法研究剛性質(zhì)量塊軸向撞擊圓柱殼的屈曲

辛朝煒， 韓志軍

(1. 太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024； 2. 太原理工大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，太原 030024)

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，結(jié)構(gòu)屈曲的研究受到廣大學(xué)者的極大關(guān)注。目前靜力屈曲問題的研究已較為充分，而動(dòng)力屈曲問題的研究仍充滿挑戰(zhàn)。作為結(jié)構(gòu)基本原件的圓柱殼廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和各種工程實(shí)際中，例如：各種飛行器以及運(yùn)載火箭主體結(jié)構(gòu)均采用殼體。所以圓柱殼動(dòng)力屈曲的研究有著很強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值和重要意義。

Zimicik等[1]忽略應(yīng)力波效應(yīng)，用理論和實(shí)驗(yàn)研究了滿載作用下，徑厚比不同的薄壁圓柱殼的軸向動(dòng)力屈曲，指出圓柱殼的屈曲形式與初缺陷的分布有著密切的關(guān)系。Lo Lepik[2]考慮應(yīng)力波效應(yīng)，用準(zhǔn)分叉法分析了圓柱殼的動(dòng)力屈曲，用Runge-Kutta法給出其數(shù)值解。Bisagni[3-4]忽略應(yīng)力波效應(yīng)，使用Abaqus軟件對(duì)有初缺陷的圓柱殼在軸向沖擊載荷下的動(dòng)力屈曲進(jìn)行了數(shù)值分析，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了數(shù)值模型，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明初缺陷和載荷持續(xù)時(shí)間對(duì)動(dòng)力屈曲有影響。Karagiozova等[5-6]考慮應(yīng)力波效應(yīng)的影響，給出了圓柱殼發(fā)生動(dòng)力屈曲的條件，用FE碼Abaqus/Standard對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值模擬，表明材料和幾何特性對(duì)屈曲是有影響的；其實(shí)驗(yàn)研究，表明沖擊速度對(duì)圓柱殼動(dòng)力屈曲有大的影響，而且材料特性和慣性效應(yīng)對(duì)于屈曲模態(tài)的形成有重大影響。Xu等[7-8]通過將哈密頓系統(tǒng)引入圓柱殼的動(dòng)態(tài)屈曲中，考慮應(yīng)力波效應(yīng)，得到了哈密頓正則方程的數(shù)值解。Fan等[9-10]不考慮應(yīng)力波效應(yīng)，導(dǎo)出了圓柱殼在滿載作用下屈曲臨界荷載隨時(shí)間變化的解析式，并討論了圓柱殼徑厚比和外壓加載速度對(duì)屈曲臨界載荷的影響。桂夷斐等[11]研究了在軸向階躍載荷作用下，應(yīng)力波對(duì)圓柱殼動(dòng)力屈曲的影響，通過數(shù)值計(jì)算，給出了屈曲臨界載荷與臨界長(zhǎng)度、圓柱殼徑厚比的關(guān)系。上述研究表明，考慮應(yīng)力波效應(yīng)時(shí)一般采用階躍載荷加載，忽略應(yīng)力波效應(yīng)時(shí)一般以滿載方式加載，且研究問題的方法有理論分析、數(shù)值模擬或計(jì)算機(jī)仿真、實(shí)驗(yàn)研究，這樣考慮問題的角度和所用方法不同，所得結(jié)論各異，且對(duì)具有工程應(yīng)用背景的質(zhì)量塊撞擊圓柱殼的動(dòng)力屈曲研究較少也不夠深入。Karagiozova等[12-13]考慮應(yīng)力波效應(yīng)，利用 Abaqus對(duì)在質(zhì)量塊沖擊作用下的圓柱殼進(jìn)行模擬并得到不同的屈曲模態(tài)，結(jié)果表明，受到高速?zèng)_擊的殼體，其動(dòng)力屈曲不僅取決于施加載荷的大小，還取決于初始動(dòng)能的大小。顧紅軍等[14]采用落錘實(shí)驗(yàn)對(duì)圓柱殼的動(dòng)力屈曲行為進(jìn)行研究，結(jié)果表明圓柱殼的動(dòng)力屈曲與徑厚比有關(guān)。馬健等[15]對(duì)質(zhì)量塊撞擊圓柱殼進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，運(yùn)用LS-DYNA對(duì)其進(jìn)行了仿真模擬，兩者得到的沖擊加速度響應(yīng)曲線基本一致。上述質(zhì)量塊撞擊圓柱殼的屈曲表明，因應(yīng)力波傳播比較復(fù)雜，這給理論研究帶來一定困難，目前主要集中于實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)仿真分析。

基于此，本文考慮應(yīng)力波效應(yīng)，利用能量法，建立系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，將經(jīng)計(jì)算獲得的符合邊界條件的準(zhǔn)試函數(shù)代入第二類拉格朗日方程，得到二階線性偏微分方程，分析方程解的特性，得到質(zhì)量塊撞擊圓柱殼屈曲臨界速度的解析表達(dá)式。算例分析，討論了臨界長(zhǎng)度、質(zhì)量比、軸向模態(tài)數(shù)、環(huán)向模態(tài)數(shù)、徑厚比等參數(shù)對(duì)屈曲臨界速度的影響。

1 屈曲臨界速度解析表達(dá)式的推導(dǎo)

如圖1所示，均質(zhì)鋼圓柱殼左端夾支，右端固支，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為R，厚度為h，彈性模量為E，密度為ρ，泊松比μ，橫截面積為A，選取柱坐標(biāo)系x,y,z，其相應(yīng)的位移為u,v,w。左端受質(zhì)量為M的剛性質(zhì)量塊撞擊。應(yīng)力波沿x方向傳播，如圖2所示，當(dāng)傳播到距夾支端為lcr時(shí)，圓柱殼受力段發(fā)生突然屈曲，且lcr為臨界長(zhǎng)度，其中l(wèi)cr=tcr·c。

圖1 受剛性質(zhì)量塊撞擊的圓柱殼

圖2 應(yīng)力波傳播示意圖

應(yīng)力波在圓柱殼內(nèi)傳播[16]

(1)

于是圓柱殼內(nèi)各段軸力

(2)

當(dāng)應(yīng)力波傳到lcr時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能T、應(yīng)變能U，以及外力功W，可表示為

(3)

Mθκθ+Mxθκxθ}Rdxdθ

(4)

(5)

在小撓度理論下圓柱殼的幾何關(guān)系為

(6)

(7)

圓柱殼的內(nèi)力

(8)

內(nèi)力矩為

(9)

忽略軸向慣性，整理系統(tǒng)動(dòng)能T、系統(tǒng)應(yīng)變能U、系統(tǒng)做功W的表達(dá)式得到

(10)

(11)

(12)

設(shè)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)，有

L=T-U+W

(13)

把式(10)、式(11)、式(12)代入式(13)，得到

(14)

可設(shè)試函數(shù)為

w=f(x,θ)T(t)

(15)

其中,

(16)

式中：n為軸向模態(tài)數(shù)；m為環(huán)向模態(tài)數(shù)；α和β為相關(guān)待定系數(shù)。式(15)應(yīng)滿足下述邊界條件。

(17)

將式(15)、式(16)代入式(17)中可得

(18)

若式(18)有解，則sinn1π與sinn2π一定同奇偶，即n1=n,n2=n+2。又因?yàn)棣?β=0，故α=-β，若α=1，則β=-1。得到圓柱殼的有效試函數(shù)是

(n=0,1,2,…)

(19)

將試函數(shù)式(19)代入式(14)，整理得

(20)

根據(jù)第二類拉格朗日方程

(21)

把式(20)代入式(21)，得

(22)

將方程整理得

(23)

其中，

(24)

(25)

(26)

將式(16)分別代入式(24)、式(25)、式(26)得

C1=-ρhRπl(wèi)cr

(27)

(28)

(29)

其中,

(30)

分析式(23)解的性質(zhì)，則有

當(dāng)C2-C3<0時(shí)，得到的解以指數(shù)形式隨時(shí)間擴(kuò)散，表明圓柱殼已經(jīng)發(fā)生屈曲；

當(dāng)C2-C3>0時(shí)，得到的解是隨時(shí)間穩(wěn)態(tài)的三角函數(shù)，表明圓柱殼不發(fā)生屈曲；

當(dāng)C2-C3=0時(shí)，處于屈曲臨界狀態(tài)，這時(shí)可得到屈曲的臨界條件，其為

(31)

式(31)即為圓柱殼屈曲臨界速度解析表達(dá)式。

2 算例分析

在算例分析中，取圓柱殼長(zhǎng)L=1 m，半徑R=0.1 m，厚度h=0.002 m，徑厚比k=(2R)/h，E=2×1011Pa，μ=0.3，ρ=7 800 kg/m3。

在m=1,k=200 ,質(zhì)量比為10，n分別為0，1，2的情況下，臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的變化關(guān)系，如圖3所示。

圖3 當(dāng)n不同時(shí)，臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的變化關(guān)系圖

圖3表明：臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的增大而減小，這也表明應(yīng)力波效應(yīng)對(duì)動(dòng)力屈曲有明顯影響；曲線可分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，其分界點(diǎn)約在0.4 m左右，曲線在敏感區(qū)變化比較陡，在非敏感區(qū)變化比較平緩；當(dāng)臨界長(zhǎng)度相同時(shí)，臨界速度隨軸向模態(tài)數(shù)增大而增大，說明高速?zèng)_擊越容易激發(fā)圓柱殼屈曲的高階模態(tài)。

圖4中的曲線可分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，曲線在敏感區(qū)變化比較陡，在非敏感區(qū)變化比較平緩；臨界速度隨臨界時(shí)間的增加而減小，表明應(yīng)力波效應(yīng)對(duì)動(dòng)力屈曲有明顯影響。與Karagiozova等研究所得曲線變化規(guī)律、結(jié)論一致。

圖4 臨界速度與臨界時(shí)間的變化關(guān)系曲線

在n=0,k=200 ,質(zhì)量比為10，m分別為1,2,3的情況下，臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的變化關(guān)系,如圖5所示。

圖5 當(dāng)m不同時(shí)，臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的變化關(guān)系圖

圖5表明：臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的增大而減小，這也表明應(yīng)力波效應(yīng)對(duì)動(dòng)力屈曲有明顯影響；曲線敏感區(qū)和非敏感區(qū)的分界點(diǎn)約在0.3 m左右，結(jié)合圖3，表明：軸向模態(tài)對(duì)屈曲的影響比環(huán)向模態(tài)還要明顯；當(dāng)臨界長(zhǎng)度相同時(shí)，臨界速度隨環(huán)向模態(tài)數(shù)增大而增大，說明高速?zèng)_擊容易激發(fā)圓柱殼屈曲的環(huán)向高階模態(tài)；臨界長(zhǎng)度約在0.1左右時(shí)，曲線幾乎重合，說明高速下屈曲模態(tài)躍遷不明顯，這與軸向模態(tài)對(duì)屈曲的影響有不同之處。

在m=1,k=200 ,lcr=0.4 m,n分別為0,1,2的情況下，臨界速度隨質(zhì)量比的變化關(guān)系,如圖6所示。

圖6 當(dāng)n不同時(shí)，臨界速度隨質(zhì)量比的變化關(guān)系圖

圖6表明：臨界速度隨質(zhì)量比的增加而減小，表明初始動(dòng)能對(duì)屈曲有明顯影響，這與Karagiozova等研究中數(shù)值模擬所得曲線變化規(guī)律、結(jié)論一致；曲線可分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，其分界點(diǎn)約在質(zhì)量比為5左右；在質(zhì)量比相同時(shí)，臨界速度隨軸向模態(tài)數(shù)增大而增大，初始沖擊動(dòng)能也隨模態(tài)數(shù)增大而增大，進(jìn)一步說明初始動(dòng)能對(duì)屈曲有明顯影響，同時(shí)也說明高速?zèng)_擊或較大的初始動(dòng)能容易激發(fā)圓柱殼屈曲的高階軸向模態(tài)。

在n=0,k=200 ,lcr=0.4 m,m分別為1，2，3的情況下，臨界速度隨質(zhì)量比的變化關(guān)系，如圖7所示。

圖7 當(dāng)m不同時(shí)，臨界速度隨質(zhì)量比的變化關(guān)系圖

圖7表明:臨界速度隨質(zhì)量比的增大而減??；曲線可分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，其分界點(diǎn)約在質(zhì)量比為5左右；在質(zhì)量比相同時(shí)，臨界速度隨環(huán)向模態(tài)增大而增大，初始沖擊動(dòng)能也隨模態(tài)數(shù)增大而增大，說明初始動(dòng)能對(duì)屈曲有明顯影響，同時(shí)也說明高速?zèng)_擊或較大的初始動(dòng)能容易激發(fā)圓柱殼屈曲的高階環(huán)向模態(tài)。

在n=0，m=1，質(zhì)量比為10，改變k，使其分別為100，150，200的情況下，臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的變化關(guān)系,如圖8所示。

圖8表明:臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的增大而減小，這也表明應(yīng)力波效應(yīng)對(duì)動(dòng)力屈曲有明顯影響；曲線敏感區(qū)和非敏感區(qū)的分界點(diǎn)約在lcr=0.4 m左右；在臨界長(zhǎng)度相同時(shí)，臨界速度的變化隨徑厚比的減小而增大，這說明徑厚比越大，高速?zèng)_擊越容易激發(fā)圓柱殼的屈曲。

在n=0，m=1,lcr=0.4 m，改變k,使其分別為100，150，200的情況下，臨界速度隨質(zhì)量比的變化關(guān)系,如圖9所示。

圖9 當(dāng)k不同時(shí)，臨界速度隨質(zhì)量比的變化關(guān)系圖

圖9表明:臨界速度隨質(zhì)量比的增大而減??；曲線敏感區(qū)和非敏感區(qū)的分界點(diǎn)約在質(zhì)量比為7左右；在質(zhì)量比相同時(shí)，臨界速度隨徑厚比的減小而增大，初始沖擊動(dòng)能也隨徑厚比的減小而增大，這說明徑厚比越大，高速?zèng)_擊越容易激發(fā)圓柱殼的屈曲。這與顧紅軍等所得的規(guī)律、結(jié)論一致。

3 結(jié) 論

本文通過理論研究和算例分析得出以下結(jié)論：

(1)基于能量法，考慮應(yīng)力波效應(yīng)，建立了拉格朗日函數(shù)，將獲得的滿足邊界條件的準(zhǔn)試函數(shù)代入第二類拉格朗日方程，得到圓柱殼屈曲臨界速度的解析表達(dá)式。

(2)算例分析，討論了軸向模態(tài)數(shù)、環(huán)向模態(tài)數(shù)、徑厚比、臨界長(zhǎng)度、質(zhì)量比對(duì)動(dòng)力屈曲的影響，結(jié)果表明:

當(dāng)模態(tài)數(shù)不同時(shí)，臨界速度和臨界長(zhǎng)度的關(guān)系曲線可分為較陡的敏感區(qū)和變化平緩非敏感區(qū)，臨界速度隨臨界長(zhǎng)度的增加而減小，表明應(yīng)力波效應(yīng)對(duì)圓柱殼的動(dòng)力屈曲有明顯影響；臨界速度與質(zhì)量比的關(guān)系曲線也可分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，當(dāng)質(zhì)量比相同時(shí)，初始沖擊動(dòng)能隨模態(tài)數(shù)增大而增大，表明初始動(dòng)能對(duì)屈曲有明顯影響；臨界速度隨模態(tài)數(shù)增大而增大，說明高速?zèng)_擊容易激發(fā)圓柱殼屈曲的高階模態(tài)。

當(dāng)徑厚比不同時(shí)，臨界速度隨徑厚比的減小而增大，這說明徑厚比越大，高速?zèng)_擊越容易激發(fā)圓柱殼的屈曲。